范廷恩， 黃旭日， 馬淑芳

1 西南石油大學(xué)， 成都 610500 2 中海油研究總院， 北京 100028

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VSP時空域高角度單程波方程偏移及其應(yīng)用研究

范廷恩1，2， 黃旭日1， 馬淑芳2*

1 西南石油大學(xué)， 成都 610500 2 中海油研究總院， 北京 100028

偏移成像是VSP數(shù)據(jù)處理中的一個重要環(huán)節(jié)，常規(guī)的VSP成像方法通常利用VSP-CDP轉(zhuǎn)換或Kirchhoff偏移，均存在保幅性差及成像精度低等問題，而波動方程疊前深度偏移被認(rèn)為是對地下復(fù)雜構(gòu)造進(jìn)行成像的精確偏移方法.任意廣角波動方程作為一種高精度的空間域單程波波動方程，同時由于只含有二階偏導(dǎo)數(shù)項，易于數(shù)值實現(xiàn)，與其他單程波波動方程相比，具有更大的成像傾角，因此是偏移成像的有力工具之一.本文將AWWE推廣應(yīng)用到VSP數(shù)據(jù)成像中，實現(xiàn)了VSP時空域高角度單程波方程偏移.首先從三維標(biāo)量任意廣角波動方程出發(fā)，推導(dǎo)了完全匹配層吸收邊界條件，在基本不增加計算量的前提下有效地壓制了邊界反射成像噪音，同時利用非線性反演算法優(yōu)選參考速度來提高平方根算子的近似程度，從而提高高角度地層的成像精度.模型數(shù)值模擬實驗驗證了該方法的有效性，同時表明該方法在陡傾角構(gòu)造情況下能取得很好的成像效果.最后對某地區(qū)實際觀測的VSP資料進(jìn)行了偏移成像，并與地面地震偏移結(jié)果進(jìn)行了對比，顯示出VSP波動方程偏移在成像分辨率上的優(yōu)勢.關(guān)鍵詞 任意廣角波動方程； VSP偏移； PML

1 引言

VSP 技術(shù)在井旁構(gòu)造精細(xì)成像、井旁斷層識別、井旁地層巖性描述和地震波衰減等方面都取得了許多實際的應(yīng)用效果.VSP成像是VSP 數(shù)據(jù)處理中的一個重要環(huán)節(jié)，VSP成像方法主要包括常規(guī)的VSP-CDP轉(zhuǎn)換、基于射線理論的Kirchhoff積分法偏移和基于波動方程的偏移三種，前兩種方法都有其局限性，VSP-CDP轉(zhuǎn)換僅對水平層狀介質(zhì)或橫向變速緩慢的介質(zhì)才能取得比較好的處理結(jié)果，Kirchhoff 積分方法因它固有的高頻近似假設(shè)和射線理論在復(fù)雜介質(zhì)中的缺陷(如焦散和多路徑等)使其在復(fù)雜構(gòu)造區(qū)難以取得理想的結(jié)果.而波動方程偏移成像方法相對于射線追蹤技術(shù)，能更準(zhǔn)確地描述波在復(fù)雜介質(zhì)中的傳播以及波場能量的變化情況，這使得基于波動方程的偏移方法更受青睞.波動方程偏移方法又可以進(jìn)一步分為基于單程波方程的偏移方法和基于雙程波方程的偏移方法.基于雙程波的逆時偏移不受地下界面傾角的限制，并且在保幅方面具有優(yōu)勢.孫文博和孫贊東(2010)開展了VSP資料偽譜法逆時偏移研究，李文杰等(2012)研究了二維各向同性介質(zhì)中兩分量的非零偏VSP疊前逆時深度偏移方法，蔡曉慧等(2015)實現(xiàn)了基于自適應(yīng)優(yōu)化有限差分方法的全波VSP逆時偏移，但該方法主要存在的應(yīng)用瓶頸是：計算量大、存儲量大和噪聲問題.在波場的正向和逆時外推過程中需要存儲各個時刻的波場，非常耗時.同時將針對單程波方程提出的互相關(guān)成像條件用于逆時偏移，會產(chǎn)生低頻噪音干擾.因此三維逆時偏移的計算量和對速度模型的高要求使得它在目前工業(yè)界的應(yīng)用效果并不是十分理想.

