趙季紅，李雷雷，曲 樺,王偉華，馬兆恬

(1.西安郵電大學 通信與信息工程學院,西安 710061；2.西安交通大學 電子信息學院,西安 710049)

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沖擊噪聲下基于相關(guān)熵的二維ESPRIT算法

趙季紅1,2，李雷雷1，曲 樺2,王偉華2，馬兆恬1

(1.西安郵電大學 通信與信息工程學院,西安 710061；2.西安交通大學 電子信息學院,西安 710049)

針對基于相關(guān)函數(shù)的波達方向(direction of arrival, DOA)估計方法在沖擊噪聲環(huán)境下性能下降明顯甚至失效的問題，提出基于相關(guān)熵 (Correntropy)的二維ESPRIT算法；該方法利用相關(guān)熵在沖擊噪聲環(huán)境下具有魯棒性的優(yōu)點，將受干擾信號的自相關(guān)函數(shù)替換為相關(guān)熵函數(shù)，并結(jié)合二維ESPRIT算法實現(xiàn)在沖擊噪聲環(huán)境下進行二維DOA估計；仿真表明，與基于分數(shù)低階統(tǒng)計(Fractional Lower Order Statistics, FLOS)算法相比，該算法呈現(xiàn)明顯優(yōu)勢，特別在高的沖擊噪聲條件下(1<α<1.5)能對信源方向進行更加有效的估計，且均方誤差值仍保持很低。

相關(guān)熵；波達方向估計；沖擊噪聲；分數(shù)低階統(tǒng)計；二維ESPRIT算法

0 引言

傳統(tǒng)波達方向估計方法[1-2]大多針對高斯白噪聲背景提出，而實際中，由于山脈、森林和海浪等影響，信號呈現(xiàn)突然的破裂或峰值，使得實際噪聲環(huán)境具有很強沖擊性。此時傳統(tǒng)基于高斯噪聲背景的算法性能大幅下降甚至失效[3-4]，因此針對沖擊噪聲背景下的DOA估計是DOA估計中的重要研究方向。

基于相關(guān)函數(shù)的波達方向估計在傳統(tǒng)方法中已經(jīng)得到了廣泛的應用，但其只反映了信號間的二階矩統(tǒng)計特性，在沖擊噪聲背景下，其處理能力會顯著下降。為了抑制沖擊信號，部分基于分數(shù)低階統(tǒng)計的方法[5-8]被應用于DOA估計?；诜謹?shù)低階矩 (FLOM) 的算法[6]放寬了信號和噪聲中α-stable的約束條件。文獻[7]分析并給出了FLOM-MUSIC和FLOM-ESPRIT算法的仿真。但以上幾種算法僅對兩個變量中的一個起到抑制沖擊值的作用。為克服該缺點文獻[8]提出了基于子空間算法的相位分數(shù)低階矩(PFLOM)。

盡管上述基于分數(shù)低階統(tǒng)計量的算法都具有魯棒性，但這些方法大多只考慮了弱沖擊噪聲情況，故在低信噪比情況下，性能大幅下降。為了能夠更精細地劃分空間并且提高低信噪比情況下的系統(tǒng)性能，本文中將基于相關(guān)熵的相關(guān)性度量準則[9]與二維ESPRIT算法[10-12]相結(jié)合，提出了基于相關(guān)熵的二維ESPRIT算法。

1 陣列結(jié)構(gòu)和信號模型

(1)

其中：A為信號導引矢量，向量s(k)=(s1(k),s2(k),…,sL(k))T為期望信號，n(k)=(n1(k),n2(k),…,nM(k))為加性噪聲，第l個信號導引矢量為：

其中:λ為信號波長，τml為第l個信號到達第m個陣元時相較參考點的時延：τml=xmcosφlsinθl+ymsinφlsinθl+zmcosθl。

沖擊噪聲環(huán)境使用對稱的α-stable分布[13](SαS)建模，其特征函數(shù)定義如下：

(2)

其中：η(-∞<η<∞)為位置參數(shù)，相當于高斯分布的均值，γ(γ>0)為分散系數(shù)，對應高斯分布的方差，α(0<α≤2)為特征指數(shù)，表示α-stable分布的拖尾特征，當α=2時為高斯分布。因為SαS分布噪聲的方差并不存在，所以本文使用信號平均功率和噪聲分散系數(shù)γ的比值代替?zhèn)鹘y(tǒng)的信噪比定義，即廣義信噪比(GSNR, Generalized Signal-to-Noise Ratio)來代替一般的信噪比，其表達式為：

