諶正艮，廖艷林，汪 洪，楊 名

(安徽大學(xué)，安徽 合肥 230039)

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扭擺法驗(yàn)證平行軸定理實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)

諶正艮，廖艷林，汪 洪，楊 名

(安徽大學(xué)，安徽 合肥 230039)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的重要物理量，物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量的常用方法有三線擺法與扭擺法。扭擺法通常測(cè)量物體通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以用扭擺法驗(yàn)證平行軸定理一直不怎么直觀，本文就是在已有的基礎(chǔ)上進(jìn)行一些改進(jìn)，已達(dá)到更好、更直觀驗(yàn)證平行軸定理。

扭擺法； 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 平行軸定理

1 扭擺法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理

將固定軸上的物體在水平轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度θ后，在彈簧的恢復(fù)力矩作用下，物體就開(kāi)始繞垂直轉(zhuǎn)軸作往返扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)[1-3]。根據(jù)胡克定律，彈簧收扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的恢復(fù)力矩M與轉(zhuǎn)動(dòng)的角度成正比，即

圖1 扭擺

M=-Kθ

(1)

式中K為彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律。

M=Jα

(2)

式中J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，α為角加速度。

由式(1)、(2)得

(3)

(4)

這就是角簡(jiǎn)諧振動(dòng)，角加速度與角位移成正比，且方向相反。(4)式解為：

θ=Acos(ωt+φ)

(5)

A是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角振幅，φ為初相位，ω為角頻率，此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為：

(6)

利用公式(6)，若測(cè)得周期T，當(dāng)K已知就可以計(jì)算物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

實(shí)驗(yàn)中扭轉(zhuǎn)常數(shù)也是根據(jù)已知的圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)出的[4-5]。

扭擺法驗(yàn)證平行軸定理是這樣進(jìn)行的，固定一金屬細(xì)圓柱桿，轉(zhuǎn)軸通過(guò)圓柱桿的中心，分別在圓柱桿兩邊對(duì)稱(chēng)套上等重的兩滑塊，如圖2所示。測(cè)量滑塊離轉(zhuǎn)軸等于a(實(shí)驗(yàn)中a取15 cm)的周期T1，再測(cè)量?jī)苫瑝K都向外(遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸)滑動(dòng)等距離x(實(shí)驗(yàn)中x取10 cm)后周期T2。

圖2 對(duì)稱(chēng)向外滑動(dòng)滑塊

假設(shè)空桿與支架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0

由公式(6)可得：

(7)

(8)

那么處于a處的兩滑塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

同理處于a+x處的兩滑塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

(9)

式中m為兩滑塊的總質(zhì)量，已考慮到對(duì)稱(chēng)性，兩滑塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等

(10)

(11)

我們就是通過(guò)式(11)間接驗(yàn)證平行軸定理的，如果公式(11)成立，則公式(9)、(10)也成立，所以平行軸定理就符合的，因?yàn)楣?11)是通過(guò)公式(9)、(10)推導(dǎo)而得到的。

2 平行軸定理驗(yàn)證的改進(jìn)

(1)改進(jìn)一

我們知道(11)式很難看出平行軸定理本來(lái)面貌，為了改變這種缺陷，我們把兩滑塊不是向遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸等距離滑動(dòng)，而是同向滑動(dòng)等距離，圖3所示。分別測(cè)量滑塊處于a處與同向滑動(dòng)x后的周期T1、T2。

圖3 同向滑動(dòng)等距離

(12)

(13)

那么處于a處時(shí)兩滑塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：(空桿與支架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0)

(14)

處于圖3所示位置的兩滑塊轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

(15)

我們把兩滑塊看成一個(gè)整體，處于a時(shí)，測(cè)得是它們通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而處于圖3所示位置是相當(dāng)于轉(zhuǎn)軸相對(duì)于質(zhì)心平移了x距離。

根據(jù)平行軸定理可得：

(16)

也即： J2=J1+mx2

(17)