Claerbout(1976)首次提出了時空域單程波方程，然而該方程具有明顯的傾角限制，無法對高陡構(gòu)造準(zhǔn)確成像，一些學(xué)者(馬在田，1983)采用不同的高階近似方法來提高成像傾角，但由于方程中往往包含高階偏導(dǎo)數(shù)項，而高階差分計算量明顯增加，使得數(shù)值計算難以實現(xiàn).Guddati(2006)提出了任意廣角波動方程(AWWE)，它是一種在空間域表述的高精度單程波方程.AWWE的優(yōu)點是精度高，要提高AWWE的成像傾角，只需增加參考速度的個數(shù)即可，AWWE的形式簡單，只包含二階偏導(dǎo)數(shù)項，易于數(shù)值實現(xiàn)，因此AWWE被廣泛應(yīng)用于偏移成像，何兵壽等(2008a)用AWWE對地面地震資料做逆時偏移成像研究，同時將其與基于雙程聲波方程的逆時偏移方法做比較，指出基于AWWE的偏移方法不僅可以對陡傾角的地層準(zhǔn)確成像，而且還可以很好地避免雙程波方程逆時偏移的低頻成像噪音；孫歧峰和杜啟振(2011)推導(dǎo)了頻率-空間域的AWWE，并利用有限差分高階分裂法求解方程，實現(xiàn)地震偏移成像，指出該方法能夠適應(yīng)強橫向變速地區(qū)和陡傾角地層的成像.在吸收邊界條件方面，Heidari和Guddati(2006)導(dǎo)出廣角方程正向傳播的吸收邊界條件；何兵壽等(2008b)將加權(quán)校正及插值預(yù)測吸收邊界條件引入任意廣角方程的逆時偏移領(lǐng)域，這種邊界條件的本質(zhì)是對Clayton 吸收邊界條件的改進(jìn)，它難以有效地吸收地震波逆時延拓過程中投射到邊界的外行波；何兵壽等(2010)給出了適用于二維任意廣角單程聲波方程逆時延拓的吸收邊界條件，給出的算法只需在少量增加計算量的前提下有效地壓制了截斷邊界的偽反射，消除了邊界處的偏移噪聲；Chen等(2013)將完全匹配層(PerfectlyMatched Layer，PML)用于AWWE，有效地解決了AWWE數(shù)值計算中的吸收邊界問題.盡管AWWE具有高精度的特點，但是其計算過程包含重復(fù)的矩陣求逆和矩陣相乘，使得其計算代價比其他單程波方程高出許多，特別是增加參考速度個數(shù)時，其計算量顯著增加.周輝等(2014)改進(jìn)了現(xiàn)有的有限差分計算方案，大幅度提高了計算效率，同時采用了一種有效的方法在f-k域比較準(zhǔn)確地區(qū)分出倏逝波和非倏逝波，從而獲得一個合理的視速度作為f-k濾波器的門檻來壓制倏逝波干擾，提高成像質(zhì)量.本文將AWWE推廣應(yīng)用至VSP領(lǐng)域，實現(xiàn)了VSP資料的疊前深度偏移，采用非線性算法提高方程的成像精度，并應(yīng)用了PML吸收邊界條件，很好地壓制了邊界反射成像噪音.

2 基本原理

2.1 高角度單程波VSP疊前深度偏移算法

三維標(biāo)量AWWE下行波方程的一般形式為(Guddati and Heidari，2005)

(1)

其中c為背景速度，dT=(1,0,…,0)n×1，u=(u,u1,u2,…,un-1)T，u1,u2…,un-1為輔助變量，T表示轉(zhuǎn)置，x、y、z為空間坐標(biāo)，t表示時間變量，

(2)

(3)

式中，c1,c2,…,cn為根據(jù)實際介質(zhì)速度選取的參考速度.