(3)

圖1 二維到達角的空間關(guān)系圖

圖2 接收信號到達參考點時與各坐標軸的夾角

(4)

由圖1可知，3個與一維陣列相同的均勻線陣分別分布在3個坐標軸上構(gòu)成了二維方向估計的天線陣列。本文對3個坐標軸進行拆分，將每個坐標軸作為一組線陣，每個線陣配置M個陣元。L(L

(5)

其中：s(t)為期望信號向量，n(t)為信號在傳輸過程中的加性噪聲，Ax(α)、Ay(β)、Az(γ)分別為3個坐標軸上線性陣列的陣列矢量：

(6)

其中：

(7)

2 基于相關(guān)熵的二維ESPRIT算法

本文采用了基于相關(guān)熵的相關(guān)性 (CRCO, Correntropy based Correlation) 度量準則，并將其與二維ESPRIT算法相結(jié)合，提出了基于相關(guān)熵的二維ESPRIT算法 (CRCO-ESPRIT)，該方法在高沖擊噪聲環(huán)境下較FLOS-ESPRIT和PFLOS-ESPRIT有明顯的性能提升。

2.1 相關(guān)熵函數(shù)

若隨機變量X和Y為服從獨立同分布的對稱的α-stable分布，則基于相關(guān)熵的兩個隨機變量X和Y的相關(guān)性定義為：

(8)

式中，σ為核寬度，陣列輸出協(xié)方差矩陣對應傳統(tǒng)ESPRIT算法的自相關(guān)函數(shù)。在確定出合適的核寬度后，當接收數(shù)據(jù)中出現(xiàn)較大的沖擊噪聲時，指數(shù)項變小，使得計算結(jié)果中該處協(xié)方差元素的整體值減小，降低了沖擊噪聲對于計算結(jié)果的影響。然而，公式 (8) 僅定義了基于相關(guān)熵的互相關(guān)，當X=Y時，基于相關(guān)熵的自相關(guān)函數(shù)不存在，取而代之的仍是傳統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)。為了解決這個問題，可以將公式 (8) 推廣為：

(9)

式中，μ為正常數(shù)且μ≠1，1<α≤2，E[·]表示數(shù)學期望。

相關(guān)熵可以在樣本空間誘導一個新的度量標準CIM (Correntropy Induced Metric)，表示為：

(10)

2.2 算法介紹

本文假設(shè)系統(tǒng)中各期望信號之間不相關(guān)；信號與噪聲、噪聲與噪聲之間均相互獨立且信號數(shù)不大于陣列天線數(shù)?；谝陨舷到y(tǒng)假設(shè)，依據(jù)二維ESPRIT算法的陣列模型，將z軸上M個陣元天線分為兩組，每組個數(shù)為m，則對于每組陣元，L個接收信號分別為：

(11)

(12)

依據(jù)公式(9)計算z軸接收數(shù)據(jù)的相關(guān)熵，其矩陣形式為：

(13)

(14)

其中:μ為正常數(shù)且μ≠1，1<α≤2，zi(t)和zj(t)是z軸上接收到的信號向量z(t)的第i個和第j個元素。

(15)

其中，Range{ ·} 表示矩陣中的向量張成的空間。因此，一定存在一個滿秩矩陣Tz，使得:

(16)

(17)

必然惟一存在一個秩為L的矩陣Fz∈C2L×L滿足:

(18)

(19)

2.3 角度匹配

(20)

在實際應用中，由于接收信號中必然存在噪聲，因此在角度估計的過程中會存在一定的誤差，使得估計的結(jié)果并不嚴格滿足上式的關(guān)系，而是出現(xiàn)一定的偏差，此時不能再繼續(xù)使用上式來對角度進行配對，需要對上式進行改進，通過求解公式(21)來進行角度的配對：

(21)

其中：min{·}表示求取最小值操作。在對3L個角度值進行配對組合之后，得到L組來波信號與3個坐標軸的夾角，繼而使用公式(4)對角度進行轉(zhuǎn)換，得到來波信號三維角度的真正估計值，即方位角和俯仰角。

