張 民，應巧萍

(南京航空航天大學 自動化學院，南京 211100 )

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應用粒子群優(yōu)化的導彈定結構H∞控制器設計

張 民，應巧萍

(南京航空航天大學 自動化學院，南京 211100 )

為解決傳統(tǒng)魯棒控制方法設計的控制器階數過高，而經典PID控制方法又無法在設計過程中保證魯棒性能的問題，采用基于約束粒子群優(yōu)化的定結構H∞控制器設計方法，把兩者各自的優(yōu)勢結合起來并將其應用到導彈控制器的設計中.采用一種基于梯度的粒子修正算法對違反約束條件的粒子進行修正，通過典型測試函數測試并和常用的其他3種約束優(yōu)化算法進行性能對比，表明了該算法在處理約束優(yōu)化問題上的優(yōu)越性.同時，以樣例導彈三通道模型為控制對象，提出了時域性能和魯棒性能兼顧的性能指標函數和約束條件，針對典型固定控制結構，應用梯度修正粒子群算法設計了控制器.仿真結果表明,樣例導彈控制系統(tǒng)在滿足各項時域性能指標的同時，也滿足魯棒性能指標，達到了設計要求.

導彈；定結構；控制；粒子群；優(yōu)化

在魯棒控制領域中，傳統(tǒng)方法如H∞方法或μ綜合方法設計的控制器盡管能夠達到魯棒性指標要求，但是在控制器設計完成以前通常難以準確預知其結構和復雜程度，例如文獻[1]就指出了H∞控制器存在的階次過高難以實現(xiàn)的問題.另一方面，經典PID控制方法實現(xiàn)過程簡單，但僅能考慮單通道魯棒性指標，不能有效保證MIMO系統(tǒng)的魯棒性能，無法滿足新一代導彈的極限飛行特性要求.在本文中，考慮把經典控制與現(xiàn)代魯棒控制兩者各自的優(yōu)勢結合起來，形成經典設計滿足H∞魯棒性指標的綜合設計方法——定結構H∞控制，并將其應用到導彈駕駛儀的設計之中.

文獻[2]給出了定結構H∞控制方法最初的設計思想，它來源于基于Hermite-Biehler理論的H∞-PID控制器設計理論，在該理論中提出了采用線性優(yōu)化的方法來設計魯棒PID控制器.該方法的不足之處是在確定微分和積分增益之前必須首先確定比例增益，無法同時得到所有的控制參數.文獻[3-4]介紹了近年來為解決這一問題相繼發(fā)表的有關研究成果，同時，在文獻[5-6]中，分別提出了基于線性矩陣不等式(LMI)的解決方法.然而上述方法仍然沒有解決控制器同時滿足多種控制指標和約束的問題.

本文提出了一種基于梯度修正粒子群優(yōu)化的定結構H∞控制器設計方法，基本思路是采用帶約束條件的粒子群優(yōu)化算法對定結構H∞控制器(如魯棒PID控制器)進行自動優(yōu)化并得到MIMO系統(tǒng)的控制參數，使得所設計的控制系統(tǒng)在滿足時域指標的同時滿足H∞魯棒性指標.文獻[7-8]給出了粒子群優(yōu)化算法(PSO)的最初版本，它是一種全局優(yōu)化算法，目前已發(fā)展成為一種通用的優(yōu)化算法，并被廣泛應用于多目標優(yōu)化、神經系統(tǒng)訓練和決策支持等各領域，相關應用成果如文獻[9-11]所述.相對于其他算法，PSO算法具有算法結構簡單、計算量和內存占用小、對目標函數沒有諸如線性、可微、凸集要求等優(yōu)點.在標準PSO算法提出后，大量的改進算法相繼提出，如文獻[11-12]給出了帶等式與不等式約束條件的PSO優(yōu)化算法的相關研究成果.基于此，本文采用了一種基于梯度修正策略的約束PSO優(yōu)化算法，并將其應用到導彈定結構H∞魯棒控制器的設計中.

