周 群，徐 懿，張金保，寧 佳，曾雪洋

（1. 四川大學(xué)電氣信息學(xué)院 成都 610065；2. 國電光伏有限公司 江蘇 宜興 214203）

I2控制Buck變換器的一階動力學(xué)分析

周 群1，徐 懿1，張金保2，寧 佳1，曾雪洋1

（1. 四川大學(xué)電氣信息學(xué)院 成都 610065；2. 國電光伏有限公司 江蘇 宜興 214203）

通過降階處理，建立了I2控制Buck變換器的一階離散映射迭代模型，研究了該模型的非線性動力學(xué)行為。通過分析檢測電阻Rs和誤差放大器比例系數(shù)k1為變量參數(shù)的分岔圖，研究了系統(tǒng)從穩(wěn)定周期1進(jìn)入倍周分岔，從連續(xù)導(dǎo)電模式（CCM）魯棒混沌進(jìn)入斷續(xù)導(dǎo)電模式（DCM）陣發(fā)混沌的動力學(xué)形為。通過Rs-Vo和k1-Vo參數(shù)空間分析和離散迭代映射空間分析，得到了穩(wěn)定性和工作模式的變化情況，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

穩(wěn)定分析； 混沌； 離散映射模型； 一階模型； 開關(guān)DC-DC變換器

開關(guān)DC-DC變換器作為非線性時變系統(tǒng)的一種典型，運(yùn)行狀態(tài)非常復(fù)雜。近年來，通過對開關(guān)DC-DC變換器的非線性動力學(xué)研究，其非線性現(xiàn)象及其產(chǎn)生機(jī)理［1-11］被人們所認(rèn)識，為工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供了可靠的理論依據(jù)。

綜合了峰值電流和平均電流控制［5，8-12］的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)［13］提出了I2平均電流控制技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了快速、準(zhǔn)確的電流控制。本文研究的I2控制實(shí)質(zhì)為輸出恒壓的電流控制技術(shù)，控制電路采用一個電壓外環(huán)反饋和兩個電流內(nèi)環(huán)反饋，進(jìn)行三環(huán)反饋控制，其中兩個電流反饋分別作為電流誤差反饋信號和PWM調(diào)制信號。I2控制Buck變換器引入了電壓誤差反饋增益，使其能夠控制輸出電壓，實(shí)現(xiàn)過壓和欠壓保護(hù)；引入了電感電流誤差反饋增益，使其能夠控制電感電流，實(shí)現(xiàn)過流保護(hù)；直接引入電感電流作為PWM調(diào)制信號，使其具有較快的響應(yīng)速度。

文獻(xiàn)［13］提出I2控制Buck變換器拓?fù)?，并建立了小信號等效模型，但沒有對I2控制Buck變換器的非線性動力學(xué)特性進(jìn)行研究。本文建立了I2控制Buck變換器一階等效離散迭代模型，研究了其動力學(xué)特性。以檢測電阻Rs和比例系數(shù) k1作為變量參數(shù)，利用數(shù)值仿真軟件MATLAB進(jìn)行分岔分析［6-11］；通過工作狀態(tài)域分析［8-10］，驗(yàn)證了分岔分析的正確性。

1 I2控制Buck變換器一階模型

1.1 工作原理

圖1a為I2控制Buck變換器的工作原理圖，主電路由輸入電壓源 Vg、開關(guān)管S、二極管D、電感L、電容C（含等效串聯(lián)電阻r）和負(fù)載R構(gòu)成。

圖1b為工作于CCM模式下I2控制Buck變換器的穩(wěn)態(tài)工作波形。輸出電壓 vo與基準(zhǔn)電壓 Vref經(jīng)誤差放大器1得到誤差信號 vk1， vk1與電感電流檢測電阻Rs兩端電壓 vs經(jīng)誤差放大器2得到誤差信號 vk2，vk2與 vs通過比較器得到控制開關(guān)管S導(dǎo)通與關(guān)斷的PWM信號。當(dāng)r較大時，輸出電壓紋波與電感電流紋波的變化趨勢相同。在每一個開關(guān)周期開始時刻，時鐘信號使RS鎖存器置位，開關(guān)管S導(dǎo)通，續(xù)流二極管D關(guān)斷，電感電流 iL和輸出電壓 vo上升。當(dāng) vk2與 vs相等時，比較器輸出高電平，使鎖存器復(fù)位，開關(guān)管S關(guān)斷，二極管D導(dǎo)通，輸出電壓 vo與電感電流 iL下降，直到下一個時鐘使開關(guān)管S導(dǎo)通。

