陳 澤，胡明勇，趙 奇，范二榮

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凸二次曲面的工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)

陳 澤1,2，胡明勇3，趙 奇3，范二榮3

( 1. 中國(guó)科學(xué)院南京天文儀器研制中心，南京210042；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049；3. 合肥工業(yè)大學(xué)光電技術(shù)研究院，合肥 230009 )

在非球面的檢測(cè)中，工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)是最普遍的方法。針對(duì)該方法適用范圍的局限性，本文提出了應(yīng)用工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)時(shí)非球面所必須滿足的條件。根據(jù)波像差理論和瑞利判據(jù)，推導(dǎo)出凸二次曲面能夠應(yīng)用工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)所必須滿足的條件，并采用有限距離正面補(bǔ)償檢測(cè)的方法，對(duì)工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)的局限性提出了改進(jìn)。最終結(jié)果表明本文所提出的理論能夠判定，所需要研制的凸雙曲面鏡不能直接應(yīng)用工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)，而組合補(bǔ)償檢測(cè)方法能夠保證凸雙曲面的面形精度PV=0.159 8優(yōu)于/6(=632.8 nm)，滿足技術(shù)指標(biāo)。

光學(xué)檢測(cè)；瑞利判據(jù)；凸二次曲面；像差理論

0 引 言

目前，非球面鏡的檢測(cè)主要分為接觸式檢測(cè)和非接觸式檢測(cè)兩大類。接觸式檢測(cè)中最常見(jiàn)的就是輪廓儀測(cè)量方法[1]。1856年，F(xiàn)u Ke Lewin發(fā)明了刀口儀[2]。20世紀(jì)70年代，數(shù)字干涉儀的問(wèn)世。這都使得在加工或是最終檢測(cè)過(guò)程中非接觸式的檢測(cè)成為可能。非球面鏡的光學(xué)檢測(cè)方法直接決定了非球面鏡的加工精度與加工效率。非球面鏡的檢測(cè)中，凸非球面的檢測(cè)比凹非球面的檢測(cè)更加復(fù)雜，主要是因?yàn)槠湫枰幸皇辽偻瓤趶降臅?huì)聚光束[3]才能夠?qū)崿F(xiàn)。在20世紀(jì)70年代Wyant等提出了計(jì)算全息圖(Computer Generated Hologram，CGH)檢測(cè)方法[4]，至今CGH檢測(cè)方法得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，這對(duì)于凸非球面鏡的檢測(cè)具有劃時(shí)代意義。但CGH方法檢測(cè)大相對(duì)孔徑的非球面鏡時(shí)存在著全息干涉片加工困難，制造成本相對(duì)高昂[5]。此外，凸非球面鏡的檢測(cè)還有子孔徑拼接法[6]，offner補(bǔ)償器檢測(cè)法[7]，工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)法等。

工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)方法無(wú)疑是凸二次曲面鏡檢測(cè)方法中最為方便，成本最低的一種方法。但是工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)方法也有其適用條件以及應(yīng)用范圍，但遺憾的是迄今為止還沒(méi)有任何文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行過(guò)完善的分析。本文從波像差理論出發(fā)，提出了工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)的波前像差的計(jì)算方法，分析了該檢測(cè)方法能夠得以應(yīng)用而應(yīng)該滿足的條件，并在理論分析的基礎(chǔ)上提出了工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)方法的改進(jìn)措施。

1 工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)方法分析

1.1 以工藝球面為反射面的補(bǔ)償檢測(cè)方法

凸二次曲面鏡的技術(shù)參數(shù)：全口徑為500 mm，頂點(diǎn)曲率半徑為900 mm，材料為熔石英，中心厚度為70 mm，圓錐系數(shù)2=1.05，面形精度要求PV≤/6。

工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)如圖1所示，即將非球面作為凸面，透鏡的第二面加工為工藝球面，用球面的固有球差補(bǔ)償非球面的法線像差。在非球面的有限元距離處放置點(diǎn)光源，工藝球面鍍上反射膜，使得同等口徑光束經(jīng)過(guò)球面反射后沿原路返回在光源處形成干涉。

圖1 工藝球面補(bǔ)償檢驗(yàn)

