林何, 王三民, 董金城

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 陜西 西安 710072)

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內(nèi)、外嚙合剛度激勵(lì)下人字齒行星齒輪傳動(dòng)振動(dòng)特性

林何, 王三民, 董金城

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 陜西 西安 710072)

人字齒行星傳動(dòng)中的內(nèi)、外嚙合時(shí)變剛度是造成齒輪傳動(dòng)振動(dòng)的主要激勵(lì)源。根據(jù)輪齒嚙合接觸原理推導(dǎo)了人字齒行星齒輪嚙合傳動(dòng)的時(shí)變剛度動(dòng)態(tài)梯形圖，得到了內(nèi)、外嚙合剛度的分布規(guī)律，二者不具有時(shí)間同步性。采用集中質(zhì)量法建立了人字齒行星齒輪傳動(dòng)的扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型，在歐拉型積分和牛頓迭代法等數(shù)值方法基礎(chǔ)上對(duì)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)方程組進(jìn)行了求解，結(jié)果顯示內(nèi)嚙合在多個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)域出現(xiàn)顯著振動(dòng)，最大振幅發(fā)生在轉(zhuǎn)速5 900 r/min處，外嚙合動(dòng)載特性較為穩(wěn)定，均載系數(shù)為K=1.38。借助相圖、Poincaré映射、FFT頻譜分析等手段對(duì)系統(tǒng)擬周期振動(dòng)特性進(jìn)行分析，表明振動(dòng)吸引子在相空間中發(fā)生扭曲翻轉(zhuǎn)形成封閉超環(huán)面，頻域則由多個(gè)離散次諧波響應(yīng)構(gòu)成。

時(shí)變嚙合剛度；人字齒行星齒輪；歐拉型積分；擬周期振動(dòng)

人字齒行星傳動(dòng)在結(jié)構(gòu)上將人字齒輪和行星齒輪二者的優(yōu)點(diǎn)有效結(jié)合，具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載力強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，因而在航空航天、船舶重工、兵器裝備等工業(yè)傳動(dòng)領(lǐng)域得到諸多應(yīng)用，作為一種內(nèi)、外嚙合型傳動(dòng)受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[1-4]。Sondkar等建立了人字齒行星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并求解分析了其固有特性和均載穩(wěn)定性[5-6]。趙永強(qiáng)等在彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究了人字齒行星傳動(dòng)的自由振動(dòng)模式[7]。齒輪工作中由于嚙合傳動(dòng)的時(shí)變剛度、齒側(cè)間隙等非線性因素相互影響，對(duì)其動(dòng)載特性、傳動(dòng)噪聲及均載穩(wěn)定性均有較大影響，大量研究[8-10]表明輪齒嚙合間的時(shí)變剛度通常是齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)中振動(dòng)不均和動(dòng)載波動(dòng)的重要因素。人字齒行星傳動(dòng)在結(jié)構(gòu)上可視為2對(duì)斜齒行星齒輪的組合體，輪體兩側(cè)存在多處內(nèi)、外嚙合副的接觸和脫離，加之齒輪副間多種非線性因素的激勵(lì)，使得運(yùn)動(dòng)狀況異常復(fù)雜，動(dòng)力學(xué)分析時(shí)需考慮的自由度和嚙合因素較多，導(dǎo)致后期求解和研究困難[11]。為探索其運(yùn)動(dòng)中的振動(dòng)特性有必要做進(jìn)一步的研究。

本文根據(jù)嚙合理論詳細(xì)推導(dǎo)了齒輪傳動(dòng)單齒嚙合時(shí)變嚙合剛度，在Poincaré映射思想和牛頓迭代法基礎(chǔ)上研究了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性和非線性振動(dòng)特性。

1 動(dòng)力學(xué)模型

建立圖1人字齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，o-xyz為系統(tǒng)全局坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)o位于太陽輪的幾何中心,z軸沿構(gòu)件軸向垂直截面向外,x軸沿構(gòu)件的徑向向外,y軸則根據(jù)右手定則確定,人字齒左右側(cè)嚙合副之間視為歐拉梁單元銜接,各行星輪具有相同的物理和幾何參數(shù)。

