王學(xué)影，王 華，陸 藝，郭 斌

(中國計量學(xué)院 計量測試工程學(xué)院，杭州 310018)

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基于蒙特卡洛法的關(guān)節(jié)臂坐標測量機工作空間分析

王學(xué)影，王 華，陸 藝，郭 斌

(中國計量學(xué)院 計量測試工程學(xué)院，杭州 310018)

傳統(tǒng)的求解關(guān)節(jié)臂式坐標測量機工作空間的方法需要借助繁瑣的數(shù)學(xué)公式、計算量大，針對這一問題選用蒙特卡洛法對工作空間進行分析；首先運用D-H方法建立關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的數(shù)學(xué)模型得出運動學(xué)方程;然后采用蒙特卡洛法分析該測量機的工作空間，得出工作空間點云圖；最后，采用局部象限分布的方法對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機工作空間點云圖的邊界點進行提取;仿真實驗結(jié)果表明用蒙特卡洛法對工作空間分析更簡單易于實現(xiàn)，采用基于局部象限分布法提取到的邊界點輪廓也更準確避免了虛假邊界點的提取。

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機；運動學(xué)模型；工作空間；蒙特卡洛法；邊界提取

0 引言

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機是一種新型的非笛卡爾式坐標測量系統(tǒng)[1]。該系統(tǒng)將一系列桿件通過具有旋轉(zhuǎn)功能的關(guān)節(jié)連接起來，以角度測量取代了長度測量，具有機械結(jié)構(gòu)簡單，測量范圍大，體積小，可便攜等優(yōu)點。因此在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的應(yīng)用越來越廣泛。測量機的關(guān)節(jié)數(shù)目、關(guān)節(jié)配置情況和結(jié)構(gòu)尺寸等因素都會影響測量機的運動范圍[2]。為了使坐標測量機能滿足人們的需求所以必須對其工作空間進行研究。目前，國內(nèi)外對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機工作空間的研究還比較少，基本停留在對工作空間點云圖的繪制上。對工作空間點云圖的繪制方法分為定步距打點法和基于蒙特卡洛法的工作空間繪制兩種方法。前一種方法計算量大，公式復(fù)雜，而蒙特卡洛法很好的彌補了前一種方法的缺點，所以這里采用蒙特卡洛法來分析工作空間。工業(yè)機器人在這方向的研究比較深入，繪制出點云圖后還進行了邊界點的提取，主要的方法有柵格搜索法、極值搜索法、文本搜索法和逆解搜索法等[3]。柵格法的原理是將工作空間劃分為多個正方形的網(wǎng)格，按照規(guī)定的判別條件來確定邊界單元，再用單元內(nèi)點集坐標的平均值表示邊界點的坐標值[4]。極值法是將工作空間按列劃分，在固定的一段寬度范圍內(nèi)找工作區(qū)域邊界的極大極小值[5]，這兩個極大極小值點即為工作空間的邊界點。這幾種邊界提取的方法理論知識較為完整，但提取到的點也只能是近似的邊界點。因此本文先通過對坐標測量機運動學(xué)模型的分析得出運動學(xué)方程，再對關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的工作空間進行分析，最后利用基于局部象限分布的方法對工作空間邊界點進行提取，獲得邊界點的輪廓。

1 關(guān)節(jié)臂式坐標測量機運動學(xué)模型的構(gòu)建

運動學(xué)模型的構(gòu)建是關(guān)節(jié)臂式坐標測量機工作空間分析的基礎(chǔ)。工作空間需要用數(shù)學(xué)方程來確定，要得到這個方程就要在理解關(guān)節(jié)臂式坐標測量機測量原理的基礎(chǔ)上，建立合理的數(shù)學(xué)模型。

1.1 關(guān)節(jié)臂式測量機測量原理

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機是根據(jù)仿生學(xué)原理，模擬人的四肢和軀干運動而構(gòu)成的。它由多個關(guān)節(jié)構(gòu)成，測頭端安裝有測量探頭，可由人牽引在物體表面滑動掃描[6]。機械臂的關(guān)節(jié)上裝有角度傳感器，可以實時測量關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角度，根據(jù)臂長和各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角度計算出測量點的三維坐標。

1.2 關(guān)節(jié)臂式測量機系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的運動學(xué)模型采用的建模方法是基于準球坐標系改進以后的D-H建模方法[7]。這種建模方法可以簡化運動模型中包含的參數(shù)，其坐標示意圖如圖1。