2.2 高角度單程波時域PML匹配方程

在進(jìn)行高角度單程波方程有限差分偏移時會遇到邊界反射問題，因此針對下行波式(1)推導(dǎo)其PML匹配方程，考慮沿x方向和y方向衰減，將其分裂成三項，即

(4)

(5)

(6)

返回時間域得到

(7)

將式(7)與式(4)的第三式寫在一起，即組成了三維任意廣角單程波下行波的時域PML匹配方程，即

(8)

由于是單程波方程不需要考慮Z方向的邊界反射問題，在計算時只需考慮前后左右四個邊界和四周四個棱邊，X方向兩個邊界只需要考慮X方向衰減，Y方向兩個邊界只需要考慮Y方向衰減，而四個棱邊需要同時考慮X和Y方向的衰減.

2.3 非線性反演算法提高方程成像精度

在推導(dǎo)高角度單程波方程時，不可避免地要對平方根算子做近似，對平方根算子的近似程度直接影響偏移成像的精度.從平方根算子表達(dá)的頻散關(guān)系出發(fā)，對參考速度的選擇進(jìn)行優(yōu)化.優(yōu)化的準(zhǔn)則是在最小平方約束下使高角度方程對平方根算子的近似與準(zhǔn)確的單程波平方根算子達(dá)到最佳的匹配.下面選定兩個參考速度來詳細(xì)說明高角度聲波方程參考速度的優(yōu)化過程.

下行單程波平方根算子的準(zhǔn)確表達(dá)式可以寫為

(9)

(10)

其中θ表示波的傳播方向與界面法線之間的夾角.

二維AWWE下行波方程：

(11)

為了評價AWWE的精度，對上式中的x、t做傅里葉變換，就可以得到頻率波數(shù)域中的高角度方程

(12)

進(jìn)而可以整理出高角度方程對平方根算子的近似函數(shù)Fn(ξ,c1,…,cn)，當(dāng)選取兩個參考速度，并對速度進(jìn)行歸一化后，得到F2(ξ,c1,c2)為(詳細(xì)推導(dǎo)過程參見附錄A)：

(13)

(8)與式(10)的相對誤差為

(14)

在最小平方約束條件下，使得它們的相對誤差Er最小.相對誤差越小，平方根算子的近似程度越高，越有利于大角度地層準(zhǔn)確成像.因此研究方程的精度對實際地震資料處理有一定的價值.可以通過非線性反演算法(牛頓法)求得Er最小時的參考速度(參見附錄B).

在兩個參考速度的情況下，當(dāng)固定第一個參考速度c1=1時，得到的優(yōu)化參考速度是c1=1,c2=5.24；當(dāng)不固定參考速度c1的數(shù)值時，得到的優(yōu)化參考速度是c1=1.23,c2=6.46.在固定c1=1時的三個參考速度的情況下得到的優(yōu)化參考速度是c1=1,c2=2.82,c3=21.15.圖1是四種參考速度下AWWE頻散曲線，圖中OWWE代表的是下行單程波算子準(zhǔn)確表達(dá)式的頻散曲線.圖1a是參考速度c1=1,c2=4的AWWE頻散曲線，AWWE的精度可以達(dá)到75°左右.圖1b是參考速度為c1=1,c2=5.24的AWWE頻散曲線，在80°以下它與準(zhǔn)確的頻散曲線基本上是符合的，與圖1a相比，圖1b的最大準(zhǔn)確成像角度由75°提高到80°.圖1c是參考速度為c1=1.23,c2=6.46的AWWE頻散曲線，與圖1a和圖1b相比，其精度可以達(dá)到82°左右，圖1d是參考速度為c1=1,c2=2.82,c3=21.15的AWWE頻散曲線，最大準(zhǔn)確成像角度可接近90°，同時可以看到AWWE的頻散曲線與準(zhǔn)確的頻散曲線整體上都可以精確地吻合，成像精度大大得到了提高.