所建模型基于以下假設(shè)[12]:①系統(tǒng)中扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)關(guān)于幾何中心o對(duì)稱,齒輪本體及行星架視為剛體且具有相同物理屬性;②內(nèi)、外嚙合副間由彈簧和阻尼相連,不考慮齒面間滑動(dòng)摩擦;③嚙合線位于嚙合平面內(nèi),阻尼力和嚙合力視為嚙合位移函數(shù)關(guān)系。假定外嚙合時(shí)沿太陽輪指向行星輪方向?yàn)檎较?內(nèi)嚙合時(shí)沿行星輪指向內(nèi)齒圈方向?yàn)檎较?。不考慮內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理,由集中質(zhì)量法建立含間隙人字齒行星齒輪動(dòng)力學(xué)方程如(1)式所示。

圖1 人字齒行星齒輪嚙合型扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型

(1)

(2)

(3)

齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過程中參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)以及嚙合線長度隨著時(shí)間周期性變化,為準(zhǔn)確分析時(shí)變嚙合剛度隨嚙合運(yùn)動(dòng)的關(guān)系,現(xiàn)根據(jù)嚙合傳動(dòng)原理[11],求出任意瞬時(shí)輪齒嚙合接觸剛度。首先由齒輪設(shè)計(jì)手冊(cè)求得平均嚙合剛度km,再計(jì)算一個(gè)周期T內(nèi)的平均接觸線長度lm,得到剛度-接觸線系數(shù)ξ=km/lm。根據(jù)嚙合原理,在嚙合接觸區(qū)域內(nèi),不同時(shí)刻嚙合齒總對(duì)數(shù)為N,接觸線總長l為時(shí)間t的函數(shù),嚙合區(qū)域以勻速V=2πrb1n1從右向左平動(dòng),其中,rb1為主動(dòng)輪基圓半徑,n1為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速,則由總重合度ε知瞬時(shí)嚙合齒對(duì)數(shù)N為

(4)

而t時(shí)刻嚙合區(qū)總接觸線長度l(t)為

(5)

從而可求得齒輪時(shí)變嚙合剛度

(6)

式中,k(t)為周期性時(shí)變值。

圖2 輪齒嚙合運(yùn)動(dòng)示意圖

(7)

式中,εα為端面重合度,pbt為端面節(jié)距,B為從動(dòng)輪齒寬。

對(duì)于β<β0，時(shí)變嚙合剛度公式k(t)為

(8)

嚙合傳動(dòng)中的齒側(cè)間隙是引起非線性振動(dòng)的主要激勵(lì)源,為等效實(shí)際嚙合情況,令齒側(cè)間隙為2bi,取bi=10 μm,內(nèi)、外嚙合的間隙非線性函數(shù)如下

i=1,2,3,…,12 (9)

(10)

(11)

式中,i=1,2,3。

由于行星輪、太陽輪和內(nèi)齒圈在扭轉(zhuǎn)方向存在剛體位移,導(dǎo)致剛度矩陣產(chǎn)生奇異方程組(1)無法求解,引入轉(zhuǎn)動(dòng)剛體間的相對(duì)位移x1、xpi分別為

(12)

將(12)式分別帶入(1)式、(10)式和(11)式中消除剛體位移,構(gòu)建含新自由度的方程組,鑒于人字齒行星齒輪尺寸和結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,對(duì)消除系統(tǒng)剛體位移后的新方程組進(jìn)行簡化處理,所用變量如下

為避免方程中系數(shù)差值過大而產(chǎn)生病態(tài)問題,對(duì)上述方程組進(jìn)行量綱一化處理,引入位移標(biāo)稱尺度bc=100×10-6m,令無量綱時(shí)間τ=ωnt

(13)

可推導(dǎo)出如下量綱一化變量式[12-13]

將上述變量代入消除剛體位移后的方程組,進(jìn)行量綱一化處理。對(duì)于含16自由度的間隙型非線性微分方程組,整理后的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可統(tǒng)一表述為如下二階微分方程式的形式

(14)

式中

因系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)方程較為復(fù)雜,僅將量綱一化后方程中的內(nèi)、外嚙合位移Xsij、Xrij的阻尼矩陣Csij、Crij和剛度矩陣Ksij、Krij列出,如下所示

式中,i=1,2,3;j=1,2。Msj為太陽輪與行星輪間的等效質(zhì)量,MPij為內(nèi)齒圈與行星輪間的等效質(zhì)量。

2 非線性方程組求解

(15)