圖1 I2控制Buck變換器

1.2 工作模式

為簡化系統(tǒng)建模，本文只考慮誤差放大器的比例環(huán)節(jié)。當(dāng)開關(guān)頻率遠(yuǎn)高于Buck變換器的特征頻率時，可以認(rèn)為在一個開關(guān)周期內(nèi)電容電壓 Vc恒定，即把 Vc當(dāng)作直流電壓源。經(jīng)簡化處理，原有的高階系統(tǒng)等效為只含有電感電流一個狀態(tài)變量的一階系統(tǒng)。負(fù)載R往往遠(yuǎn)大于r，r上產(chǎn)生的電壓紋波即為輸出電壓的紋波。由于r很小， iL在r上產(chǎn)生的電壓較小，可以近似認(rèn)為輸出電壓平均值 Vo等于輸出電容電壓 Vc。把電容電壓 Vc和電感電流 iL分別看作給負(fù)載供電的兩個獨(dú)立電源，則輸出電壓 vo=Va+iLr，其中，Va=VcR/（r+R）。

圖2給出了電感電流 iL紋波的一階線性等效波形。開關(guān)管S導(dǎo)通時，iL線性上升；開關(guān)管S關(guān)斷時，iL線性下降。在不同的工作模式下，Buck變換器有不同的iL波形。當(dāng)Buck變換器工作于CCM模式時，iL始終大于零，如圖2a所示（其中 in為上周期結(jié)束時的電感電流， Ik為控制電流）；在DCM模式時，如圖2b所示， iL下降到零后將持續(xù)為零，直到下一個時鐘周期的開始。

圖2 電感電流紋波圖

在開關(guān)管S導(dǎo)通和關(guān)斷期間，電感電流iL的上升斜率m1和下降斜率m2分別為：

1.3 開關(guān)切換條件

如圖1a所示，誤差信號 vk1和 vk2分別為：

式中， k1和 k2是誤差放大器1和誤差放大器2的比例系數(shù)；vs=iLRs。

當(dāng)導(dǎo)通時間 Ton小于時鐘周期 Ts時， vk2與 vs通過比較器得到翻轉(zhuǎn)信號。在開關(guān)管S切換時有：

把 vo代入式（2），結(jié)合式（2）～式（4），可得開關(guān)切換條件為：

式中， Ik為開關(guān)狀態(tài)切換時的電感電流，即控制電流。當(dāng)Buck變換器的電感電流iL上升到 Ik時，開關(guān)狀態(tài)發(fā)生切換。從式（5）可以看出，控制電流 Ik隨電路參數(shù)變化而變化。

1.4 電感電流邊界

在CCM模式下工作的I2控制Buck變換器，只有一個電感電流邊界 Ib1；處于DCM模式時，有兩個電感電流邊界 Ib1、 Ib2。定義電感電流邊界 Ib1為開關(guān)導(dǎo)通一個開關(guān)周期 Ts后，檢測電阻Rs兩端電壓vs與誤差信號 vk2相等時，開關(guān)周期開始時的電感電流，如圖3a所示；定義電感電流邊界 Ib2為時鐘周期結(jié)束時刻電感電流下降到零時，時鐘周期開始時的電感電流，如圖3b所示。

圖3 電感電流邊界

當(dāng)導(dǎo)通時間 Ton小于時鐘周期 Ts時，結(jié)合式（5），由兩邊界的定義可得：

式中，

從式（6）和式（7）可以看出， Ib1和 Ib2隨電路參數(shù)的變化而變化。

1.5 一階離散迭代模型

采用頻閃映射［7］建立I2控制Buck變換器的離散迭代模型。將nTs時刻輸出電壓和電感電流的采樣值設(shè)為vn=vo（nTs）和in=iL（nTs）；（n+1）Ts時刻輸出電壓和電感電流的采樣值設(shè)為vn+1=vo［（n+ 1）Ts］和in+1=iL［（n+ 1）Ts］。在一個開關(guān)周期 Ts內(nèi)，不同的條件下I2控制Buck變換器存在不同的運(yùn)行軌道：

1） 當(dāng)in≤Ib1時，在一個開關(guān)周期內(nèi)，開關(guān)管S一直導(dǎo)通， vo與 iL增大，有：

2） 當(dāng)Ib1＜in＜Ib2時，Buck變換器工作于CCM模式。iL上升到 Ik時，開關(guān)管S從導(dǎo)通狀態(tài)進(jìn)入關(guān)斷狀態(tài)， vo與 iL下降，直到開關(guān)周期結(jié)束，有：