從上面的分析中可以看出：優(yōu)化的三個參考速度AWWE頻散曲線的精度最高；優(yōu)化的兩個參考速度AWWE頻散曲線的最大準(zhǔn)確成像角度都得到了提高，但是會損失小角度處的精度；與Guddati給出的c1=1,c2=4參考速度相比，優(yōu)化方法選取的參考速度可使大角度處AWWE的精度得到提高.采用優(yōu)化參考速度參數(shù)的AWWE做疊前深度偏移處理，而非采用增加參考速度個數(shù)的方法，就可以在避免增加運算量的情況下進(jìn)一步解決大角度成像的問題.

圖1 不同參考速度對應(yīng)的AWWE頻散曲線及其誤差(a) c1=1,c2=4; (b) c1=1,c2=5.24; (c) c1=1.23,c2=6.46; (d) c1=1,c2=2.82,c3=21.15，圖中OWWE代表的是下行單程波算子準(zhǔn)確表達(dá)式的頻散曲線.Fig.1 The dispersion relations and errors with different reference velocities

3 數(shù)值模擬實驗

3.1 層狀介質(zhì)模型

用一個四層介質(zhì)模型(如圖2a所示)的疊前深度偏移實驗分析高角度單程波VSP數(shù)據(jù)的偏移效果.模型大小為1800 m×3000 m，界面分別在900 m、1800 m和2700 m深度處，四個水平層速度分別為2000 m·s-1、2200 m·s-1、2400 m·s-1和2600 m·s-1.空間網(wǎng)格大小為3 m，時間采樣間隔為0.5 ms，合成地震記錄長度為2 s.炮點深度為3 m，水平方向600個網(wǎng)格點上均勻放置600炮激發(fā).井水平坐標(biāo)903 m，從深度為300 m到深度1200 m，以15 m為間隔均勻布置60個檢波點.

我們利用二維聲波方程正演得到原始的共炮集數(shù)據(jù)之后，由于直達(dá)波(下行波)是先于反射波(上行波)到達(dá)檢波器的，所以我們可以在共炮道集上對每個道沿著時間增大的方向?qū)ぶ担鶕?jù)直達(dá)波信號的大小，當(dāng)尋到第一個與直達(dá)波信號量級相當(dāng)?shù)臄?shù)值時，沿著時間增大方向?qū)⒁粋€子波長度內(nèi)的值變?yōu)榱?，這樣就可以去除直達(dá)波.去除了直達(dá)波之后抽取共檢波點道集，再利用共檢波點道集數(shù)據(jù)通過高角度單程波疊前深度偏移得到60個共檢波點道集偏移結(jié)果，通過疊加得到最后的結(jié)果如圖2b所示，可以看出三個水平界面得到準(zhǔn)確成像，偏移噪音很小，但是成像范圍并不是很大，這是由VSP本身的觀測范圍所限制的.

3.2 復(fù)雜模型

我們用復(fù)雜模型(如圖3a所示)的疊前深度偏移實驗分析高角度單程波VSP數(shù)據(jù)的偏移效果.模型大小為3000 m×3000 m，水平方向網(wǎng)格大小為5 m，深度方向網(wǎng)格大小為5 m，時間采樣間隔為0.5 ms，合成地震記錄長度為2 s.從上到下各地層中聲波速度分別為4000 m·s-1、4100 m·s-1、4400 m·s-1、4100 m·s-1、4000 m·s-1、4200 m·s-1和4300 m·s-1.炮點深度為5 m，水平方向600個網(wǎng)格點上均勻放置600炮激發(fā).井水平坐標(biāo)2000 m，從深度為250 m到深度850 m，以20 m為間隔均勻布置30個檢波點.

圖3b是多炮偏移疊加成像的結(jié)果，可以看出，對于離井較近的高陡地層得到了很好地成像，偏移的成像噪音也得到了很好的壓制.

圖2 簡單模型偏移結(jié)果(a) 水平層狀模型； (b) 偏移結(jié)果.Fig.2 The migration result of simple model(a) Horizontal layered model； (b) Its migration result.

圖3 復(fù)雜模型偏移結(jié)果(a) 復(fù)雜模型； (b) 偏移結(jié)果.Fig.3 The migration result of complex model(a) Complex model； (b) Its migration result.