由圖2所示的Ray fan曲線可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)設(shè)計(jì)優(yōu)化后整個(gè)系統(tǒng)的球差峰值依然很大，特別是在入瞳0.8環(huán)帶以后達(dá)到球差峰值，彌散斑達(dá)到了50 μm。由此可以發(fā)現(xiàn)，并不是任何凸二次曲面鏡都可應(yīng)用工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)方法進(jìn)行光學(xué)檢測(cè)。

圖2 工藝球面補(bǔ)償檢驗(yàn)的Ray fan曲線

1.2 工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)方法的像差模型的建立

由一系列球面和非球面組成的光學(xué)系統(tǒng)，其球差表面分布系數(shù)[8]：

其中：表示表面序號(hào)；h表示第一近軸光線在第面上的高度；P為該表面的球差系數(shù)；e為二次曲面的偏心率；n表示第面前的折射率；u第面的第一近軸光線的入射角。如圖3所示，非球面為透射面，工藝球面為反射面，求出三級(jí)球差的表達(dá)式。各個(gè)參量的表達(dá)式：

式中：0為圖中非球面頂點(diǎn)曲率半徑。根據(jù)近軸光路角度公式：

式中：R表示相應(yīng)序號(hào)表面的曲率半徑，若該表面為非球面，則表示為頂點(diǎn)曲率半徑，所以0=1。令=1，將式(2)中的參量代入式(5)中，整理上式可得：

對(duì)于補(bǔ)償檢測(cè)系統(tǒng)，光源處于有限遠(yuǎn)距離，初級(jí)軸上球差為[8]

由式(6)可得1/，將其帶入式(8)中，波像差可表示為圓錐系數(shù)2和非球面鏡的相對(duì)孔徑=2/0的表達(dá)式：

根據(jù)瑞利判據(jù)可知，光學(xué)系統(tǒng)的波像差小于/4時(shí)，可以認(rèn)為光學(xué)系統(tǒng)成像是完善的。所以，檢測(cè)凸二次曲面鏡的面形的光學(xué)系統(tǒng)的波像差必須小于/4，即凸二次曲面鏡的檢測(cè)光學(xué)系統(tǒng)完善成像。在實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中，波像差的大小會(huì)隨著高斯像點(diǎn)附近的參考點(diǎn)的選擇而異，所以總能在高斯像點(diǎn)附近找到一個(gè)位置，使得光學(xué)系統(tǒng)的波像差最小，而這個(gè)使得波像差最小的位置就是成像的最佳焦點(diǎn)位置。波像差推導(dǎo)過(guò)程中只考慮了光學(xué)系統(tǒng)的初級(jí)像差，對(duì)于這樣的光學(xué)系統(tǒng)，最佳焦點(diǎn)位置應(yīng)該在處，而邊緣帶球差為零，其最大剩余波像差在0.707環(huán)帶上[8]。所以波像差的表達(dá)式改為

1.3 工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)的適用性判斷

以工藝球面為反射面，采用正向光路進(jìn)行計(jì)算(即光線的方向?yàn)閺淖蟮接?。取透鏡的口徑為=500 mm，透鏡材料為熔石英，折射率=1.458 6。一般采用4干涉儀進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)波長(zhǎng)為=632.8 nm。經(jīng)過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，若將2的具體數(shù)值帶入能夠得出合理解的實(shí)數(shù)解。消去式(6)中的，得到關(guān)于的表達(dá)式，如下所示：

綜上所述，對(duì)于任意參數(shù)的凸二次曲面鏡，若采用工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)，檢測(cè)系統(tǒng)的波像差需滿足瑞利判據(jù)，則凸二次曲面鏡的參數(shù)必須滿足式(10)、式(12)以及的取值。這也是判定不同圓錐系數(shù)和相對(duì)孔徑的凸二次曲面鏡能否采用工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)的理論依據(jù)。由此可得：

其中：為比例關(guān)系的修正值，因?yàn)殛P(guān)于波像差計(jì)算過(guò)程中的近似以及誤差都可以通過(guò)的修正來(lái)使得理論值更加接近實(shí)際光線追跡的結(jié)果?，F(xiàn)定義修正值，由式(11)求得的具體數(shù)值后，再計(jì)算其修正值。采用工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)的凸二次曲面鏡的圓錐系數(shù)2以及相對(duì)孔徑的關(guān)系如圖4所示，在曲線下半部分區(qū)域內(nèi)的非球面都能夠滿足工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)的條件。

