鞏祥瑞， 呂震宙， 左健巍

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安　710072

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兩種基于方差的全局靈敏度分析W指標(biāo)改進(jìn)算法

鞏祥瑞， 呂震宙*， 左健巍

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安710072

在全局靈敏度分析(SA)中，基于方差的靈敏度分析指標(biāo)(包括Sobol指標(biāo)和W指標(biāo))應(yīng)用廣泛。其中Sobol指標(biāo)是將輸入隨機(jī)變量固定于特定點(diǎn)時(shí)，求得其對輸出響應(yīng)量的平均影響；而W指標(biāo)求解當(dāng)輸入隨機(jī)變量在各自分布區(qū)間上縮減變化時(shí)，輸入變量對輸出響應(yīng)量的影響程度。相比Sobol指標(biāo)，W指標(biāo)所反映的信息更加全面。但目前對W指標(biāo)的求解方法還比較欠缺，雙層重復(fù)抽樣蒙特卡羅(DLRS MC)方法和雙層一次抽樣蒙特卡羅(DLSS MC)方法是兩種傳統(tǒng)的求解方法。針對W指標(biāo)的求解問題，提出了兩種新算法：改進(jìn)的蒙特卡羅模擬(AMCS)和基于稀疏網(wǎng)格積分(SGI)的方法。AMCS只需抽取一組樣本便可計(jì)算出所有變量的各階W指標(biāo)，由于該方法是通過篩選策略來計(jì)算條件區(qū)間上的方差，避免了DLSS MC法中由于小數(shù)取整帶來的計(jì)數(shù)誤差，從而提高了計(jì)算W指標(biāo)的精度?；赟GI的方法則利用稀疏網(wǎng)格積分來計(jì)算三重矩進(jìn)而得到W指標(biāo)，由于該方法繼承了稀疏網(wǎng)格積分的高效性，因而進(jìn)一步提高了W指標(biāo)的計(jì)算效率。最后，給出了兩個(gè)數(shù)值算例和一個(gè)工程算例，用于驗(yàn)證所提方法求解W指標(biāo)的準(zhǔn)確性和高效性。

全局靈敏度分析； Sobol指標(biāo)； W指標(biāo)； 改進(jìn)的蒙特卡羅模擬法； 稀疏網(wǎng)格積分法

靈敏度分析(SA)主要研究結(jié)構(gòu)輸入隨機(jī)變量對輸出響應(yīng)量的影響程度，它可分為局部靈敏度(Local SA)和全局靈敏度(Global SA)。局部靈敏度為輸入隨機(jī)變量分布參數(shù)在名義值處對輸出響應(yīng)的影響程度[1-3]，它不能全面反映輸入變量的不確定性是如何影響輸出響應(yīng)特征的[4]；全局靈敏度則比較全面地反映了這些信息[5]。近些年，已經(jīng)提出了許多全局靈敏度分析方法。Helton[6-7]和Saltelli[8]等提出了非參數(shù)方法，Chun[9]、Liu[10]和Borgonovo[11]等分別提出了基于矩獨(dú)立的方法，Cui[12]和Li[13]等提出了基于失效概率的方法，Sobol[14]和Saltelli[15-17]等提出了基于方差的全局靈敏度指標(biāo)。其中基于方差的全局靈敏度指標(biāo)因其能簡單有效地反映輸入變量對輸出響應(yīng)量的影響而得到了廣泛應(yīng)用。

一般地，基于方差的全局靈敏度指標(biāo)分為Sobol指標(biāo)和W指標(biāo)。Sobol指標(biāo)基本思想是固定某一或多個(gè)輸入變量在特定點(diǎn)，求得輸入變量按其分布規(guī)律取特定點(diǎn)時(shí)，對輸出響應(yīng)量的平均影響[16-18]。但在實(shí)際應(yīng)用中，一般不可能將輸入變量固定于特定點(diǎn)，而將輸入變量縮減到某一個(gè)區(qū)間上則是可行的。為此，Wei等[19]提出了一種新的基于方差的全局靈敏度分析W指標(biāo)，該指標(biāo)在已有指標(biāo)基礎(chǔ)上，將固定點(diǎn)擴(kuò)展到區(qū)間。通過物理解釋、幾何圖形和數(shù)學(xué)論證，Wei等指出Sobol指標(biāo)僅反映了輸入變量對輸出響應(yīng)量影響的邊緣信息，而W指標(biāo)則能獲得輸入變量在整個(gè)分布區(qū)域的各種可能的區(qū)間中變化時(shí)，對輸出響應(yīng)量的平均影響[20]。