4 實際資料測試

選取Q油田Walk-away VSP測線進(jìn)行了疊前深度偏移成像，本次Walk-away VSP 觀測系統(tǒng)震源布設(shè)范圍為-1900～1900 m，炮間距25 m，檢波器布設(shè)范圍為600～800 m，采用間距為10 m的20級檢波器接收，每個“排列”上提5 m重復(fù)測量，最終達(dá)到5 m的接收間距，采集時一共布置了八條測線，這里對其中一條測線進(jìn)行處理.圖4為偏移速度模型，由于只是對其中一條測線的處理，所以這里給出的只是截取了的一部分速度模型，并將坐標(biāo)值均轉(zhuǎn)化為正值，以便于描述.抽取共成像點道集進(jìn)行偏移成像處理，同時為了更好地進(jìn)行同相疊加，抽取了40個共檢波點道集不同偏移距的共成像點道集，利用互相關(guān)方法對得到的共成像點道集進(jìn)行整道校正，從而提高成像質(zhì)量.圖5為水平偏移距400 m校正前后的共成像點道集，對比可以看出，校正后的共成像點道集同相軸連續(xù)性得到增強，圖6為共成像點校正后的偏移結(jié)果，可以看出同相軸連續(xù)性良好，分辨率也很高，這主要是得益于VSP數(shù)據(jù)具有較高的主頻和信噪比.

圖4 偏移速度模型Fig.4 Velocity model for migration

圖5 共成像點道集校正(偏移距400 m處)(a) 校正前； (b) 校正后.Fig.5 The correction of CIP gathers (offset=400 m) (a) Before； (b) After.

為了進(jìn)一步分析成像結(jié)果，將地面地震偏移成像結(jié)果與此次VSP偏移結(jié)果進(jìn)行對比，如圖7，可以看出VSP偏移結(jié)果與地面地震剖面產(chǎn)狀吻合較好，并具有更高的分辨率和保幅性，主頻達(dá)到100 Hz，頻帶寬度達(dá)到8～180 Hz，為后續(xù)波組特征的識別和斷層的精細(xì)刻畫提供了高品質(zhì)資料基礎(chǔ).

圖6 共成像點校正后的VSP偏移結(jié)果

圖7 VSP與地面地震偏移結(jié)果的對比(a) VSP剖面與地面地震剖面疊合圖； (b) 地面地震剖面頻譜； (c) VSP剖面頻譜.Fig.7 The comparison of VSP migration result and surface seismic section(a) The overlapping graph of VSP migration result and surface seismic section；(b) Spectrum of surface seismic section； (c) Spectrum of VSP migration result.

5 結(jié)論

與其他單程波波動方程相比，AWWE是一種高精度的單程波方程，可以實現(xiàn)高陡構(gòu)造的準(zhǔn)確成像.本文將這種時空域高角度單程波方程偏移推廣應(yīng)用到VSP數(shù)據(jù)中，從三維標(biāo)量任意廣角波動方程出發(fā)，推導(dǎo)了PML公式，很好地壓制了邊界反射成像噪音，同時應(yīng)用牛頓法在最小平方意義下求解方程組來選取參考速度，從而提高了地層成像傾角，優(yōu)化后成像傾角接近90°.模型試算結(jié)果表明該方法在陡傾角情況下能取得較好的成像效果，實際資料的試處理也表明VSP時空域高角度單程波方程偏移成像結(jié)果相比地面地震偏移剖面具有更高的分辨率.

致謝 感謝中海油研究總院地球物理總師李緒宣、開發(fā)研究院院長胡光義的指導(dǎo)；感謝中海油天津分公司、中海油服提供的VSP資料；感謝重大專項項目組及聯(lián)合單位中國石油大學(xué)(北京)提供的幫助.