在圖4中，實(shí)線表示實(shí)際光線追跡的曲線，虛線表示理論分析曲線。兩者之間的偏差主要在于，第一，理論推導(dǎo)過(guò)程中多次使用角度近似；第二，像差理論是在近軸光學(xué)的基礎(chǔ)上得以完善，而當(dāng)孔徑角超過(guò)5°的時(shí)候，理論推導(dǎo)的誤差也就不能忽略了。所以這就造成了理論與實(shí)際的偏差，修正值的提出，能夠在一定程度上彌補(bǔ)這種偏差。經(jīng)過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，，工藝球面半徑值無(wú)解，或者說(shuō)沒(méi)有合理的解。

根據(jù)1.1中凸二次曲面鏡的技術(shù)參數(shù)，其點(diǎn)(2，)，即(1.05，0.555 6)，在曲線上方，不滿足檢測(cè)工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)的條件。

2 工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)方法的改進(jìn)

2.1 有限距離正面補(bǔ)償原理

根據(jù)圖5所示，由光線的幾何關(guān)系很容易得出前組凹透鏡的焦距表達(dá)式：

利用方法求出前組透鏡的結(jié)構(gòu)參數(shù)。以無(wú)窮遠(yuǎn)物距的歸一化特性參數(shù)表示有限遠(yuǎn)物距的歸一化特性參數(shù)：

其中：2為透鏡第二面的曲率值。對(duì)前組透鏡的光焦度規(guī)一化，得到：

對(duì)于既定的球差值，將式(17)代入式(16)中，求得合理的透鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)值，再結(jié)合式(17)和式(18)得出透鏡表面的曲率半徑：

2.2 檢測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)及面形檢測(cè)結(jié)果

由圖5所示，可以將透鏡看作薄透鏡，設(shè)點(diǎn)至補(bǔ)償透鏡距離=1 200 mm，補(bǔ)償透鏡與待檢測(cè)透鏡間距=3 000 mm。設(shè)計(jì)時(shí)規(guī)定補(bǔ)償透鏡半口徑1=50 mm，而2=250 mm。凸二次曲面鏡的材料為熔石英，折射率=1.458 6。將參數(shù)代入式(2)、式(4)和式(6)可以分別求得：1=-0.066 6，=-0.626 4，Ⅰ=0.481 0。由于：

將和1代入式(20)中，求得1=592 2 mm，即是工藝球面的半徑值。

再將所設(shè)定的參數(shù)代入式(14)中，計(jì)算可得前組透鏡的焦距1=-2 000 mm。將所得的球差值和式(17)代入式(16)中，建立有關(guān)前組透鏡的形狀參數(shù)的方程：

前組補(bǔ)償鏡采用K9材料，其特性參數(shù)為：d=1.516 3，0=2.05，0=-1.25。經(jīng)計(jì)算整理可得：

解得：=-15.214 4或者17.547 8，取=-15.214 4。代入式(19)中，得：前組補(bǔ)償透鏡，。

Zemax對(duì)計(jì)算出的透鏡初始結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。4D干涉儀的激光波長(zhǎng)=632.8 nm，而刀口儀的鈉光波長(zhǎng)=589.3 nm，優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程采用多重結(jié)構(gòu)，保證凸二次曲面鏡在修磨階段能夠用刀口儀或干涉儀進(jìn)行檢測(cè)。將前端物距和補(bǔ)償透鏡至待檢測(cè)透鏡的間距設(shè)為補(bǔ)償量，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖5 有限距離正面補(bǔ)償檢測(cè)光路圖

表1 優(yōu)化后的檢測(cè)光路參數(shù)

Table 1 Data of light path after optimizing

由圖6和圖7所示的檢測(cè)系統(tǒng)波前像差不難發(fā)現(xiàn)，=632.8 nm干涉儀檢測(cè)時(shí)，補(bǔ)償方案的理論波像差PV=0.000 9，RMS=0.000 2；=589.3 nm刀口儀檢測(cè)時(shí)，補(bǔ)償方案的理論波像差PV=0.016 1，RMS=0.0035。設(shè)計(jì)結(jié)果優(yōu)于凸二次曲面鏡的技術(shù)要求，滿足實(shí)際應(yīng)用的需要。

