夏露, 李朗, 王亮

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

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基于萊維搜索的寄生算法在氣動(dòng)優(yōu)化中的應(yīng)用

夏露, 李朗, 王亮

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

為了平衡智能優(yōu)化算法的全局與局部搜索能力,對(duì)布谷鳥(niǎo)算法和寄生算法進(jìn)行了探討與分析,將布谷鳥(niǎo)算法中的萊維搜索加入到改進(jìn)的寄生算法中,在增加收斂速度的同時(shí)保證個(gè)體多樣性,進(jìn)而發(fā)展得到了基于萊維搜索的寄生算法。通過(guò)函數(shù)測(cè)試及氣動(dòng)算例驗(yàn)證了新算法優(yōu)越的尋優(yōu)性能。將基于萊維搜索的寄生算法應(yīng)用于翼型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,取得了良好的效果,從而表明提出的算法準(zhǔn)確有效,具有良好的實(shí)用性。

萊維搜索;寄生算法;翼型氣動(dòng)優(yōu)化

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算流體力學(xué)(CFD)的快速發(fā)展,采用數(shù)值優(yōu)化方法進(jìn)行飛行器的氣動(dòng)外形設(shè)計(jì),可以大大提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率并減少設(shè)計(jì)成本[1]。近年來(lái),粒子群算法(PSO)、布谷鳥(niǎo)算法(CS)、寄生算法(SP)等現(xiàn)代啟發(fā)式智能優(yōu)化算法相繼被提出,相較于傳統(tǒng)的優(yōu)化算法,這些算法表現(xiàn)出了較強(qiáng)的全局搜索能力,往往可以更快速準(zhǔn)確地尋找到優(yōu)化的期望值[2]。CS算法通過(guò)萊維搜索可以保證收斂性,而且穩(wěn)定性較好,SP算法則可以有效繼承前代的優(yōu)勢(shì)信息。然而,與更多優(yōu)秀的智能優(yōu)化算法相比,CS算法收斂速度依舊較慢,而SP算法在尋優(yōu)過(guò)程中則容易陷入局部最優(yōu)。

為了獲得尋優(yōu)性能更佳的優(yōu)化算法,本文對(duì)CS算法、SP算法進(jìn)行了探討與分析,將CS算法中的核心技術(shù)萊維搜索引入到寄生算法中,提出了一種基于萊維搜索的寄生算法(LSP),使得改進(jìn)的算法具有良好的全局/局部搜索平衡能力,有效地提高了算法的尋優(yōu)性能。將該算法應(yīng)用到翼型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,取得了良好的結(jié)果。

1 布谷鳥(niǎo)搜索算法

布谷鳥(niǎo)搜索算法[3-4]是楊新社等人在2009年提出的一種智能優(yōu)化算法,其生物模型為布谷鳥(niǎo)的鳥(niǎo)巢寄生繁殖行為,具體模型如下所述:布谷鳥(niǎo)把鳥(niǎo)蛋置于其他鳥(niǎo)類的巢中,靠其孵化以及提供食物,不過(guò)同時(shí)也存在被寄主發(fā)現(xiàn)的可能,這時(shí)寄主會(huì)把布谷鳥(niǎo)蛋棄于巢外或直接將巢拋棄;另一方面,布谷鳥(niǎo)為了提高生存力,布谷鳥(niǎo)先孵化后會(huì)破壞寄主的蛋,以獲得更多的生存資源?；?個(gè)假設(shè)便得到了簡(jiǎn)化的算法:①布谷鳥(niǎo)1次只產(chǎn)1個(gè)蛋,并放在隨機(jī)選取的巢中;②質(zhì)量最好的鳥(niǎo)巢將會(huì)被保留到下一代;③鳥(niǎo)巢的數(shù)量是固定的,布谷鳥(niǎo)蛋被發(fā)現(xiàn)的概率為Pa∈[0,1]。理論證明布谷鳥(niǎo)搜索滿足全局收斂要求,從而保證了全局收斂特性。