圖1 測量機坐標系示意圖

圖1中的參數(shù)分別是關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1～θ6，測頭端中心點在XYZ軸上的偏置分別為a1～a7、b1～b7、d1～d7以及每個關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)中心O1～O6。

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機是一種類似于工業(yè)機器人的多關(guān)節(jié)串聯(lián)的開式運動鏈。運動學(xué)分析主要是研究柔性關(guān)節(jié)臂式坐標測量機各關(guān)節(jié)變量與其末端測頭端的位置坐標之間的關(guān)系，是研究工作空間的基礎(chǔ)。它們之間的關(guān)系可以由一個坐標變換矩陣表示[8]，坐標系{i}到坐標系{i+1}的變換關(guān)系如式(1)：

Ai,i+1=Rot(Zi,θi)Trans(Zi,di+1)Trans(Yi,bi+1)

(1)

由坐標變換矩陣可以得出關(guān)節(jié)臂式坐標測量機理想運動學(xué)方程模型如式(2)。

(2)

其中:(x67,y67,z67)是側(cè)頭點P在{O6X6Y6Z6}坐標系下的坐標值表達式，該表達式如下式(3)。

(3)

將公式(1)和(3)代入公式(2)得到最終測頭點的位置坐標與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間關(guān)系的表達式如下式(4)。

(4)

式中，l1～l6中l(wèi)=(lx，ly，lz)T表示第i個坐標系的X軸的方向相對于第i-1個坐標系的3個坐標軸的方向余弦。

2 測量空間分析

通過上面的分析，建立了合理的運動學(xué)模型得出了運動學(xué)方程，具備了進行測量空間分析的基本條件。但是由于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角在某個范圍內(nèi)是連續(xù)變化的，而運用蒙特卡洛法分析工作空間則是一種數(shù)字分析方法。我們需要定義工作空間的描述方法，將關(guān)節(jié)角度變量的取值與工作空間建立一種映射關(guān)系。然后再結(jié)合運動學(xué)方程完成對工作空間的分析。本文以?？怂箍倒旧a(chǎn)的Infinite2.0的測量機作為實驗分析的對象。

2.1 工作空間描述

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的測量空間可定義為：測量機在正常工作時，測頭端的中心點在整個空間所能測量的最大范圍。在數(shù)學(xué)語言中，測量空間可以用測頭中心點在不同關(guān)節(jié)相互組合運動的作用下所能達到的位置點的集合來表示[9]，即在三維空間R3中，該集合可視為關(guān)節(jié)變量與測量空間WF位置的映射，表示為下式(5)：

(5)

其中:θi為關(guān)節(jié)變量，i為關(guān)節(jié)數(shù)量；Ω為關(guān)節(jié)變量空間；T為關(guān)節(jié)變量與測量空間位置的映射關(guān)系。

2.2 工作空間分析

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機工作空間的形狀比較抽象無法直觀想象，因此需要借助于數(shù)學(xué)工具來對它進行描述和分析。

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的各關(guān)節(jié)角度變量取值如表1所示。其中臂長的名義值分別為b3=285mm，b5=285mm，b7=220mm。

表1 關(guān)節(jié)角度變量的取值

用蒙特卡洛方法模擬關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的工作空間，主要是利用運動學(xué)方程[10]。實質(zhì)是利用蒙特卡洛技術(shù)對關(guān)節(jié)變量進行符合均勻分布的隨機抽樣，并將各關(guān)節(jié)變量的隨機抽取的值代入運動學(xué)方程式(2)計算出關(guān)節(jié)臂測頭中心點的坐標值，這些坐標值構(gòu)成的集合即為關(guān)節(jié)臂的工作空間。

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的工作空間本來是一個連續(xù)分布的空間，而蒙特卡羅法是需要處理離散數(shù)據(jù)點，前面我們已經(jīng)完成了符合這一算法的概率模型的構(gòu)建[11]。然后要在各關(guān)節(jié)角度變化范圍內(nèi)利用均勻偽隨機數(shù)RAND，逐個產(chǎn)生各關(guān)節(jié)變量，即：