圖6 檢測(cè)系統(tǒng)波像差(λ=632.8 nm)

圖7 檢測(cè)系統(tǒng)波像差(λ=589.3 nm)

根據(jù)裝配需求，對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行公差分析。為了更好的約束公差，將公差分析的RMS Wavefront值約束在/25以下。補(bǔ)償鏡和工藝球面的半徑公差對(duì)補(bǔ)償檢測(cè)精度的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有間距和待檢測(cè)元件的傾斜所帶來(lái)的影響更大。所以，在加工補(bǔ)償透鏡和工藝球面的時(shí)候，規(guī)定其半徑公差控制在1 μm以下，這對(duì)于成熟的球面加工工藝來(lái)說(shuō)是很容易實(shí)現(xiàn)的。從公差分析來(lái)看，補(bǔ)償鏡的厚度、補(bǔ)償鏡和凸二次曲面鏡之間的間距公差控制在1 μm以內(nèi)，待檢測(cè)元件的傾斜在0.000 5°以下，這兩個(gè)因素都不僅僅是加工所能直接解決的，只能在凸二次曲面鏡的檢測(cè)過(guò)程中通過(guò)不斷的微調(diào)來(lái)保證檢測(cè)的精度。由此看來(lái)，為了降低系統(tǒng)的誤差，第一需要保證補(bǔ)償透鏡和工藝球面的半徑誤差；第二，在檢測(cè)過(guò)程中也依賴于完善的裝調(diào)方案。加工完成后，利用4D干涉儀檢測(cè)凸二次曲面鏡的面形，如圖8所示。PV=0.159 8，RMS=0.025 6，面形精度滿足技術(shù)要求。

圖8 凸雙曲面鏡的面形干涉圖

3 結(jié) 論

確定凸二次曲面鏡的口徑及材料，如若滿足前文所述的判定條件，凸二次曲面鏡便可用工藝球面補(bǔ)償?shù)姆椒ㄟM(jìn)行檢測(cè)；如若不滿足上述條件，根據(jù)波像差的大小選擇合適的前組補(bǔ)償透鏡進(jìn)行補(bǔ)償檢測(cè)。雖然上述判定條件存在一定的理論誤差，文中所述的改進(jìn)方法也不能作為凸二次曲面鏡檢測(cè)的完備方法，但是無(wú)論是從波像差概念出發(fā)的理論分析，還是對(duì)于傳統(tǒng)工藝球面補(bǔ)償檢測(cè)方法的改進(jìn)都為非球面檢測(cè)的分析和設(shè)計(jì)提供了新的思路。

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Compensation Testing of Technological Spherical Surface for Convex Quadric Surface

CHEN Ze1,2，HU Mingyong3，ZHAO Qi3，F(xiàn)AN Errong3

( 1. Nanjing Astronomical Instruments Research Center, Chinese Academy of Sciences, Nanjing210042, China; 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 3. Academy of Photoelectric Technology, Hefei University of Technology, Hefei230009, China)

In the testing of aspheric surface, the method of spherical compensation testing is always applied widely. Referring to the limitation of this method, the conditions are put forward which the aspheric surface has to meet. According to aberration theory and Rayleigh criterion, we could get the principles of applying the spherical compensation testing method to test convex quadric surface. And according to the compensation tests with the beam incidence at a distance, we can improve the method of spherical compensation testing. After accomplishing the manufacture of convex quadric surface mirror, the finial consequence shows that the theory and practices in this article can determine that spherical compensation testing can not be used to the test of this convex hyperboloidal surface mirror andPVof the surface is 0.158 9which is better than/6 (=632.8 nm) under the use of combined compensation testing.

optical test; Rayleigh criterion; convex quadric surface; aberration theory

1003-501X(2016)09-0056-06

O435.2；TN247

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.09.010

2015-09-25；

2016-03-01

陳澤(1991-)，男(漢族)，江蘇揚(yáng)州人。碩士研究生，主要研究工作是光學(xué)設(shè)計(jì)、加工及檢測(cè)。E-mail：taijiguiyi@163.com。