算法以昆蟲(chóng)的覓食飛行模式——萊維飛行(Levy flights)作為其全局搜索方式[4]。搜索步長(zhǎng)s取自萊維分布

(1)

式中,t為進(jìn)化代數(shù)。這種分布的方差和平均值均為無(wú)窮大。萊維飛行的特性在許多動(dòng)物和昆蟲(chóng)的飛行行為中得到體現(xiàn),應(yīng)用在優(yōu)化搜索中時(shí)顯示出了可觀的潛力。

算法運(yùn)用了局部搜索(local random walk)與全局搜索(global random walk)的結(jié)合,由參數(shù)Pa控制其轉(zhuǎn)換。

局部搜索的方式為

(2)

全局搜索的方式為

(3)

式中

(4)

圖1為布谷鳥(niǎo)搜索算法的算法流程,圖2顯示了Levy flights選取的隨機(jī)數(shù)。

圖1 Cuckoo Search算法流程

由圖2可以看出,Levy flights選出的隨機(jī)數(shù)具有較大的方差,即波動(dòng)性比較大,這樣能較大程度上保證樣本的多樣性,不會(huì)輕易漏掉潛在的全局最優(yōu)解。同時(shí),還可以通過(guò)調(diào)節(jié)系數(shù)來(lái)對(duì)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行縮放,使變量盡量落在限制的區(qū)間內(nèi)。

圖2 Levy flights選取的隨機(jī)數(shù)

2 寄生算法

2.1 基本寄生算法

自然界中的大部分寄生生物需要獲取宿主體內(nèi)的養(yǎng)分才能生存,并在合適的部位產(chǎn)下后代,越是營(yíng)養(yǎng)豐富的部位越能吸引寄生生物產(chǎn)生下一代[5]。在宿主體內(nèi)發(fā)育的下一代個(gè)體只有能獲得足夠養(yǎng)分的個(gè)體才能發(fā)育為成熟個(gè)體,而其他個(gè)體則被淘汰掉,這里假設(shè)被淘汰掉的個(gè)體將由發(fā)育成熟的個(gè)體所吞噬。將寄生模式以整個(gè)尋優(yōu)空間為宿主,養(yǎng)分視為適應(yīng)值,寄生生物群在整個(gè)尋優(yōu)空間尋找最優(yōu)解,寄生生物群落最后應(yīng)該聚集在最優(yōu)解周圍,這樣便得到了下面的寄生算法(SP)。

每一代保留一定數(shù)量的成熟個(gè)體,其產(chǎn)生后代的數(shù)量由下式確定:

幼體數(shù)目為

(5)

式中,參數(shù)k為繁殖系數(shù),PbestFit為當(dāng)前個(gè)體最優(yōu)適應(yīng)度值,GbestFit為群體最優(yōu)適應(yīng)度值,N0為繁殖基準(zhǔn)數(shù)。

拉丁超立方抽樣的范圍:R=R0/q,其中,q為擁擠度因子,其值由下面的公式給出;其中,Niter為當(dāng)前迭代次數(shù),R0為初始變量區(qū)間。

(6)

如果成熟個(gè)體適應(yīng)度值劣于全局最優(yōu)值,其后代將均勻分布于該個(gè)體周圍、整個(gè)設(shè)計(jì)空間內(nèi)和全局最優(yōu)解周圍。分布于整個(gè)設(shè)計(jì)空間的后代是通過(guò)拉丁超立方抽樣產(chǎn)生。具體操作方式如下

(7)

上式中rand為0～1之間的隨機(jī)數(shù),random為隨機(jī)產(chǎn)生的個(gè)體位置,Pbest為當(dāng)前個(gè)體最優(yōu)位置,Gbest為群體最優(yōu)位置。

如果成熟個(gè)體適應(yīng)度值優(yōu)于全局最優(yōu)值,則后代將圍繞在該個(gè)體周圍產(chǎn)生

(8)