3） 當(dāng)Ib2≤in＜Ik時，Buck變換器進(jìn)入DCM工作模式，iL下降到零， vo下降到 Va，并維持到下一個開關(guān)周期的開始，有：

4） 當(dāng)in≥Ik時，控制回路中比較器輸出高電平，鎖存器不能被當(dāng)前周期的時鐘信號置位，開關(guān)管S一直關(guān)斷， iL、 vo一直下降，有：

容易證明式（8）～式（15）在兩個邊界處是連續(xù)的。

2 分岔分析

基于I2控制Buck變換器的離散迭代模型，利用MATLAB數(shù)值仿真軟件，以檢測電阻 Rs和比例系數(shù)k1為分岔參數(shù)，研究I2控制Buck變換器的動力學(xué)行為。電路參數(shù)為 Vg=7.5V ，Vref=5V，L=100 μH，C=3 000 μF，r=0.05 ?，R=3 ?， k1=30， k2=30，Rs=0.1 ?， Ts=50 μs。

圖4 Rs和k1為參數(shù)的分岔圖

圖4a為以檢測電阻Rs為分岔參數(shù)的分岔圖，Vo=4.7 V、Rs=1.5～12 ?。當(dāng)Rs=12 ?時，Buck變換器運(yùn)行在DCM工作模式。隨著Rs的減小，在Rs=11 ?時，Buck變換器的運(yùn)行軌道與 Ib2碰撞，Buck變換器從穩(wěn)定周期1進(jìn)入周期2運(yùn)行軌道；周期2運(yùn)行軌道在Rs=6.36 ?時與Ib1碰撞折疊，在Rs=4.79 ?時與邊界 Ib2碰撞分岔后，形成周期4分岔運(yùn)行軌道；周期4運(yùn)行軌道在Rs=4.11 ?時與 Ib1碰撞折疊。隨著 Rs減小，運(yùn)行軌道形成DCM陣發(fā)混沌，在 Rs=3.2 ?時與邊界 Ib2碰撞，形成CCM魯棒混沌，Rs=3.2 ?為混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變的分界點(diǎn)。

圖4b為以誤差放大器1比例系數(shù) k1為分岔參數(shù)的分岔圖， Vo=4.9 V、 k1=0.3～6.7。當(dāng) k1=0.3時，系統(tǒng)處于DCM工作模式。隨著 k1的增大，在 k1=0.64時，穩(wěn)定的周期1運(yùn)行軌道與邊界 Ib2發(fā)生碰撞，形成周期2運(yùn)行軌道；周期2運(yùn)行軌道在 k1=1.16時與邊界 Ib1碰撞折疊，在 k1=1.84時與邊界 Ib2碰撞，形成周期4運(yùn)行軌道，在 k1=2.33時與邊界 Ib1碰撞折疊。隨著 k1的增大，Buck變換器的運(yùn)行軌道形成DCM陣發(fā)混沌，在 k1=4.35時與邊界 Ib2碰撞，形成CCM魯棒混沌， k1=4.35為混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變的分界點(diǎn)。

從圖4看出，可以通過調(diào)節(jié)I2控制Buck變換器控制回路中的Rs和 k1轉(zhuǎn)變系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。在一定的范圍內(nèi)，減小 Rs或者增大 k1可以使電路的運(yùn)行狀態(tài)由DCM陣發(fā)混沌轉(zhuǎn)變?yōu)镃CM魯棒混沌；增大 Rs或者減小 k1可以使系統(tǒng)由混沌狀態(tài)返回穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。I2控制與V2控制比較，多引入了電流控制。從混沌狀態(tài)的變化特性可以看出，I2控制可以通過控制檢測電阻Rs控制系統(tǒng)的狀態(tài)變化，拓寬系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 工作狀態(tài)域分析

變換器的穩(wěn)定性分析只有在 Ib2＞in＞Ib1時才有意義［6，8-9］。根據(jù) iL與 vo的關(guān)系，可知系統(tǒng)只有 iL一個狀態(tài)變量。由式（10）可得I2控制Buck變換器的特征根為：

為了使I2控制Buck變換器工作于周期1，必須使|λ|＜1。當(dāng)λ從-1穿出此區(qū)域時，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔現(xiàn)象。λ=-1時，把式（1）代入式（16），可得：