1 問題描述

考察由式(1)描述的線性模型閉環(huán)控制系統(tǒng)∑[x]：

(1)

其帶擾動與不確定性的控制結構如圖1所示.其中G(s)為控制對象模型，K(s;x)為定結構H∞控制器，x為控制器設計變量；z、y分別為控制輸出和傳感器輸出向量；d、w、u分別為控制擾動輸入、傳感器擾動輸入和控制輸入向量；Δ(s)為模型不確定性并滿足‖Δ(s)‖∞<1；w2為權函數.

圖1 閉環(huán)控制系統(tǒng)

將閉環(huán)控制系統(tǒng)標稱部分和不確定部分分離后可由圖2所示的簡化模型描述.

圖2 小增益定理

依據文獻[13]中的小增益定理，圖2所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)內穩(wěn)定的充分必要條件是‖Δ(s)‖∞<1當且僅當‖wT(s)T(s;x)‖∞≤1，其中T(s;x)為補靈敏度函數.

設傳遞函數L(s;x)=G(s)K(s;x)，則T(s;x)定義為

同時，定義靈敏度函數S(s)為

則系統(tǒng)的標稱性能定義為

式中wS(s)為靈敏度函數權函數.

魯棒性能定義為

(2)

在定結構控制器的所有類型中，可以將PID控制器看作定結構控制器中的一種，如以標準PID控制器為例，其控制律表達式為

(3)

式中:kp、ki、kd分別為比例系數、積分系數和微分系數;T為濾波器時間常數.在本文中，所要解決的問題即為如何找到定結構控制器—如以式(3)所示的標準PID控制器的參數kp、ki、kd使得閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能滿足式(2)所示的魯棒性能指標.

2 導彈定結構控制

導彈的定結構控制器可以有各種形式，如姿態(tài)控制器、迎角控制器和過載控制器等，每種控制器依據控制對象本身的特性和控制需求還可以細分為更多的定結構回路控制結構.不失一般性，本文以經典雷聲(raytheon)駕駛儀控制結構為例，其中俯仰通道和偏航通道的控制結構相同，如圖3, 4所示.

圖3 俯仰/偏航通道控制結構

圖4 滾轉通道控制結構

在圖3,4中，Az、Azm分別為法向過載輸出信號和法向過載給定信號；θ為俯仰角；q為俯仰角速率；Ay、Aym分別為側向過載輸出信號和側向過載給定信號；ψ為偏航角；r為偏航角速率；φ、φm分別為滾轉角輸出信號和滾轉角給定信號;p為滾轉角速率.在俯仰/偏航通道中，3個回路分別為角速率阻尼回路，俯仰角/偏航角增穩(wěn)回路和過載控制回路，并在過載回路中采用積分校正以消除靜差.滾轉通道以滾轉角控制回路為外回路，內回路采用滾轉角速率改善其阻尼特性.三通道控制律的表達式為

(4)

(5)

(6)

在導彈駕駛儀的設計指標中，除了魯棒性指標，通常還有一些時域指標如上升時間、超調量、穩(wěn)態(tài)誤差等需要在設計時一并考慮.樣例導彈對階躍信號的過載和滾轉響應性能指標見表1.

表1 時域性能指標要求

在閉環(huán)控制系統(tǒng)的時域性能指標表達方式中，最常見的有誤差絕對值積分(IAE)、誤差平方積分(ISE)和帶時間權重的誤差平方積分(ISTE)等，如

式中, IAE和ISE的不足之處在于采用這兩個指標的控制系統(tǒng)超調較小但穩(wěn)態(tài)時間較長，其原因在于在所有時間范圍內對誤差采用了同樣的要求，這一點并不合理.ISTE克服了這一弱點，但同樣不能保證魯棒性要求.因此，在本文中，性能指標函數J同時采用了時域指標ITSE和式(2)所示的魯棒性指標，如

(7)

該性能指標函數同時兼顧了時域響應性能和混合靈敏度H∞魯棒性能，同時為了保證系統(tǒng)是在穩(wěn)定的前提下達到上述指標，取下式作為其約束條件：

(8)

式中，λmax(∑[x])為閉環(huán)系統(tǒng)∑[x]的最大極點，因此式(8)保證了滿足性能指標要求的閉環(huán)系統(tǒng)所有極點均在復平面虛軸的左邊.