如此得到每一代幼體并計(jì)算其適應(yīng)值,適應(yīng)值差的那些幼體將被淘汰掉,最后存活下來(lái)的M個(gè)幼體將發(fā)育為成熟個(gè)體,繼續(xù)產(chǎn)生下一代。

SP算法的流程結(jié)構(gòu)如圖3所示:

圖3 SP算法流程

2.2 寄生算法的改進(jìn)

寄生算法雖然強(qiáng)化了局部搜索,但是還存在一些不足。首先,寄生算法中成熟個(gè)體產(chǎn)生的后代數(shù)目過(guò)多,以N=60,M=5為例,每一代產(chǎn)生后代的數(shù)量則為300,因此為了減少計(jì)算量,將產(chǎn)生后代的模式調(diào)整為15×4=60個(gè)。其次,為了加快收斂速度,將產(chǎn)生后代的模型,改為每個(gè)成熟個(gè)體只在自身周圍產(chǎn)生后代,拋棄隨機(jī)生成的部分。除此之外,算法收斂得好需要后期搜索的精細(xì)化,也就是搜索范圍要逐漸縮小。因此,對(duì)SP算法產(chǎn)生后代公式中的參數(shù)做出調(diào)整,使搜索半徑隨著優(yōu)化代數(shù)的增加而遞減。如此便得到了改進(jìn)的寄生模型。

對(duì)于劣于全局最優(yōu)的成熟個(gè)體

(9)

式中，q=PbestFit/GbestFit。

對(duì)于優(yōu)于最優(yōu)的成熟個(gè)體

(10)

為了檢驗(yàn)改進(jìn)的算法收斂速度,下面將對(duì)算法進(jìn)行函數(shù)測(cè)試。本文用到的函數(shù)如下所示:

1) Sphere函數(shù)

搜索范圍:-100≤xi≤100

全局最小值:min(f1)=f1(0,…,0)=0

此函數(shù)為非線性的對(duì)稱單峰函數(shù),大多數(shù)算法都能輕松達(dá)到優(yōu)化效果,其主要用于測(cè)試算法的尋優(yōu)精度。

2) Rosenbrock函數(shù)

搜索范圍:-30≤xi≤30

全局最優(yōu)值為:min(f2(x))=f2(1,1,,…,1)=0

該函數(shù)是一個(gè)單峰函數(shù),靠近最優(yōu)點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橄憬稜?變量之間有很強(qiáng)的相關(guān)性,且梯度信息經(jīng)常誤導(dǎo)算法的搜索方向。

3) Ackley函數(shù)

搜索范圍:-50≤xi≤50

全局最優(yōu)值為:min(f2)=f2(0,…,0)=0

該函數(shù)是一個(gè)連續(xù)、旋轉(zhuǎn)、不可分離的多峰函數(shù),存在大量的局部最優(yōu)點(diǎn)。

下面選取Rosenbrock和Sphere這2個(gè)函數(shù)對(duì)SP算法及改進(jìn)SP算法進(jìn)行測(cè)試,最大優(yōu)化代數(shù)設(shè)為100,取50次測(cè)試的平均值作為性能指標(biāo)。函數(shù)測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表1 算法函數(shù)測(cè)試對(duì)比

通過(guò)以上測(cè)試可以看出,改進(jìn)的寄生模型在大大減小計(jì)算量的基礎(chǔ)上,而且算法的尋優(yōu)性能有所加強(qiáng),后期仍然可以提供較大的種群多樣性,可以有效地避免陷于局部最優(yōu)。