I2控制Buck變換器發(fā)生CCM至DCM的工作模式轉(zhuǎn)移是由邊界碰撞分岔行為所引起。從圖4中兩個分岔圖也可以看出，當(dāng)運(yùn)行軌道與邊界 Ib2發(fā)生碰撞時，系統(tǒng)從DCM陣發(fā)混沌態(tài)進(jìn)入CCM魯棒混沌態(tài)。此時電感電流 iL處于最大值，滿足條件方程：

將式（5）、式（7）代入式（18），可得：

式中，

選取與分岔分析相同的參數(shù)，由式（17）和式（19）確定的臨界條件，可以得到Rs-Vo和 k1-Vo為參數(shù)空間的參數(shù)域，如圖5所示。參數(shù)空間表明系統(tǒng)工作模式是隨參數(shù)的變化而變化的。圖5可以看出兩條邊界把系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)分為3個狀態(tài)區(qū)域，穩(wěn)定周期1、CCM魯棒混沌區(qū)和DCM陣發(fā)混沌區(qū)。由圖5a可以看出，當(dāng) Vo=4.7 V時， Rs=3.2 ?為圖4a中DCM陣發(fā)混沌態(tài)與CCM魯棒混沌態(tài)的分界點(diǎn)；由圖5b可得，當(dāng)Vo=4.9 V時， k1=4.35為圖4b中DCM陣發(fā)混沌態(tài)與CCM魯棒混沌態(tài)的分界點(diǎn)。對比分析，證明了分岔分析的正確性。

圖5 工作狀態(tài)域分布

選取I2控制Buck變換器的輸出電壓 Vo、檢測電阻Rs和誤差放大器1比例系數(shù) k1為可變參數(shù)，利用參數(shù)空間離散迭代映射圖，進(jìn)行I2控制Buck變換器的動力學(xué)研究。根據(jù)圖4參數(shù)的選取，分別選擇兩組相同的參數(shù)變量，變化范圍為：Rs=1.5～12 ?，Vo=3.4～5.3 V及 k1=0.3～6.7， Vo=3.4～5.3 V。

由式（8）～式（15）所描述的I2控制Buck變換器的離散迭代映射方程，可得如圖6a和圖6b所示 Rs-Vo和k1-Vo參數(shù)空間上的參數(shù)空間映射圖。圖6中，使用不同的黑白灰度表示相應(yīng)的周期數(shù)，在兩參數(shù)平面中繪映射點(diǎn)時，用白色和灰度較淺區(qū)域表示低周期，黑色和灰度較深區(qū)域表示高周期，周期數(shù)越大則灰度越深。為了圖象的清晰表達(dá)，圖6中給出了兩條分界線劃分不同狀態(tài)的邊界，CCM/DCM分界線以上為DCM陣發(fā)混沌區(qū)。對比圖5和圖6可以看出，狀態(tài)變化一致，狀態(tài)域分析正確。

圖6 離散迭代映射空間

4 結(jié) 論

基于I2控制Buck變換器，研究了其一階等效動力學(xué)建模和分岔行為。通過MATLAB建模仿真，進(jìn)行了分岔分析；根據(jù)離散迭代模型和邊界碰撞情況，分析了參數(shù)空間和離散迭代映射空間。

本文建立了以電感電流邊界的一階離散模型；由動力學(xué)分析可得，系統(tǒng)存在穩(wěn)定周期1、周期2、周期4、CCM魯棒混沌和DCM陣發(fā)混沌，通過調(diào)節(jié)控制回路可以有效地調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；與V2控制相比，I2控制可以通過調(diào)節(jié)電流反饋拓寬系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文以I2控制Buck變換器的工作原理出發(fā)研究其動力學(xué)形為，對I2控制Buck變換器的理論分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)有重要的理論與實(shí)踐價值。

［1］ TSE C K， BERNARDO M D. Complex behavior in switching power converters［J］. Proceeding of IEEE， 2002，90（5）： 768-781.

［2］ BAO B， ZHOU G， XU J， et al. Unified classification of operation-state regions for switching converters with ramp compensation［J］. IEEE Transactions on Power Electronics，2011， 26（7）： 1968-1975.

［3］ MANDAL K， BANERJEE S， CHAKRABORTY C， et al. Bifurcations in frequency controlled load resonant DC-DC converters［C］//2012 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. ［S.1.］： IEEE， 2012： 1135-1138.

［4］ SAJID I， MASOOD A， SUHAIL A Q. Investigation of chaotic behavior in DC-DC converters［J］. Int Journal of Electrical， Computer and Systems Engineering， 2007， 3：166-169.