3 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization, PSO)是一種通過模擬鳥類群體行為進行建模與仿真研究而發(fā)展起來的一種基于群體協(xié)作的隨機搜索算法，屬于群體智能搜索算法的一種.由于粒子群優(yōu)化算法其算法本身結構簡單，并在多種復雜優(yōu)化問題的應用中表現(xiàn)優(yōu)異，近年來引起了越來越多的關注.

3.1 標準PSO算法

在PSO算法中，每一個優(yōu)化問題的解作為一只單個的鳥，或稱為粒子，粒子的屬性包括其位置x和速度v.每個粒子在多維空間中依據個體經驗和群體中其他粒子的經驗來動態(tài)調整自身移動的軌跡與速度.在每一時刻k，第i個粒子xi=(xi1,xi2,…,xin)∈Rn依據以下公式對位置和速度進行調整：

(9)

(10)

式中：wmax、wmin分別為w的最大值與最小值；kmax為最大進化代數.

3.2 約束PSO算法

粒子群算法最初是作為一種非約束優(yōu)化算法被提出的，然而在工程實踐中有相當多的應用屬于要求滿足一定約束條件下的最優(yōu)化問題.本文采用了一種基于梯度修正策略的新型約束優(yōu)化方法，該方法的思想來源于利用運動微分量(梯度)對運動趨勢進行預測的方法，文獻[15-16]給出了該梯度預測技術的應用情況.

具有不等式約束條件的優(yōu)化問題(最小值)可以描述為

Minimizef(x),

滿足

式中:x為一維設計向量;li、lj分別為其下界和上界;g為不等式約束條件.

梯度修正PSO算法的步驟如下.

1)定義約束違反變量Δv為

(11)

式中e為用于擾動的小量.且約束違反量Δv與粒子位置變化量Δx具有如下關系：

(12)

4)違反約束條件的粒子位置更新公式可以表示為

5)重復步驟1)～4)，直到違反約束條件的粒子被拉回到滿足約束條件的解空間中.

從梯度修正法的執(zhí)行步驟可以看出，算法直接利用了粒子的移動趨勢信息對其進行修正，相比于罰函數法，并沒有增加新的算法參數，過程較為簡潔并且易于實現(xiàn).將上述梯度修正算法與標準PSO優(yōu)化算法相融合成為梯度修正PSO算法，在初始化和每次粒子位置更新時調用梯度修正算法對不滿足約束條件的解進行修正，使其滿足約束條件要求，具體步驟為：

1)確定粒子種群數量N和優(yōu)化最大代數kmax；

2)在粒子的取值范圍內初始化粒子種群每個每一個粒子的位置和速度；

3)判斷每個粒子的位置是否違反約束條件，如違反則調用梯度修正法將其拉回到滿足約束條件的區(qū)域；

4)計算每一個粒子的目標函數值；

6)判斷當前最優(yōu)值是否滿足性能指標停止條件或達到最大優(yōu)化代數，如滿足二者之一即停止算法并轉到步驟8)；

7)依據式(9),(10)更新每個粒子的位置并轉到步驟3)；

8)輸出最優(yōu)粒子的位置和對應的性能指標值.

梯度修正法與標準粒子群算法的差異在于增加了對約束條件的處理環(huán)節(jié)，即粒子位置與約束條件關系的判斷和修正，代價是運行算法所需時間的增加.

4 算例仿真與分析

4.1 算法性能測試

當前，優(yōu)化算法的優(yōu)劣尚不能從理論上進行證明，只能通過測試函數的實測結果來進行比較.為驗證將梯度修正策略應用于約束粒子群優(yōu)化的驗證將梯度修正策略應用于約束粒子群優(yōu)化的實際效果，表2采用3個標準測試函數(G4、G8、G12)來對其性能進行全面測試與驗證，這3個測試函數在約束優(yōu)化算法的性能測試中被廣泛采用，其函數定義和說明可詳見文獻[17].測試程序在Matlab7.8環(huán)境下運行，采用一臺Intel 雙核2.4 GHz CPU，內存為2 G字節(jié).每個任務運行30次，進化代數為1 000或性能指標全部達到.同時為了與其他算法進行對比，本文選擇了文獻[18-20]中介紹的其他3種常見約束優(yōu)化算法：同態(tài)圖法 (HM)、隨機排序法(SR)以及協(xié)同進化法(CR).這3種算法的穩(wěn)定性很高，常用來與新提出的算法進行性能比較.在進行比較分析時，梯度修正粒子群算法參數取為：粒子數量為30;粒子維數依測試函數;粒子最大移動速度vmax,d=xmax,d/2;學習因子c1=2,c2=2;慣性系數最大與最小值wmax=0.9,wmin=0.4;最大搜索代數為1 000.