3 仿真實驗與分析

在仿真中，假定3個相互獨立的16進制正交振幅調(diào)制信號(16-QAM)，接收到的用戶信號三維角度中，方位角φl為[80° 120° 40°]，俯仰角θl為[20° 50° 60°]，天線陣列為如圖1所示的雙L型陣列，每個坐標軸上由8個天線陣子組成的間距為半波長的等間距線性陣列，其中原點處陣元為3個坐標軸共用?？炫臄?shù)N為600，每個仿真實驗均進行100次獨立的蒙特卡羅試驗。仿真實驗所用到的信號和噪聲分別為遠場窄帶信號源和SαS分布的噪聲，算法的性能由方向估計的正確率以及均方誤差來評估。與之作對比的有傳統(tǒng)的二維ESPRIT算法[11]、FLOM-ESPRIT算法[7]以及PFLOM-ESPRIT算法[8]。

圖3 DOA估計仿真結(jié)果圖

首先，圖3(a)到圖3(d)在沖擊噪聲特征指數(shù)α的取值均為1.1情況下比較了4種二維DOA估計算法。由圖中可以看出，基于相關(guān)熵的DOA估計算法性能明顯優(yōu)于其它3種算法，在較高的沖擊噪聲下，傳統(tǒng)ESPRIT與FLOM-ESPRIT算法已經(jīng)無法正確判斷出信號源的方向。由圖3(d)中可以看出，在10 dB的信噪比條件下，方位角和俯仰角的測向精度均保持在3°以內(nèi)。故可以得出結(jié)論：相比基于FLOS的算法，基于相關(guān)熵的二維ESPRIT算法估計的正確率更高，抑制沖擊噪聲的效果更為明顯。

其次，圖4、圖5分別對不同GSNR值條件下4種算法的正確率及均方誤差進行了比較。令GSNR的值從2 dB變化到10 dB，兩圖中沖擊噪聲特征指數(shù)α的取值均為1.6?？梢钥闯?，在較低的廣義信噪比條件下，傳統(tǒng)二維ESPRIT與FLOM-ESPRIT算法已經(jīng)無法正確判斷出信號源的方向，即使與基于PFLOM的ESPRIT算法相比，基于相關(guān)熵的二維ESPRIT算法仍具有較強的優(yōu)勢，估計出的信號方向正確率更高，均方誤差更小。

圖4 不同GSNR條件下4種算法正確率對比圖

圖5 不同GSNR條件下4種算法MSE對比圖

最后，如圖6、圖7所示，分別對比了在不同的α值條件下4種算法的性能。比較了不同特征指數(shù)(即α值)對于各算法性能的影響。在該仿真中測試了α值從1～1.5變化過程中4種算法的正確率及均方誤差，兩圖中廣義信噪比GSNR的取值均為6。由兩圖可以看出，在較高的沖擊噪聲環(huán)境中，相比基于FLOS的算法，基于相關(guān)熵的二維ESPRIT算法估計出的信號方向中正確率始終接近于1，誤差始終接近于0，仿真效果較好。

圖6 不同α值條件下4種算法正確率對比圖

圖7 不同α值條件下4種算法MSE對比圖

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于相關(guān)熵的二維ESPRIT算法，給出了基于相關(guān)熵的協(xié)方差矩陣公式，并將其與二維ESPRIT算法相結(jié)合來獲得二維DOA估計值。該算法利用相關(guān)熵中協(xié)方差函數(shù)的內(nèi)在魯棒性，將基于傳統(tǒng)協(xié)方差的二維ESPRIT擴展為基于相關(guān)熵的二維ESPRIT算法。仿真結(jié)果顯示，提出的算法比基于FLOS的二維ESPRIT算法性能更好，尤其在高的沖擊噪聲或低的廣義信噪比環(huán)境中。

[1]He J, Swamy M N S, Ahmad M O. Efficient application of MUSIC algorithm under the coexistence of far-field and near-field sources [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(4) : 2066-2070.

[2]Choi Y H. ESPRIT-based coherent source localization with forward and backward vectors [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58 (12) : 6416-6420.