附錄A 提高精度的理論分析

二維時空域下行波AWWE為

(A1)

AWWE作為一種單程波方程(OWWE)，不可避免地要對平方根算子做近似，其近似程度直接影響偏移成像的精度和所能準(zhǔn)確成像的界面傾角范圍.用水平波數(shù)kx，角頻率ω表示的準(zhǔn)確的下行單程波方程表達(dá)形式如下：

(A2)

令ckx/ω=sinθ，θ表示波的傳播方向與界面法線之間的夾角，θ的范圍是0到90°，所以(A2)可以簡化為

(A3)

所以我們對方程(A1)中的x，t做傅里葉變換，就可以得到

(A5)

移項可得

(A6)

(A7)

(A8)

附錄B 非線性反演算法選取參考速度

相對誤差Er最小時，平方根算子的近似函數(shù)Fn(ξ,c1,…,cn)精度最高.Er最小時的參考速度即為我們要求取的優(yōu)化參考速度.

(B1)

定義目標(biāo)函數(shù)

(B2)

其中θ1和θ2是所選擇的角度范圍，通常選取θ1=0°，θ2=90°.目標(biāo)函數(shù)Ir表示的是在一定角度范圍內(nèi)對誤差Er的最小平方約束.目標(biāo)函數(shù)越小，則F2與R越接近，此時AWWE的成像精度越高.

通過求取目標(biāo)函數(shù)Ir的最小值，得到參考速度的值.同樣以兩個參考速度的情況為例，在最小平方意義下由方程(B2)可得

(B3)

(B4)

(B5)

(B6)

(B7)

(B8)

(B9)

(B10)

把(B1)式代入到(B6)式至(B10)式中，再根據(jù)(B5)式就可以得到每一次的參考速度更正值.

當(dāng)參考速度的更正值小于給定的值(本文選取10-6)時，則終止迭代，并輸出此時的參考速度.輸出的參考速度可以使AWWE的精度在所選擇的角度范圍內(nèi)達(dá)到全局最優(yōu).也就是我們要求的優(yōu)化參考速度.

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(本文編輯 胡素芳)

VSP migration based on high angle one-way wave equation in time-space domain and its applications

FAN Ting-En1,2， HUANG Xu-Ri1， MA Shu-Fang2*

1SouthwestPetroleumUniversity,Chengdu610500,China2CNOOCResearchInstitute,Beijing100028,China

Migration is a key step in VSP data processing, VSP imaging commonly uses VSP-CDP conversion or Kirchhoff migration which has issues of poor amplitude conservation and low imaging precision, while wave equation prestack depth migration is an effective method to image complex structures.Arbitrarily wide-angle wave equation (AWWE) is a space domain one-way wave equation (OWWE) with a high accuracy and easy numerical implementation because of only including two-order partial derivative term.Compared with other OWWEs, AWWE is capable of imaging steeper dips, which enables it to be one of powerful migration tools. In this paper, we extended AWWE to VSP imaging and realized VSP migration based on high angle one-way wave equation in time-space domain. And the perfectly matched layer (PML) absorbing boundary condition was derived to provide a good approach to suppress artifacts arising at truncation boundaries at a price of limited additional computation cost. Meanwhile, we optimized reference velocities using nonlinear algorithm to enhance the approximation degree of square root operator and improved imaging precision of high-dip layers. Model tests proved the effectivity of the method and showed that it can obtain good imaging result in the case of steep-dip structures. The method was also applied to field VSP data, the comparison of VSP migration result and surface seismic section showed that VSP migration provides a higher resolution image.

Arbitrarily wide-angle wave equation； VSP migration； Perfectly matched layer

10.6038/cjg20160928.

國家科技重大專項(2011ZX05024)資助.

范廷恩，男，1972年生，高級工程師，主要從事地震反演、地震屬性分析及油藏精細(xì)描述等方面的研究. E-mail:fante@cnooc.com.cn*通訊作者 馬淑芳，女，1984年生，博士，主要從事井中地震及井地聯(lián)合高分辨率處理等方面的研究. E-mail:mashf2@cnooc.com.cn

10.6038/cjg20160928

P631

2016-04-12，2016-07-06收修定稿

范廷恩， 黃旭日， 馬淑芳. 2016. VSP時空域高角度單程波方程偏移及其應(yīng)用研究. 地球物理學(xué)報，59(9):3459-3469,

Fan T E， Huang X R， Ma S F. 2016. VSP migration based on high angle one-way wave equation in time-space domain and its applications.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(9):3459-3469,doi:10.6038/cjg20160928.