則系統(tǒng)方程變?yōu)槿缦路蔷€性方程的解曲線問題

(16)

當(dāng)給定初始ω0,根據(jù)常微分方程柯西問題知(18)式可轉(zhuǎn)化為

(17)

由牛頓迭代法可得修正后的ui+1為

(18)

(19)

3 振動(dòng)特性分析

表1為人字齒行星齒輪系統(tǒng)主要參數(shù),其中齒輪模數(shù)為4,行星輪數(shù)目為3,兩側(cè)螺旋角β為16°,法面壓力角α為20°,輸入轉(zhuǎn)矩Tin=1 425 N·m,嚙合阻尼比系數(shù)μ=0.05,扭轉(zhuǎn)阻尼比系數(shù)為ζ=0.01。

表1 人字齒行星齒輪系統(tǒng)主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)

圖3 人字齒行星傳動(dòng)內(nèi)、外嚙合時(shí)變剛度

圖3所示為人字齒行星傳動(dòng)內(nèi)、外嚙合剛度時(shí)變圖,由圖中所示總嚙合剛度K由單齒嚙合剛度K1和K2疊加而成。

可以看出內(nèi)、外嚙合在傳動(dòng)過程中最多由2對(duì)輪齒相接觸,且每時(shí)刻均處于嚙合狀態(tài),未出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象。內(nèi)嚙合傳動(dòng)剛度為0.28GN/m大于外嚙合時(shí)的0.25GN/m,二者均為周期性梯形波,且剛度變化不具有同步性,這是由于內(nèi)、外嚙合之間傳動(dòng)比不同以及嚙合相位的差異,使得二者具有不同的相對(duì)速度和周期。由圖4單齒嚙合周期可以看出在轉(zhuǎn)速增加過程中,輪齒嚙合周期不斷降低,在轉(zhuǎn)速1 000r/min附近周期變化較為劇烈,當(dāng)轉(zhuǎn)速大于2 500r/min后,基本保持0.002s的單齒嚙合周期。

圖4 單齒嚙合周期

圖5a)和圖5b)中分別考慮了人字行星齒輪傳動(dòng)時(shí)內(nèi)、外嚙合的動(dòng)載特性和均載特性,外嚙合在低速運(yùn)轉(zhuǎn)過程中較為穩(wěn)定動(dòng)載系數(shù)Kv為1.45,當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速達(dá)到7 500r/min時(shí),此時(shí)振動(dòng)較為劇烈動(dòng)載系數(shù)為2.505,內(nèi)嚙合傳動(dòng)在工作過程中出現(xiàn)了3次較為明顯的振動(dòng)峰,整個(gè)振動(dòng)過程不斷產(chǎn)生波動(dòng),其最大峰值發(fā)生在5 900r/min處,對(duì)應(yīng)動(dòng)載系數(shù)為Kv=5.025。在圖5b)中由均載特性可以看出,外嚙合的均載特性較好,在整個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)間基本保持在K=1.348,內(nèi)嚙合在5 900r/min處均載系數(shù)出現(xiàn)躍遷,達(dá)到最大值K=2.513,通過二者的動(dòng)載特性分析表明太陽輪、行星輪的嚙合傳動(dòng)在穩(wěn)態(tài)特性上較行星輪、內(nèi)齒圈嚙合的穩(wěn)定性更好。圖5c)和圖5d)分別從振動(dòng)位移和速度方面對(duì)內(nèi)、外嚙合進(jìn)行了分析,外嚙合的振動(dòng)位移較為平緩,內(nèi)嚙合在傳動(dòng)中位移出現(xiàn)跳躍式增加,最大無量綱值達(dá)到5.564,當(dāng)轉(zhuǎn)速大于7 500r/min時(shí),二者的相對(duì)位移不同程度的出現(xiàn)降低,但在整個(gè)傳動(dòng)過程中并未出現(xiàn)齒背沖擊的現(xiàn)象。由圖5d)可見隨著轉(zhuǎn)速的增加,二者的振動(dòng)均逐漸增強(qiáng),行星輪與內(nèi)齒圈間嚙合較太陽輪嚙合更快地出現(xiàn)振動(dòng)峰值,當(dāng)二者的轉(zhuǎn)速分別達(dá)到5 900r/min和7 500r/min以后,振動(dòng)速度開始逐漸下降。工況設(shè)計(jì)中,應(yīng)注意內(nèi)、外嚙合不同的振動(dòng)峰值區(qū)間,從而避開劇烈的轉(zhuǎn)速區(qū)。

