曹 旭，亓 凱，馬 犇，韓立立

(中國石油大學(華東)，山東 青島 266555)

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基于MATLAB的最小二乘法處理楊氏模量測量數(shù)據(jù)的研究

曹 旭，亓 凱，馬 犇，韓立立*

(中國石油大學(華東)，山東 青島 266555)

分析了支撐共振法測量固體材料楊氏模量的實驗原理，用最小二乘法代替外延法處理測量數(shù)據(jù)，給出MATLAB數(shù)學軟件具體處理程序，運行得到試樣基振頻率并直接求出其楊氏模量以及相對誤差，大大的簡化了實驗的計算處理過程并且減小了實驗誤差。

楊氏模量；最小二乘法；MATLAB；曲線擬合

楊氏模量是表征固體材料彈性形變范圍內(nèi)正應力與相應正應變的比值，是描述固體材料抵抗形變能力的重要物理量。

楊氏模量的測量方法大致分為靜態(tài)法[1]、動態(tài)法[2]和波傳播法。靜態(tài)法和波傳播法因為過程緩慢而又麻煩和受到設備的限制，難以普遍應用。動態(tài)法中常用的方法是彎曲共振法，即將棒狀試樣支撐起來，在節(jié)點兩側(cè)選取不同的點對稱支撐并測量出支撐點的共振頻率，然后利用外延法找出節(jié)點處的共振頻率，從而確定材料的楊氏模量[3]。但是外延法處理誤差較大，往往由于人為因素的影響而導致實驗結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差。本文對測量數(shù)據(jù)進行最小二乘法擬合處理，結(jié)合MATLAB數(shù)學處理軟件，避免了復雜的計算過程，運行后直接得出試樣棒的基振頻率以及最終結(jié)果，減小了實驗處理中的誤差。

1 楊氏模量測量原理

楊氏模量測量原理見圖1。

圖1 動態(tài)法測楊氏模量實驗示意圖

如圖1所示，信號發(fā)生器輸出正弦波信號到發(fā)射換能器，將電信號轉(zhuǎn)換為機械振動并激發(fā)試樣棒受迫振動，另一端的接收換能器再將沿試樣傳過來的機械振動轉(zhuǎn)換為電信號，經(jīng)過處理放大后再示波器上顯示出來[4]。

其中，長度為L直徑為d的細長棒在受迫振動時滿足下列橫振動方程，

當方程滿足棒的兩端是自由端的邊界條件時，用分離變量法求橫振動方程可得圓棒楊氏模量的計算公式[5]，

式中，m為棒的質(zhì)量，f為基頻振動的固有頻率，d為圓棒直徑，在試樣不滿足d?L時要乘上徑長比d/L的修正系數(shù)T1，T1如表1所示[6]。

表1 徑長比與修正系數(shù)的對應關系

由式2可知，只要測得試樣的固有頻率就可以計算出材料的楊氏模量。物體固有頻率和共振頻率不是同一個頻率，但一般情況下，共振頻率和固有頻率相比只偏低0.005%，二者相差很小，通常用共振頻率代替固有頻率。在該實驗中，固有頻率用距離端面0.224 L和0.776 L的節(jié)點處的共振頻率(基頻)代替。所以我們需要測量將試樣支撐在節(jié)點處的基頻振動頻率，由于節(jié)點處的試樣很難被激振和拾振，振動振幅幾乎為零，無法直接測量基頻。

而且考慮到支撐架對試樣還有阻尼作用，為了消除這一系統(tǒng)誤差，一般都是采用在節(jié)點兩側(cè)選取不同的點對稱支撐，測量出節(jié)點附近點的共振頻率后，再用外延法找出節(jié)點出的共振頻率，進而求出試樣的楊氏模量[7]。

所謂外延法就是利用作圖外推求值的方法求出所需要的數(shù)值，采用這種方法得到的結(jié)果往往因人而異，人為誤差較大。而利用最小二乘法擬合曲線可以得到更加準確的數(shù)值，并且擬合過程可以直接在MATLAB中編程實現(xiàn)。

2 最小二乘法擬合曲線在MATLAB中的實現(xiàn)

MATLAB是Math Works公司推出的一種集數(shù)值計算、符號運算及出色的圖形處理、程序語言設計等功能于一體的科學計算軟件[9]。使用MATLAB擬合曲線既克服了最小二乘法計算量大等缺點，又使繁瑣的數(shù)值計算變成一種直觀的可視化操作過程，且能準確地標記實驗數(shù)據(jù)點和繪出擬合曲線。

下面就具體舉例來說明如何通過編程實現(xiàn)最小二乘法擬合曲線及相關數(shù)值的計算，比如長度為L，直徑為d，質(zhì)量為m的鋼棒的楊氏模量，x0是支撐點距離端面的距離，y0為對應的共振頻率，T是徑長比的修正系數(shù)，則可以在MATLAB中編寫程序如下：

x0=[10 20 25 30 35 45 50 55 60];

y0=[834 822 819 815 814 814 815 819 821];

a=polyfit(x0,y0,2)

x=5:0.1:65;

y1=polyval(a,x)

plot(x0,y0,'*',x,y1)

y=polyval(a,40.32)