當(dāng)輸入變量由固定點(diǎn)擴(kuò)展到區(qū)間時(shí)，所有用于計(jì)算Sobol指標(biāo)的傳統(tǒng)方法將不再適用，必須研究新的算法。Wei等[19]提出了3種方法來計(jì)算W指標(biāo)：雙層重復(fù)抽樣蒙特卡羅(DLRS MC)方法，雙層一次抽樣蒙特卡羅(DLSS MC)方法和態(tài)相關(guān)參數(shù)(SDP)法[21]。為獲取滿足精度要求的結(jié)果，3種方法都必須抽取大量樣本點(diǎn)，因此計(jì)算量很大，效率較低。針對此問題，本文提出了兩種改進(jìn)算法：改進(jìn)的蒙特卡羅模擬(AMCS)方法和基于稀疏網(wǎng)格積分(SGI)的方法[22]。AMCS方法只需抽取一組樣本點(diǎn)，在計(jì)算條件方差時(shí)采用篩選法，避免了DLSS MC方法中可能產(chǎn)生小數(shù)取整而導(dǎo)致計(jì)數(shù)誤差的問題，因此其計(jì)算精度高于DLSS MC方法?；谙∈杈W(wǎng)格積分的方法則充分利用了該積分法的高效性，通過采用稀疏網(wǎng)格積分分別來求解不同給定條件下嵌套的三重統(tǒng)計(jì)矩來計(jì)算W指標(biāo)，可以在一定程度上提高W指標(biāo)的計(jì)算效率。

論文在綜述了W指標(biāo)的定義及物理意義之后，給出了兩種新的求解方法的基本思路及實(shí)現(xiàn)步驟，最后用算例驗(yàn)證了所提方法的效率與精度。

1　W指標(biāo)的定義及解釋

W指標(biāo)是一種基于方差的全局靈敏度指標(biāo)，它反映了輸入變量在所有可能取值區(qū)間內(nèi)取值時(shí)對輸出性能的平均方差貢獻(xiàn)，與基于方差的Sobol指標(biāo)相比，W指標(biāo)能夠更加全面地反映輸入變量對輸出性能變異性的貢獻(xiàn)。本文的工作旨在建立W指標(biāo)的高效求解方法，為方便起見，先簡要給出W指標(biāo)的定義及物理意義。

(1)

式中：fXi(·)為Xi的邊緣概率密度函數(shù)。

當(dāng)輸入變量Xi遍歷所有可能取值區(qū)間時(shí)，它對輸出響應(yīng)方差V(Y)的平均影響可以由式(2)所定義的Wi主指標(biāo)表達(dá)[19]。

(2)

當(dāng)除Xi外的所有輸入變量X～i分布范圍縮減到區(qū)間U～i時(shí)，按照類似的方法可以得到輸入變量Xi的W總指標(biāo)為

(3)

W指標(biāo)反映了一個(gè)(或一組)輸入變量對輸出響應(yīng)量方差的貢獻(xiàn)程度。W主指標(biāo)反映了當(dāng)單個(gè)輸入變量在其所有可能的分布區(qū)間上變化時(shí)，輸出響應(yīng)量方差的平均減少量。因此，W主指標(biāo)越大，輸出響應(yīng)量方差的減少量也越大。W總指標(biāo)反映了除給定輸入變量以外的其他變量在各自區(qū)間上變化時(shí)，輸出響應(yīng)量方差的平均剩余量。某一輸入變量的W總指標(biāo)趨近于零時(shí)，說明該輸入變量的區(qū)間改變不會(huì)引起輸出響應(yīng)量方差的變化。

由定義可以看到，在計(jì)算W指標(biāo)時(shí)，主要任務(wù)是求得輸入變量在固定區(qū)間上的條件方差，下面就圍繞W指標(biāo)的求解建立AMCS方法和基于稀疏網(wǎng)格積分的方法。