當(dāng)太陽輪轉(zhuǎn)速為12 000r/min時(shí),嚙合傳動(dòng)表現(xiàn)出擬周期振動(dòng),如圖6所示。在位移響應(yīng)中,振動(dòng)無量綱幅值為1.86且在一定范圍內(nèi)表現(xiàn)為諧波振動(dòng)。其中相圖中的軌跡在運(yùn)動(dòng)中不斷扭曲纏繞但并不重合,吸引子最終充滿整個(gè)超環(huán)面形成分形結(jié)構(gòu),運(yùn)動(dòng)過程中未出現(xiàn)齒背沖擊。Poincaré截面為封閉扭曲狀,表明系統(tǒng)在振動(dòng)過程中周期成分較多,從而在一定范圍內(nèi)形成封閉環(huán)。由嚙合位移FFT分析知,振動(dòng)中含有多種頻率成分,離散分布且相互獨(dú)立,頻域分析與相圖和Poincaré映射相吻合,系統(tǒng)的擬周期振動(dòng)并不同于混沌和周期運(yùn)動(dòng)。

圖6 擬周期振動(dòng)

4 結(jié) 論

1) 根據(jù)齒輪嚙合原理,推導(dǎo)了輪齒嚙合時(shí)變剛度公式,計(jì)算了人字齒行星齒輪的內(nèi)、外嚙合剛度,其時(shí)間歷程均為周期性梯形波,二者不具有同步性。

2) 人字齒行星傳動(dòng)中,內(nèi)嚙合在多個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)發(fā)生顯著振動(dòng),動(dòng)載系數(shù)Kv最大值為5.025,對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速為5 900r/min,外嚙合在整個(gè)速度區(qū)間較為穩(wěn)定,最大動(dòng)載系數(shù)為2.505。當(dāng)轉(zhuǎn)速大于7 500r/min時(shí),二者的嚙合位移均出現(xiàn)下降,但并未出現(xiàn)脫齒和齒背沖擊現(xiàn)象,人字齒行星齒輪的外嚙合較內(nèi)嚙合具有更好的振動(dòng)穩(wěn)定性。

3) 逆周期響應(yīng)時(shí),嚙合傳動(dòng)的相軌跡扭曲嚴(yán)重在狀態(tài)空間中形成封閉超環(huán)面,吸引子不斷層疊充滿整個(gè)相空間,Poincaré映射形成封閉的環(huán)狀,FFT頻譜由一系列離散譜構(gòu)成。

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Vibration Characteristics of Herringbone Planetary Gear Train with Internal and External Meshing Stiffness Excitation

Lin He, Wang Sanmin, Dong Jincheng

(School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Internal and external time-varying meshing stiffnesses are the primary excitations which result in unstability in herringbone planetary gear train. Based upon meshing principle, the dynamical trapezoidal wave of meshing stiffness is performed with respect to variation movement of tooth contact areas, the behaviors of the meshing stiffness are exhibited, where both of them are independent and asynchronous along the times. The torsional nonlinear dynamical model including backlash are built by utilizing lumped-mass method, The governing equations are investigated by means of Euler integral as well as Newton iteration algorithm, the analytical solutions demonstrate that internal mesh indicates significant perturbations at some rotational speeds, the maximum vibration displacement takes place at 5 900 r/min, the external mesh movement is more stable with the mean dynamical coefficient atK=1.38. In conjunction with the phase portrait, Poincaré maps and FFT spectral analysis, the quasi-periodic vibration is studied with the conclusion that the attractors in state space warps and flips forming a close hypertorus toroidal surface, the frequency spectrum consists of quantities of independent sub harmonic frequencies.

time-varying meshing stiffness; herringbone planetary gear train; Euler integral; quasi-periodic vibration

2016-04-05

高新技術(shù)研究計(jì)劃(2009AA04Z404)資助

林何(1985—), 西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事齒輪非線性全局動(dòng)力學(xué)研究。

TH113.1

A

1000-2758(2016)05-0893-07