3 基于萊維搜索的寄生算法

CS算法通過(guò)萊維搜索可以保證收斂性,而且穩(wěn)定性較好,但是收斂速度相對(duì)較慢,往往需要上千次的優(yōu)化代數(shù)才能得到較理想的優(yōu)化結(jié)果,限制了算法的應(yīng)用范圍。SP算法可以有效繼承前代的優(yōu)勢(shì)信息,但是其搜索機(jī)制限制了收斂性,過(guò)大的收縮半徑會(huì)導(dǎo)致搜索效率的降低,而過(guò)小的搜索半徑則有可能導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)。為了保證算法收斂性的同時(shí),加以優(yōu)勢(shì)信息的指導(dǎo)以期增加算法的收斂速度,考慮將CS算法中的核心技術(shù)萊維搜索方法與改進(jìn)的寄生算法相結(jié)合。

在寄生算法中,每個(gè)成熟個(gè)體及其得到的后代都可以看做是一個(gè)群落,通過(guò)自然選擇不斷進(jìn)行繁衍和進(jìn)化,使得有優(yōu)勢(shì)的個(gè)體得以生存,淘汰掉沒(méi)有競(jìng)爭(zhēng)力的個(gè)體?；谏鲜鲈?本節(jié)將CS算法中的萊維搜索加入到改進(jìn)的寄生算法中,這樣便得到了基于萊維搜索的寄生算法(Levy simulated parasitism,LSP)。如此一來(lái),后代在保留了最優(yōu)解的潛在設(shè)計(jì)空間的條件下,還能夠通過(guò)萊維搜索繼續(xù)有效尋優(yōu)搜索,增大了尋優(yōu)全局最優(yōu)解的概率。

LSP算法仍然以寄生算法為框架,在種群中選擇較優(yōu)的n個(gè)個(gè)體作為成熟個(gè)體,然后由每個(gè)成熟個(gè)體產(chǎn)生m個(gè)后代,得到n*m個(gè)后代。在成熟個(gè)體產(chǎn)生后代的過(guò)程中,成熟個(gè)體與最優(yōu)個(gè)體比較,如果成熟個(gè)體的適應(yīng)值不優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu),則后代在最優(yōu)個(gè)體附近得到后代,方式如下所示

(11)

否則后代在成熟個(gè)體附近產(chǎn)生,方式如下所示

(12)

式中，L(s,λ)為萊維搜索,如前文所描述;系數(shù)α可以調(diào)整搜索的步長(zhǎng),采用線性遞減的策略,如下式所示

(13)

式中,αstart、αend分別為開(kāi)始及結(jié)束時(shí)的步長(zhǎng)系數(shù),maxgen為最大迭代代數(shù),k為當(dāng)前優(yōu)化代數(shù)。

算法的流程如圖4所示:

圖4 LSP算法流程

4 算法函數(shù)測(cè)試

為了比較CS算法、改進(jìn)的SP算法和LSP算法的性能,并且驗(yàn)證LSP算法是否具有良好的尋優(yōu)能力,分別用這3種算法進(jìn)行函數(shù)測(cè)試,并與粒子群算法(PSO)進(jìn)行對(duì)比。PSO算法是一種模擬鳥(niǎo)群飛行覓食行為的智能優(yōu)化算法,該算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn),無(wú)復(fù)雜的參數(shù)調(diào)整,具有一定的全局/局部搜索平衡能力,被廣泛應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)領(lǐng)域。

這里選用的測(cè)試函數(shù)是Rosenbrock函數(shù)以及Ackley函數(shù),為了保證各優(yōu)化算法在優(yōu)化過(guò)程中調(diào)用測(cè)試函數(shù)的次數(shù)盡可能相同,從而保證相當(dāng)?shù)挠?jì)算量,各優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)置如表2所示,函數(shù)測(cè)試結(jié)果如表3所示。

表2 算法設(shè)置

表3 算法函數(shù)測(cè)試

通過(guò)函數(shù)測(cè)試可以看出,不管是多峰的Ackley函數(shù)還是單峰的Rosenbrock函數(shù),多次函數(shù)測(cè)試的平均值以及最小值,在相同計(jì)算量的前提下,新發(fā)展的LSP算法可以收斂到更優(yōu)的最優(yōu)值,從而得到更好的優(yōu)化效果。下面通過(guò)氣動(dòng)算例來(lái)加以驗(yàn)證。