2　計(jì)算W指標(biāo)的改進(jìn)算法

設(shè)n維輸入變量X的樣本數(shù)為N1，某一維輸入變量變化區(qū)間的樣本數(shù)為N2。文獻(xiàn)[19]中給出的DLRSMC方法的計(jì)算次數(shù)為2×n×N1×N2，為了獲得較精確的解，抽樣數(shù)一般都比較大；DLSSMC方法的計(jì)算次數(shù)為N1，相比于DLRSMC方法，計(jì)算量會(huì)有所減少,但存在較大誤差。

本文將給出兩種求解W指標(biāo)的新算法：① 針對DLSSMC方法中有可能出現(xiàn)的樣本計(jì)數(shù)誤差，提出了基于樣本篩選的AMCS方法，該方法通過篩選出給定約束區(qū)間的樣本來計(jì)算條件方差，準(zhǔn)確得到約束區(qū)間的條件樣本，在計(jì)算量與DLSSMC方法相同的條件下得到了更為精確的條件方差及最終的W指標(biāo)計(jì)算結(jié)果；② 利用稀疏網(wǎng)格積分的高效性來求解W指標(biāo)，建立基于稀疏網(wǎng)格積分的W指標(biāo)求解方法。兩種方法的具體實(shí)現(xiàn)過程如下所述。

2.1AMCS方法

1) 根據(jù)輸入變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)fX(x)產(chǎn)生的樣本A(維數(shù)為N1×n)為

(4)

2) 根據(jù)給定分位數(shù)qi(1)和qi(2)的分布特性，可先產(chǎn)生qi(1)和qi(2)的樣本矩陣Qi(維數(shù)為N2×2)為

(5)

由分位數(shù)樣本矩陣就能得到Xi的固定區(qū)間矩陣Ui(維數(shù)為N2×2)為

(6)

條件方差的計(jì)算表達(dá)式為

(7)

當(dāng)k=N2時(shí)，停止計(jì)算，并得到W主指標(biāo)的估計(jì)值為

(8)

以上所述AMCS方法可以很容易擴(kuò)展到W總指標(biāo)的計(jì)算。此方法總的輸出響應(yīng)計(jì)算次數(shù)為N1。該方法避免了采用DLSSMC方法時(shí)取整造成樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)誤差，從而使計(jì)算精度有所提高。

2.2基于稀疏網(wǎng)格積分的方法

稀疏網(wǎng)格積分方法的基本思想是以Smolyak準(zhǔn)則為基礎(chǔ)，通過采用合適的一維求積公式的張量積組合來構(gòu)建多維求積公式，可以避免維數(shù)災(zāi)難。求解W指標(biāo)的過程可以看做是求矩的三重嵌套積分。以下給出該方法的具體求解過程：

1) 產(chǎn)生Xi的固定區(qū)間列陣Ui。

③ 由qi(1)和qi(2)的稀疏網(wǎng)格積分節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生輸入變量Xi的固定區(qū)間Ui。

(9)

2) 計(jì)算輸出響應(yīng)量方差V(Y)。

用稀疏網(wǎng)格積分法按概率密度函數(shù)fX(x)抽取X的樣本點(diǎn)(維數(shù)為Nk×n)和每一個(gè)樣本節(jié)點(diǎn)xi對應(yīng)的權(quán)重wi(i=1,2,…,Nk)，可得輸出響應(yīng)量方差V(Y)為

(10)

(11)

式中：g(xi)為樣本節(jié)點(diǎn)xi對應(yīng)的輸出響應(yīng)量。

3) 當(dāng)輸入變量Xi固定于某一區(qū)間時(shí)計(jì)算輸出響應(yīng)量的條件方差。

(12)

3　算　例

3.1數(shù)值算例1

考慮某結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，功能函數(shù)為g(X)=exp(0.2X1+1.4)-X2+3X3輸入變量相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Xi～N(0,1)(i=1,2,3)。

采用SGI、AMCS、DLSSMC和DLRSMC方法求得W指標(biāo)如表1所示。表中也給出了每種方法計(jì)算功能函數(shù)的總次數(shù)。DLRSMC方法作為對比參照解，由表1可知SGI和AMCS方法的計(jì)算結(jié)果與DLRSMC方法計(jì)算結(jié)果接近。圖1 為4種方法計(jì)算結(jié)果隨抽樣數(shù)變化的數(shù)值收斂曲線圖。在保證計(jì)算所得數(shù)據(jù)均收斂條件下，SGI和AMCS方法計(jì)算量都小于DLRSMC方法，其中AMCS方法相比DLSSMC方法精度有所提高，SGI方法在保證精度要求的前提下，計(jì)算效率得到很大提高。