式(17)就是平行軸定理的公式，如果是(17)成立，則平行軸定理就可驗(yàn)證了。

(2)改進(jìn)二

由圖3可以看出，由于滑塊不對(duì)稱(chēng)，會(huì)導(dǎo)致細(xì)桿不水平，也即不垂直于轉(zhuǎn)軸，從而導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果比平行軸定理得到的結(jié)果小。所以我們就再作改進(jìn)，再加上兩個(gè)同質(zhì)量滑塊，如圖4所示，分別與前兩個(gè)滑塊關(guān)于轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)，這樣就保證細(xì)桿的平衡，測(cè)出位于圖4所示位置的周期T3，

圖4 再加滑動(dòng)3、4分別1、2二個(gè)滑塊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)

(18)

那么4個(gè)滑塊總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

(19)

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性

(20)

(21)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證改進(jìn)后的計(jì)算結(jié)果

為了直接驗(yàn)證平行軸定理，我們略去了測(cè)量扭轉(zhuǎn)常數(shù)K的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，直接給出K計(jì)算結(jié)果。

K=0.04098 N·m

用電子秤分別測(cè)量m1=236.8 g,m2=237.2 g，如圖2所示，a=15 cm，用光電門(mén)分別測(cè)量空桿與有兩滑塊(如圖1)周期T0、T1。(光電門(mén)是測(cè)量10T時(shí)間，再計(jì)算周期T)

把滑塊同向滑動(dòng)10 cm，如圖3所示，測(cè)出此時(shí)的周期T2，

再加上2個(gè)滑塊3、4分別與1、2關(guān)于轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)，如圖4所示，測(cè)量m3=236.6 g,m4=236.8 g，(由于3、4兩滑塊近似與1、2兩滑塊相等，所以我們就沒(méi)考慮質(zhì)量的微弱差別帶來(lái)誤差)測(cè)量此時(shí)的周期T3。

根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算：(其中J1、J2、J3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中都包含空桿與支架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，減去J0才是滑塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)

根據(jù)平行軸定理：

百分誤差為：

誤差仍在合理范圍內(nèi)，可見(jiàn)這種測(cè)量是可行的。

根據(jù)平行軸定理可得：

百分誤差為：

改進(jìn)二消除了改進(jìn)一的缺陷，桿子的平衡不受破壞，從而結(jié)果更接近理論值，百分誤差只有0.4%。

4 結(jié) 論

本文是對(duì)扭擺法測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量驗(yàn)證平行軸定理的改進(jìn)，通過(guò)我們的改進(jìn)后測(cè)量的數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果，可見(jiàn)改進(jìn)是可行的，從而更直觀驗(yàn)證了平行軸定理，避免了以前實(shí)驗(yàn)的不直觀性。

[1] 丁慎訓(xùn),張連芳.物理實(shí)驗(yàn)教程[M].北京:清華出版社,2002:32-34.

[2] 馬文蔚,解希順等.物理學(xué)(上)[M].北京:高等教育出版社,1999:118-122.

[3] 趙青生.新編大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].合肥:安徽大學(xué)出版社,2009:125-128.

[4] 馬書(shū)云.影響彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)不確定因素分析[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2015(4)：96-98.

[5] 武穎麗，李平舟.扭擺法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差分析[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2015(3)：101-103.

Improved Torsion Pendulum to Verify the Parallel Axis Theorem Experiment

CHEN Zheng-gen,LIAO Yan-lin,WANG Hong,YANG Ming

(Anhui University,Anhui Hefei 230039)

The moment of inertia is object about a fixed axis rotation of the important physical quantities,the object rotational inertia measurement methods have three line pendulum method and torsion pendulum method.Torsion pendulum method often measure object relative to the moment of inertia of the rotating shaft of the center of mass,so the torsion pendulum method verify the theorem of parallel axes has not how do intuitive.It is on the basis of existing were some improvement,has achieved the better,more visually verify the theorem of parallel axes.

torsion pendulum；rotational inertia；parallel axis theorem

2016-05-25

1007-2934(2016)05-0103-03

O 4-33

A DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.005.026