式中，θi為第i個關(guān)節(jié)變量的隨機值，θimin為第i個關(guān)節(jié)變量取值下限，θimax為第i個關(guān)節(jié)變量取值上限，各關(guān)節(jié)上下限的取值見表1。將上述過程產(chǎn)生的隨機變量值帶入運動學(xué)方程求出測頭端中心點在基坐標系中各相應(yīng)位置的坐標值，然后在軟件中得出節(jié)臂式坐標測量機工作空間點云圖如圖2。

圖2 工作空間點云圖

從圖2中的(a)圖所示的測量機工作空間的三維圖形可以看出，關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的理想工作空間是一個完整的球體，可以測量自身參數(shù)允許范圍內(nèi)所有區(qū)域。圖2中的(b)和(c)分別是圖(a)在xoy和xoz平面上的投影圖，從中可以看出在靠近坐標測量機的底座部分存在著測量機的不可觸區(qū)域。最外層部位由于測量機的臂長和轉(zhuǎn)角的約束，點分布相對稀疏，其它位置的點分布均勻，變化平緩，沒有空心出現(xiàn)，這可以表明關(guān)節(jié)臂式坐標測量機結(jié)構(gòu)的合理性。但是利用蒙特卡洛方法模擬獲得的是測量機工作空間中一系列隨機點的云圖，為了更準確地分析工作空間的特性得到準確 的邊界點坐標信息，我們還需要對點云圖的邊界點做進一步的分析[12]。

3 邊界點提取方法

由于工作空間的點云圖無法準確地表達出邊界點的信息，因此對點云圖邊界提取的研究工作也很重要。本文采用的基于局部點象限分布的邊界點提取方法的具體實現(xiàn)過程如下[13]。

該方法是以要判斷點為原點，建立局部坐標系，通過分析邊界點、內(nèi)部點和鄰域點的分布特點,發(fā)現(xiàn)如果該點為邊界點,則4個象限至少有1個象限的點分布為空集。具體判別步驟如下:

1)搜索目標點i(xi,yi)的鄰域點集合如式(6)：

(6)

其中:r為搜索半徑；

按照上述步驟逐點判斷,即可找出所有的邊界點。但是該方法需要搜索整個工作空間，計算量非常大，需要的時間較長。結(jié)合以往機器人工作空間分析中采用的按列劃分的方法，將前面第一步中需要搜索的目標點的范圍進行進一步的限定，具體做法流程圖如圖3。

圖3 邊界點搜索流程圖

4 試驗結(jié)果與分析

采用本文的基于局部點象限分布法提取邊界點的方法對實驗室的?？怂箍倒旧a(chǎn)的Infinite2.0的關(guān)節(jié)臂式坐標測量機工作空間進行仿真試驗。按照這種方法提取到的關(guān)節(jié)臂式坐標測量機工作空間邊界點輪廓如圖4。其中圖4中的(a)是關(guān)節(jié)臂式坐標測量機在xoy平面內(nèi)工作空間邊界點的輪廓圖，圖(b)是關(guān)節(jié)臂式坐標測量機在xoz平面內(nèi)工作空間邊界點輪廓。用這種方法進行邊界點提取時就不需要每次都對整個空間的工作點進行分析了，只需對不同的3個或者兩個子區(qū)間的點進行分析即可得到較準確地邊界點。從圖中可以看到提取的邊界點輪廓無虛假邊界點，準確反映了工作空間邊界信息。

圖4 關(guān)節(jié)臂坐標測量機工作空間邊界輪廓

將圖2工作空間點云圖中(b)圖測量空間在XOY平面上的截面圖的局部進行放大分析得到如圖5所示的結(jié)果。其中a、c和e三點為邊界點，f、b、d和g是偽邊界點。在該圖中利用基于局部象限點分布法提取到的邊界點是以圖5中的a、c和e三點為代表的處于最外層的三點連線上的這一系列點，在包絡(luò)線外沒有漏掉的邊界點，也沒有提取到處于內(nèi)部的偽邊界點。

圖5 測量空間XOY面上的局部放大圖

相對于用極值法和柵格法提取邊界點，本文的基于局部點象限分布法的提取精度更高，并且提取到的邊界點更貼合與工作空間的實際邊界，這種方法可以很好的避免虛假邊界點的出現(xiàn)。