[3]Fernandez M, Landa I, Arrinda A, et al. Measurements of Impulsive Noise From Specific Sources in Medium Wave Band[J]. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2014, 13:1263-1266.

[4]Zhao D Y, Gao H Y, Diao M, et al. Direction finding of maximum likelihood algorithm using artificial bee colony in the impulsive noise [A]. IEEE Conference on Artificial Intelligence and Computational Intelligence[C]. Sanya: [s. n.], 2010: 102-105.

[5]Zhao X H, Premkumar A B, Madhukumar A S. Direction of arrival tracking in impulsive noise using particle filtering with fractional lower order moment likelihood [A]. IEEE Conference on Information, Communication and Signal Processing[C]. Singapore: [s. n.], 2011 : 1-5.

[6]Akhtar M T. Fractional lower order moment (FLOM)-based adaptive algorithm with data-reusing for Active noise control of impulsive sources[A]. 2013 International Conference on Signal-Image Technology & Internet-Based Systems (SITIS)[C]. IEEE, 2013:31 - 37.

[7]韓曉東. 沖擊噪聲背景下的測向算法研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工程大學, 2012.

[8]Hongjun S, Shang X Q, Zheng J B. 2-D Direction of arrival estimation algorithm in impulsive noise[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2011, 40(6):844-848.[9]Liu W F, Pokharel P P, Principe J C. Correntropy : properties and applications in non-gaussian signal processing [J]. Signal Processing, IEEE Transactions on. 2007, 55(11): 5286-5298.

[10]Chen F J, Kwong S, Kok C W. ESPRIT-Like two-dimensional DoA estimation for coherent signals [J]. Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions on. 2010, 46(3): 1477-1484.

[11]楊榮山, 張 寧, 張 玉. 基于L型陣的ESPRIT算法在DoA估計中的應用[J]. 無線電通信技術(shù). 2013, 39(4): 85-88.

[12]Xu X, Ye Z. Two-dimensional direction of arrival estimation by exploiting the symmetric configuration of uniform rectangular array [J]. Radar, Sonar and Navigation, IET,2012, 6(5): 307-313.

[13]Song A M, Qiu T S. The Equivalency of minimum error entropy criterion and minimum dispersion criterion for symmetric stable signal processing [J]. Signal Processing Letters, 2010, 17(1):32-35.

[14]Chen Badong, Principe J C. Maximum correntropy estimation is a smoothed MAP estimation [J]. Signal Processing Letters, IEEE, 2012, 19(8):491 - 494.

Correntropy-Based Two-Dimensional ESPRIT Algorithm under Impulsive Noise

Zhao Jihong1,2, Li Leilei1, Qu Hua2, Wang Weihua2, Ma Zhaotian1

(1. School of Telecommunication and Information Engineering , Xi′an University of Posts & Telecommunications, Xi′an 710061, China; 2. School of Electronic and Information Engineering, Xi′an Jiaotong University, Xi′an 710049,China)

In order to solve the problem that the correlation function-based DOA (Direction of Arrival, DOA)estimation method has an obvious performance degradation or even a total efficiency loss in the impulsive noise environment, a new two-dimensional ESPRIT algorithm based on correntropy was proposed. It takes advantage of correntropy’s robustness in the impulsive noise environment, replaces the signal's autocorrelation function with the correntropy function and combines with two-dimensional ESPRIT algorithm to estimate two-dimensional DOA in the impulsive noise environment. Simulation results show that CRCO-ESPRIT outperforms the existing FLOS algorithm and especially can estimate DOA efficiently in high impulsive noise environments(1<α<1.5), and the mean square error still remain at a low level.

correntropy; DOA; impulsive noise;fractional lower order statistics; two-dimensional ESPRIT

2015-12-02；

2015-12-29。

國家自然科學基金項目(61371087);新一代寬帶無線移動通信國家重大專項項目(2013ZX0302010-003);國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(“863”計劃”)；(2014AA01A706)。

趙季紅(1963-)，女，陜西西安人，博士，教授，主要從事寬帶通信網(wǎng)、新一代網(wǎng)絡(luò)的管理與控制方向的研究。

曲 樺(1961-)，男，漢，陜西西安人，博士，教授，主要從事新一代無線寬帶無線通信技術(shù)方向的研究。

1671-4598(2016)06-0170-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.06.047

TN911

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