許毓桐　姜慧玲　龐彥福

暑假期間，我在做“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷時(shí)遇到一個(gè)問題：

方程|x-5|+4|y+2|=10的整數(shù)解共有（ ）。

A.4個(gè) B.8個(gè) C.10個(gè) D.16個(gè)

顯然，這是一個(gè)與二元一次方程的解、絕對(duì)值的應(yīng)用有關(guān)的問題，是我們學(xué)過的內(nèi)容。

根據(jù)絕對(duì)值的意義，可知|x-5|≥0，|y+2|≥0。于是先由|x-5|≥0（x為整數(shù)）想到|x-5|的值有11種情況。即|x-5|=0或|x-5|=1或|x-5|=2或|x-5|=3或|x-5|=4或|x-5|=5或|x-5|=6或|x-5|=7或|x-5|=8或|x-5|=9或|x-5|=10。這樣就得到x的整數(shù)值共有21個(gè)。把x所有可能的整數(shù)值一個(gè)一個(gè)找出來后，再分別求出對(duì)應(yīng)的y值，然后結(jié)合題目條件排除y的非整數(shù)值，就能得到方程的整數(shù)解共有10個(gè)。

正當(dāng)我為自己能解決競(jìng)賽題而高興時(shí)，突然想到：這又不是后面的大題，怎么可能會(huì)如此麻煩呢？難道自己走了彎路嗎？還是再檢查檢查吧。

|x-5|是非負(fù)數(shù)，|y+2|也是非負(fù)數(shù)，|x-5|與4|y+2|的和為10，x、y為整數(shù)，所以|x-5|的值應(yīng)該有11種情況，嗯，是做到不重不漏了。而對(duì)于4|y+2|，它的值不僅是非負(fù)數(shù)，而且還應(yīng)當(dāng)是整數(shù)。噢，知道了！根據(jù)題意，不能將4|y+2|分開，而要將其作為一個(gè)整體來考慮。

對(duì)于式子|x-5|+4|y+2|=10。如果從|x-5|人手，x取整數(shù)時(shí)，它的值確實(shí)有11種情況，得出x的整數(shù)值有21個(gè)，這雖然是正確的。卻并不簡(jiǎn)捷。如果從4|y+2|開始考慮的話，|x-5|的值的情況就比較少了，從而可以減少解題步驟。y為整數(shù)，則4|y+2|的值只能有3種情況，即4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8，從而可以得到y(tǒng)有5個(gè)整數(shù)值，接下來求出對(duì)應(yīng)的x的整數(shù)值，這樣既做到了不重不漏，又減少了麻煩。

解：由|x-5|+4|y+2|=10，x，y為整數(shù)，可得4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8。

當(dāng)4|y+2|=0時(shí)，|x-5|=10。于是解得x=15，y=-2；或X=-5。y=-2。

當(dāng)4|y+2|=4時(shí)，|x-5|=6。于是解得x=11。y=-1；或x=11，y=-3；或x=-1，y=-1；或x=-|，y=-3。

當(dāng)4|y+2|=8時(shí)，|x-5|=2。于是解得x=7，y=-4；或x=7，y=0；或x=3，y=-4；或x=3，y=0。

所以該方程的整數(shù)解共有10個(gè)。

指導(dǎo)老師點(diǎn)評(píng)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。一定要注重理解。對(duì)于所學(xué)知識(shí)理解了，掌握了，解決問題也就有了方法，有了策略。解題講究方法與策略。就能減少不必要的麻煩。解題后要多反思，將好的方法借鑒、應(yīng)用到以后的學(xué)習(xí)中。解題不僅要保證正確，還要追求簡(jiǎn)捷。

責(zé)任編輯：潘彥坤