5 結(jié)束語

通過建立關(guān)節(jié)臂式坐標測量機的數(shù)學(xué)模型進而推導(dǎo)出了運動學(xué)方程，在此基礎(chǔ)上用本文提到的方法對?？怂箍倒旧a(chǎn)的Infinite2.0關(guān)節(jié)臂式坐標測量機工作空間做了仿真分析繪制出了工作空間點云圖并對其工作空間點云圖進行邊界點的提取。實驗結(jié)果表明：用蒙特卡洛法分析繪制測量機的工作空間更簡單，生成的工作空間點云圖各點更貼近實際，可以由點云圖中直觀的看到關(guān)節(jié)臂的實際工作范圍，便于人們合理的擺放測量機的位置。用基于局部點象限分布法能提取到測量機工作空間精確的邊界點，對后續(xù)人們研究坐標測量機的最佳測量空間具有重要的意義。

[1] 裘祖榮，孫增玉，張國雄.關(guān)節(jié)臂式坐標測量機標定系統(tǒng)的設(shè)計[J].計算機測量與控制，2009,17(1):88-90.

[2] 鄭大騰,肖忠躍,周燕輝. 提高關(guān)節(jié)臂式坐標測量機測量精度的關(guān)鍵技術(shù)[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報,2014,(1):20-23.

[3] 毛 新，羅慶生，韓寶玲,等.仿生六足爬行機器人運動控制技術(shù)研究[J].計算機測量與控制,2006,14(3):348-350.

[4] 劉志忠，柳洪義，羅 忠，等.機器人工作空間求解的蒙特卡洛法改進[J].農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2013,44(1):230-235.

[5] 李保豐，孫漢旭，賈慶軒，等.基于蒙特卡洛法的空間機器人工作空間計算[J].航天器工程，2011,20(4):79-85.

[6] 田海波,馬宏偉,魏 娟. 串聯(lián)機器人機械臂工作空間與結(jié)構(gòu)參數(shù)研究[J]. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報,2013,44(4):196-201.

[7] 于連棟，程文濤，費業(yè)泰.基于激光跟蹤儀的關(guān)節(jié)式坐標測量機參數(shù)標定[J].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報，2009,39(12):1329-1332.

[8] 王學(xué)影，劉書桂，王 斌，等.關(guān)節(jié)臂式柔性三坐標測量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及誤差分析[J].納米技術(shù)與精密工程，2005,3(4)：262-267.

[9] 田海波,馬宏偉,魏 娟. 串聯(lián)機器人機械臂工作空間與結(jié)構(gòu)參數(shù)研究[J]. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報,2013,44(4):196-201.

[10] 徐鐘濟.蒙特卡洛方法[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985,6.

[11] 蔡 蒂，謝存禧，張鐵鄒，等.基于蒙特卡洛法的噴涂機器人工作空間分析及仿真[J].機械設(shè)計與制造，2009,(3):161-162.

[12] 吳學(xué)明，李燦平.邊緣檢測算法在不同分辨率圖像中的性能研究[J].計算機測量與控制，2006,14(2):166-169.

[13] 陳是扦,刁 燕,羅 華,等.機器人工作空間邊界點提取算法研究與改進[J].機械傳動,2014,(11):49-53.

Workspace Analysis of Articulated Arm Coordinate Measuring Machine Based on Monte Carlo Method

Wang Xueying，Wang Hua，Lu Yi，Guo Bin

(Institute of Precision Measurement and Control, China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)

The traditional method to solve the problem of working space of articulated arm coordinate measuring machine needs applying complex mathematical formulas with large calculating quantities. To solve this problem, the Monte Carlo method was used to analyze the working space.Firstly, the D-H method was used to establish the mathematical model of coordinate measuring in order to obtain the Kinematics equations.Then, the Monte Carlo method was used to analyze the working space of the measuring machine in order to draw the cloud picture of the work space.Finally,we could extract the boundary points of the workingspace of the articulated arm coordinate measuring machine by using the method of the local quadrant distribution. The results of simulating experiments show that the Monte Carlo method is more simple and easier to operate on the analysis of space. The boundary points extracted by using the method of local quadrant distribution are more accurate avoiding the extraction of the false boundary points at the same time.

articulated arm coordinate measuring machine;kinematic model;workspace; Monte Carlo method;boundary extraction

2015-11-17；

2015-12-18。

國家自然科學(xué)基金項目(51405463)。

王學(xué)影(1979-)，女，黑龍江大慶人，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要從事光電檢測技術(shù)、三坐標測量機技術(shù)方向的研究。

1671-4598(2016)06-0030-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.06.009

TH721

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