比較結果見表2.從測試結果可以看出梯度修正PSO算法在處理帶約束的優(yōu)化問題中具有良好的性能，明顯優(yōu)于與之比較的HM、SR和CR3種算法.梯度修正PSO算法對測試函數獲得的最優(yōu)值與其他3種算法相當，平均搜索效率高于上述算法.在測試函數G4中，其最差優(yōu)化結果也好于算法HM.從優(yōu)化時間來看，4種算法也基本相當.測試結果表明，梯度修正粒子群算法具有良好性能，用于導彈定結構控制器設計是完全適合的.

表2 4種約束優(yōu)化算法測試結果

4.2 仿真驗證

目前，戰(zhàn)術導彈工程上多采用基于多工作點線性化模型的控制律設計，六自由度非線性模型驗證的方法.本文以文獻[21]中的樣例導彈線性化模型為設計對象，該樣例導彈在15 000 m高度、0.9 Ma、40°攻角下的特征工作點俯仰/偏航狀態(tài)方程為

俯仰/偏航輸出方程為

式中:u、v、w分別為彈體軸縱向、側向和法向速度；q、r為俯仰角速率和偏航角速率，姿態(tài)由角速率積分得到；Az、Ay分別為法向和側向過載，δe、δr分別為等效升降舵和方向舵偏角.

滾轉狀態(tài)方程為

滾轉輸出方程為

式中:φ、p分別為滾轉角和滾轉角速率;δa為等效副翼舵偏角.

為保證控制器各項參數均為正值，縮小搜索空間的范圍，式(4)～(6)所示的控制器可以改寫為

則

因此，待搜尋參數的范圍Δf可以表示為

Δfe:={(xe1,xe2,xe3,xe4)∈R4:

xe1>0,xe2>0,xe3>0,xe4>0},

Δfr:={(xr1,xr2,xr3,xr4)∈R4:xr1>0,

xr2>0,xr3>0,xr4>0},

樣例導彈法向和側向通道的特性非常相似，可以采用相同的控制結構，并且為降低問題的復雜性，本文認為控制參數也相同.同時滾轉通道控制結構較為簡單，只有兩個控制參數，因此這里僅給出俯仰/偏航通道應用梯度修正PSO算法進行定結構H∞控制器的設計過程.對滾轉通道可以采用相同的方法進行控制器設計.在設計完成后，控制器的驗證則針對三通道模型進行.

在采用混合靈敏度H∞設計方法時，權函數的選擇是關鍵問題之一.靈敏度函數S(s;x)的幅值與閉環(huán)系統(tǒng)的指令跟蹤和抗干擾能力直接相關，而補靈敏度函數T(s;x)決定了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.相應的，權函數wS(s)和wT(s)應分別反映對這兩個函數的形狀要求.由于命令信號和干擾信號的頻率較低，因此在低頻段，在保證閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的前提下，S(s;x)必須盡量小，即wS(s)的幅值應盡量大，以使系統(tǒng)取得良好的命令跟蹤能力和抗干擾能力；而系統(tǒng)的測量噪聲一般隨頻率的增大而增大，因此要求在高頻段T(s;x)較小，即wT(s)的幅值應盡量大，以抑制測量噪聲的不利影響.綜合考慮上述因素，靈敏度和補靈敏度權函數分別取為

由于導彈的定結構H∞控制器的設計問題相對于測試函數而言要復雜得多，計算量也大很多，依據多輪設計與仿真的經驗，此時梯度修正PSO算法的參數可以取為：粒子數量為100; 粒子維數為4; 粒子最大移動速度:vmax,d=xmax,d/2,i=1,…,4;學習因子c1=2,c2=2;慣性系數最大與最小值wmax=0.9,wmin=0.4;最大搜索代數為400; 終止條件達到最大代數.