5 翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)

優(yōu)化設(shè)計(jì)模型包括3個(gè)基本要素:目標(biāo)函數(shù),約束條件和設(shè)計(jì)變量。對(duì)于翼型氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)而言,一般確定了設(shè)計(jì)點(diǎn)后可選取表示升阻特性或力矩特性的氣動(dòng)系數(shù)作為目標(biāo)函數(shù),對(duì)翼型厚度和面積等進(jìn)行限制作為約束,將翼型的幾何形狀作為設(shè)計(jì)變量[6]。為了檢驗(yàn)LSP算法對(duì)翼型的優(yōu)化性能,下面我們將分別使用CS算法和LSP算法對(duì)RAE2822翼型進(jìn)行單點(diǎn)減阻優(yōu)化設(shè)計(jì),并與PSO算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

設(shè)計(jì)狀態(tài)為

Ma=0.74,α=2.3°, Re=5.59×106

g3(x):s≥s0

優(yōu)化目標(biāo)為最小化翼型阻力系數(shù),約束條件為翼型的面積和最大厚度不減小,翼型的力矩系數(shù)不減小且保持升力系數(shù)基本不變(上下浮動(dòng)2%)。翼型幾何參數(shù)化采用改進(jìn)的Hicks-Henne參數(shù)化方法[7-8],選取14個(gè)設(shè)計(jì)變量來(lái)確定翼型,其中7個(gè)設(shè)計(jì)變量表示翼型厚度分布,另外7個(gè)設(shè)計(jì)變量表示翼型彎度分布。氣動(dòng)特性的分析計(jì)算采用N-S雷諾平均方程計(jì)算繞翼型流場(chǎng),湍流模型為S-A,網(wǎng)格采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。

本節(jié)算例采用了標(biāo)準(zhǔn)CS算法、標(biāo)準(zhǔn)PSO算法以及LSP這3種優(yōu)化算法。對(duì)于LSP算法,分別采用步長(zhǎng)系數(shù)為0.000 05和0.000 5的算法策略,以檢驗(yàn)不同的步長(zhǎng)系數(shù)對(duì)LSP算法的優(yōu)化性能影響。為了區(qū)分上述2種LSP算法,分別以LSP-1與LSP-2表示。此外,由于算法原理各有差異,為了能保證調(diào)用氣動(dòng)計(jì)算的次數(shù)盡可能相同,從而保證相當(dāng)?shù)挠?jì)算量,各算法參數(shù)設(shè)置如下所述:

標(biāo)準(zhǔn)CS算法,種群數(shù)量為20,步長(zhǎng)系數(shù)采用非線性遞減,α=0.5-0.45/maxgen2×k2,優(yōu)化代數(shù)設(shè)為40代;標(biāo)準(zhǔn)PSO算法,初始種群為40,算法優(yōu)化39代;LSP-1算法,成熟個(gè)體的數(shù)量4個(gè),每個(gè)成熟個(gè)體產(chǎn)生25個(gè)后代,優(yōu)化代數(shù)設(shè)為4代, PSO算法優(yōu)化10代,步長(zhǎng)系數(shù)為0.000 05;LSP-2算法,步長(zhǎng)系數(shù)取0.000 5,其他算法設(shè)置同LSP-1;優(yōu)化后翼型的氣動(dòng)特性比較如表4所示,算法優(yōu)化的迭代收斂過(guò)程如圖5所示,翼型優(yōu)化幾何形狀如圖6所示,翼型優(yōu)化壓力分布如圖7所示。