［5］ GIAOURIS D， BANERJEE S， IMRAYED O， et al. Complex interaction between tori and onset of three-frequency quasi-periodicity in a current mode controlled Boost converter［J］. IEEE Transactions on Circuits and Systems I； Regular Papers， 2012， 59（1）： 207-214.

［6］ 何圣仲， 周國華， 許建平， 等. V2控制Buck變換器等效建模與分岔分析［J］. 物理學(xué)報(bào)， 2013， 62（11）： 110503. HE Sheng-zhong， ZHOU Guo-hua， XU Jian-ping， et al. Equivalent modeling and bifurcation analysis of V2controlled buck converter［J］. Acta Physica Sinica， 2013，62（11）： 110503.

［7］ 張波， 李萍， 齊群. DC-DC變換器分叉和混沌現(xiàn)象的建模和分析方法［J］. 中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2002， 22（11）： 81-86. ZHANG Bo， LI Ping， QI Qun. Methods for analyzing and modeling bifurcations and chaos in DC-DC converter［J］. Proceedings of the CSEE， 2002， 22（11）： 81-86.

［8］ 包伯成， 周國華， 許建平， 等. 斜坡補(bǔ)償電流模式控制開關(guān)變換器的動力學(xué)建模與分析［J］. 物理學(xué)報(bào)， 2010， 59（6）：3769-3777. BAO Bo-cheng， ZHOU Guo-hua， XU Jian-ping， et al. Dynamical modeling and analysis of current mode controlled switching converter with ramp compensation［J］. Acta Physica Sinica， 2010， 59（6）： 3769-3777.

［9］ 包伯成， 楊平， 馬正華， 等. 電路參數(shù)寬范圍變化時電流控制開關(guān)變換器的動力學(xué)研究［J］. 物理學(xué)報(bào)， 2012，61（22）： 220502.BAO Bo-cheng， YANG Ping， MA Zheng-hua， et al. Dynamics of current controlled switching converters under wide circuit parameter variation［J］. Acta Physica Sinica，2012， 61（22）： 220502.

［10］ YESODHA V， KAVIPRIYA R， JOSHNA T S， et al. Analysis of chaos and bifurcation in DC-DC converter using matlab［C］//2013 International Conference on Circuits， Power and Computing Technologies. ［S.1.］： ［s.n.］，2013： 481-487.

［11］ 向俊杰， 畢闖， 向勇， 等. 峰值電流模式控制同步開關(guān)Z源變換器的動學(xué)研究［J］. 物理學(xué)報(bào)， 2014， 63（12）：120507. XIANG Jun-jie， BI Chuang， XIANG Yong， et al. Dynamical study of peak-current-mode controlled synchronous switching Z-source convertver［J］. Acta Physica Sinica， 2014， 63（12）： 120507.

［12］ 周國華， 許建平. 開關(guān)變換器調(diào)制與控制技術(shù)綜述［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2014， 34（6）： 815-831. ZHOU Guo-hua， XU Jian-ping. A Review of modulation and control techniques for switching converters［J］. Proceedings of the CSEE， 2014， 34（6）： 815-831.

［13］ YING Y Y， FRED C L， PAOLO M， et al. I2average current mode control for switching converters［J］. IEEE Transactions on Power Electronics， 2014， 29（4）：2027-2036.

編 輯 漆 蓉

One-Dimensional Dynamic Analysis of I2Controlled Buck Converter

ZHOU Qun1， XU Yi1， ZHANG Jin-bao2， NING Jia1， and ZENG Xue-yang1
（1. Institute of electrical information， Sichuan University Chengdu 610065； 2. GD SOLAR CO.， LTD. Yixing Jiangsu 214203）

After dimension reduction， the I2controlled buck converter is studied and its one-dimensional discrete iterative map model is established in this paper. Based on the model， the nonlinear dynamic characteristics of the I2controlled buck converter is studied. Through the bifurcation analysis with the variations sensing resistance Rsand proportional coefficient k1of error amplifier， the operation states from the stable period-1 to the period-double bifurcation and from the robust chaos in continuous conduction mode （CCM） to the intermittent chaos in discontinuous conduction mode （DCM） are studied. Through analysis of Rs-Voand k1-Voparameter spaces and discrete-time iterative mappings， the stability and operation mode transitions can be studied， the correctness of the theoretical analysis can be verified.

analysis of stability； chaos； discrete map model； one-dimensional model； switched DC-DC converter

TM77

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013

2015 - 04 - 09；

2015 - 09 - 26

國家自然科學(xué)基金（51177140）

周群（1966 - ），女，博士，副教授，主要從事開關(guān)電管的動力學(xué)方面的研究.