L=180

m=39.5

T=1.005

d=5.957

E0=200

E=1.6067*L^3*m*T*y^2/((d^4)*10^9)

s=((E-E0)^2)^0.5/E0

運行程序后，即可得到最小二乘法擬合出來的共振頻率曲線，y是節(jié)點即x=40.32 mm處的共振頻率，也就是我們要求的基頻。E是試樣的楊氏模量測量計算值，E0為所測材料的楊氏模量理論值，s是理論值與測量值之間的相對誤差。

3 實驗測量數(shù)據(jù)及處理

選取3根長度直徑不一的黃銅棒、鋼棒和玻璃棒，其基本參數(shù)見表2；從兩邊端面開始每隔5 mm的點做為支撐點，分別測量出3根試樣棒在不同支撐點處的共振頻率，如表3所示。

表2 試樣基本參數(shù)

表3 實驗測得試樣棒共振頻率

將試樣參數(shù)和一系列支撐點及共振頻率輸入MATLAB程序中，運行程序可以得到相應的頻率擬合曲線，如圖2、3、4所示；同時輸出楊氏模量測量值和相對誤差，如表4所示。

圖2 黃銅棒頻率擬合曲線(擬合次數(shù)為2)

圖3 碳鋼頻率擬合曲線(擬合次數(shù)為2)

圖4 玻璃棒頻率擬合曲線(擬合次數(shù)為2)

試樣基頻f/HzE(測量值)/GPa相對誤差s/%黃銅棒780.45104.771.73碳鋼棒813.25195.372.32玻璃棒735.3573.552.15

4 結(jié)果分析及誤差來源

對實驗數(shù)據(jù)進行處理后，從結(jié)果可以直接看出，在2次多項式擬合的情況下，用最小二乘法擬合計算得到的楊氏模量測量值與理論值較為接近，相對誤差均在3%以內(nèi)，說明利用最小二乘法結(jié)合MATLAB進行曲線擬合，求得的結(jié)果具有較好的準確性，彌補了外延法擬合曲線過程麻煩而且誤差較大的缺點。

實驗誤差可能來源于以下幾種情況：比如信號發(fā)生器可讀的精確度較低(實驗使用的信號發(fā)生器最小精度為1 Hz)，且對共振頻率的判斷主要依靠肉眼觀察，導致了一定的誤差。

5 結(jié)束語

最小二乘法作為曲線擬合最常用的方法，因其較其他的擬合方法更為準確、實用而被廣泛應用。在本實驗中最小二乘法結(jié)合MATLAB強大的數(shù)據(jù)處理和圖形繪制能力，代替了人為誤差較大的外延法進行曲線擬合，并且將原本較為復雜的后續(xù)計算過程轉(zhuǎn)化為程序的運算，減少了人為計算產(chǎn)生錯誤的可能。

通過將外延法變成最小二乘法擬合曲線，并把擬合和計算過程放在MATLAB中完成，減少了實驗誤差，簡化了處理過程。借助于計算機處理實驗數(shù)據(jù)，幫助學生從繁瑣的運算中解脫出來，加深了學生對實驗原理的理解和掌握，既提高了學生的實驗數(shù)據(jù)處理能力，又積累了從事科研工作的經(jīng)驗，有利于進一步的科研發(fā)展。

[1] 車東偉，姜山，張漢武，等.靜態(tài)拉伸法測金屬絲楊氏模量實驗探究[J].大學物理實驗，2013，26(2)：33-35.

[2] 李艷琴，李學慧.動態(tài)法測量固體材料楊氏模量[J].大學物理實驗，2009，22(2)：23-26.

[3] 周曉明．三種楊氏模量測量方法比較[J]．實驗科學與技術，2011(6)：97-99.

[4] 韓立立，王岍.支撐共振法測量固體材料楊氏模量[J].計量技術，2013(11)：20-22.

[5] 王龍，李東霞.動態(tài)法測量楊氏模量的理論分析與Matlab輔助研究[J].大學物理，2015,34(10):39-42.

[6] 中華人民共和國國家標準GB/T2105-91，金屬材料楊氏模量、切變橫量及泊松比測量方法(動力學法)[S].北京：中國標準出版社，1992.

[7] 李書光.大學物理實驗[M].北京：科學出版社，2012：95-102．

[8] 王穗輝.誤差理論與測量方差[M].同濟大學出版社，2010.

[9] 徐亦唐.基于最小二乘法的曲線擬合及其在Matlab中的應用[J].電子世界，2013(10)：102-103.

The Least Squares Method Based on MATLAB Processing Measurement of Young’s Modulus Data

CAO Xu，QI Kai，MA Ben，HAN Li-li

(China University of Petroleum(East China),Shandong Qingdao 266555)

It analyzes the support resonance method to measure young’s modulus of solid materials,the experiment principle of using least square method instead of the extension method and treatment of measurement data,the mathematical software MATLAB are given specific handler,running to get sample base vibration frequency and directly find out the young’s modulus and the relative error,greatly simplifies the calculation process and reduced the experimental error.

Young’s modulus；the least square method；MATLAB；curve fitting

2016-04-18

中國石油大學教學研究與改革項目(SY-B201413)；校級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃(20151300)

1007-2934(2016)05-0126-04

O 4-39

A DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.005.032

*通訊聯(lián)系人