表4 翼型氣動(dòng)特性對(duì)比

圖5 翼型優(yōu)化收斂曲線 圖6 翼型優(yōu)化幾何形狀 圖7 翼型優(yōu)化壓力分

從表可以看出,步長(zhǎng)系數(shù)為0.000 5的LSP-2算法可以收斂到比較接近全局最優(yōu)的位置,優(yōu)化后阻力系數(shù)降低了22.16%;而與之相比,PSO、CS以及步長(zhǎng)系數(shù)為0.000 05的LSP-1算法優(yōu)化后升阻比則分別降低了20.85%、21.36%、21.13%。另外,圖5則顯示,相對(duì)于PSO算法以及CS算法,發(fā)展的LSP算法在較短的代數(shù)內(nèi)就能夠基本收斂,而且能夠?qū)?yōu)到比較好的解位置處;圖6顯示優(yōu)化后翼型的上表面頂點(diǎn)后移,最大厚度位置也稍微往后移動(dòng)了一些;圖7表明翼型的前加載增強(qiáng),同時(shí)上邊面的激波得以抹去。證明了發(fā)展的LSP算法在選取了合適的步長(zhǎng)系數(shù)后,可以達(dá)到很好的優(yōu)化效果。

6 結(jié) 論

在本文的CS算法中,萊維飛行(Levy flights)搜索方式可以保證算法的收斂性,而且穩(wěn)定性較好。但是,CS算法收斂速度相對(duì)較慢,往往需要上千次的優(yōu)化代數(shù)才能得到較理想的優(yōu)化結(jié)果,限制了算法的應(yīng)用范圍。SP算法可以有效繼承前代的優(yōu)勢(shì)信息,但是其搜索機(jī)制限制了收斂性,過(guò)大的收縮半徑會(huì)導(dǎo)致搜索效率的降低,而過(guò)小的搜索半徑則有可能導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)。本節(jié)將CS算法中的核心技術(shù)萊維搜索加入到改進(jìn)的寄生算法中,便發(fā)展得到了LSP算法。

通過(guò)函數(shù)測(cè)試以及氣動(dòng)優(yōu)化算例可以發(fā)現(xiàn),發(fā)展的LSP算法通過(guò)將CS算法中的萊維搜索機(jī)制引入到寄生算法中,在保留成熟個(gè)體優(yōu)勢(shì)信息的同時(shí),還能通過(guò)萊維搜索補(bǔ)充群體所需要的多樣性,取得了比CS、PSO、SP算法更好的優(yōu)化效果,達(dá)到了優(yōu)化的目的。

在優(yōu)化過(guò)程中,萊維搜索方式能較大程度上保證樣本的多樣性,不會(huì)輕易漏掉潛在的全局最優(yōu)解。在最優(yōu)化問(wèn)題中可以考慮將萊維搜索與其他算法進(jìn)行有機(jī)結(jié)合,從而有可能為算法提供更好的智能驅(qū)動(dòng)力,提升算法的尋優(yōu)性能。

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Applying the Levy Simulated Parasitism Algorithm to Airfoil Aerodynamic Optimization

Xia Lu, Li Lang, Wang Liang

(School of Astronautics,Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

In order to balance the global and local search ability of intelligent optimization algorithm, the cuckoo search algorithm and simulated parasitic algorithm is discussed and analyzed. The mechanism of simulated parasitism model and cuckoo search is much alike, so the Levy flight search strategy of cuckoo search is introduced into the former model. So we get a optimization algorithm which is named Levy simulated parasitism algorithm. Function tests and aerodynamics problem prove that improved algorithm has better searching ability. Applying the Levy simulated parasitism algorithm to the airfoil aerodynamic optimization design, we achieve good results, which show that the proposed algorithm is effective and practical.

the Levy flight search; the simulated parasitic algorithm; airfoil aerodynamic optimization design

2016-04-02

國(guó)家自然科學(xué)基金(11172242)資助

夏露(1977—)，女，西北工業(yè)大學(xué)副教授，主要從事飛行器設(shè)計(jì)研究。

V211.4

A

1000-2758(2016)05-0767-07