采用如式(7)～(8)的性能指標函數和約束條件，俯仰/偏航通道性能指標函數收斂性曲線如圖5所示.

從圖5可以看出，性能指標函數表現(xiàn)出良好的收斂特性，粒子在經歷到250代以后性能指標函數已趨于穩(wěn)定，程序運行環(huán)境與前述算法測試環(huán)境相同，整個優(yōu)化過程時間約為587 s.

圖5 俯仰/偏航通道性能指標函數收斂性曲線

Fig.5 Pitch/yaw channel performance index function convergence curve

圖6 靈敏度函數

圖7 補靈敏度函數

圖8 魯棒性能函數

樣例導彈按照BTT控制方式，在法向和滾轉通道同時給以階躍激勵信號，這樣可以有效激勵出通道間的耦合特性，對三通道模型的仿真結果如圖9所示.圖9中分別給出了法向與滾轉通道的階躍響應以及側向通道的零過載響應.各通道的時域性能指標見表3.從三通道聯(lián)合仿真的結果可以看出，法向和滾轉通道的階躍響應達到了表1要求的性能指標要求，并且通道間耦合作用僅引起很小的側向過載，符合BTT控制的要求.

圖9 三通道標稱仿真結果

性能指標上升時間/s最大超調/%峰值時間/s調整時間/s穩(wěn)態(tài)誤差/%俯仰/偏航通道0．2728．60．4790．8580．10滾轉通道0．2800．20．5350．7000．13

在圖1所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)中，攝動量分別取為：模型不確定性權函數依照文獻[21]選取；加速度計噪聲取為1%；角速率陀螺噪聲取為0.1%；角度陀螺噪聲取為 1%.在輸入信號、模型不確定性和噪聲同時作用下系統(tǒng)的響應如圖10所示(20次)，可知系統(tǒng)在攝動下的性能仍然滿足表1所示的性能指標，從而驗證了系統(tǒng)的魯棒性能.

圖10 三通道攝動仿真結果

5 結 論

1)本文提出了一種導彈定結構控制器的新型設計架構，在該架構中，采用了一種基于梯度修正策略的約束粒子群優(yōu)化算法，通過自動優(yōu)化的方法來設計導彈定結構控制器，使得設計結果在滿足多種時域指標的同時還滿足H∞魯棒性指標，克服了傳統(tǒng)經典控制器設計方法的不足.

2)通過典型測試函數的測試并與其他約束優(yōu)化算法進行對比，表明了梯度修正粒子群算法在解決約束優(yōu)化問題中的優(yōu)越性.以三通道導彈數學模型為控制對象，采用該算法設計了定結構H∞控制器并對其時域和魯棒性能進行了分析，結果各項性能指標滿足要求，從而驗證了算法的有效性.

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(編輯 張 紅)

Fixed-structure H∞controller design for missile autopilot with particle swarm optimization

ZHANG Min, YING Qiaoping

(College of Automation Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211100, China)

In order to solve the high order controllers caused by traditional robust design method and the robust performance issues in classical PID method design process, a new kind of fixed-structureH∞controller design method based on constrained particle swarm optimization algorithm is proposed and applied to the missile controller design by taking the advantages of both robust method and the PID method. A gradient-based correction algorithm is used to amend the violating constraint particles, which shows the superiority of this method by comparing performance test, test functions and other three commonly used constrained optimization algorithms. Meanwhile, for the three-channel sample missile control object model, the performance index function in time domain performance, the robustness properties and constraints are provided, and then the controller is designed by adopting the gradient-based correction particle swarm algorithm for the typical missile fixed control structure. The simulation results show that the sample missile control system meets the time domain performance index and the robust performance index.

missile; fixed-structure; control; particle swarm; optimization

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.012

2015-04-15

國家自然科學基金(61174197)

張 民(1973—)，男，博士，副研究員

張 民， zhangmin@nuaa.edu.cn

V448

A

0367-6234(2016)10-0083-08