由表1可知，4種方法計(jì)算W主指標(biāo)的重要性排序結(jié)果相同，均為X3>X2>X1。這說明當(dāng)固定3個(gè)變量在它們各自的分布區(qū)間時(shí)，X3對輸出響應(yīng)方差的平均減少量貢獻(xiàn)最大。X1和X2的W主指標(biāo)較小，這說明X1和X2在它們各自的分布區(qū)間縮減變化，對輸出響應(yīng)量方差的平均影響程度不大。4種方法計(jì)算W總指標(biāo)排序?yàn)閄3>X2>X1，這表明當(dāng)固定除X3外，其他所有變量時(shí)，X3對輸出量的方差影響最顯著。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注X3對結(jié)構(gòu)輸出造成的影響。

表1　數(shù)值算例1基于方差全局靈敏度分析W指標(biāo)

圖1　分別應(yīng)用SGI、AMCS、DLSS MC、DLRS MC計(jì)算數(shù)值算例1各輸入變量的W主指標(biāo)和W總指標(biāo)隨抽樣數(shù)變化的數(shù)值收斂圖Fig.1　Schematic comparison of convergence rate of W-indices of numerical Example 1 estimated by SGI, AMCS, DLSS MC and DLRS MC procedure with respect to sample size

3.2數(shù)值算例2

采用SGI、AMCS、DLSSMC和DLRSMC方法求得的W指標(biāo)如表2所示。從表中計(jì)算結(jié)果可以看出，由4種方法計(jì)算所得變量的W指標(biāo)排序都相同，均為X2>X3>X1>X4。X2的W主指標(biāo)和W總指標(biāo)均為最大，這表明X2對輸出量方差的影響程度最大。而X1、X4的W主指標(biāo)數(shù)值接近于零，W總指標(biāo)也很小，這表明當(dāng)固定X1和X4在它們各自的減縮區(qū)間時(shí)，對輸出量方差的影響程度很小。

圖2為4種方法計(jì)算W指標(biāo)的數(shù)值收斂圖。根據(jù)圖2中各數(shù)值收斂曲線走勢，得到每種方法計(jì)算W指標(biāo)的結(jié)果和計(jì)算次數(shù)列于表2中。由表2可知，SGI方法和AMCS方法所得計(jì)算結(jié)果相比于DLRSMC方法，誤差較小，滿足精度要求；同時(shí)SGI、AMCS、DLSSMC和DLRSMC的計(jì)算次數(shù)依次為1 161、1.0×104、1.0×104和8×106。可見SGI和AMCS方法相比于DLRSMC方法計(jì)算量減少很多，特別是SGI方法計(jì)算效率提高顯著。

表2　數(shù)值算例2基于方差全局靈敏度分析W指標(biāo)

圖2　分別應(yīng)用SGI、AMCS、DLSS MC、DLRS MC計(jì)算數(shù)值算例2各輸入變量的W主指標(biāo)和W總指標(biāo)隨抽樣數(shù)變化的數(shù)值收斂圖Fig.2　Schematic comparison of convergence rate of W-indices of numerical Example 2 estimated by SGI, AMCS, DLSS MC and DLRS MC procedure with respect to sample size

3.3工程算例

圖3為一個(gè)屋架結(jié)構(gòu)，屋架上的弦桿和其他壓桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其他拉桿采用鋼桿。設(shè)屋架承受均布載荷q作用，將均布載荷q化成節(jié)點(diǎn)載荷后有P=ql/4。結(jié)構(gòu)力學(xué)分析可得，C點(diǎn)沿垂直地面方向的位移為

圖3　屋架結(jié)構(gòu)簡單示意圖Fig.3　Sketch map of a roof truss

式中：Ac、Ec、As、Es和l分別為混凝土和鋼桿的橫截面積、彈性模量和長度。假設(shè)所有隨機(jī)變量均服從獨(dú)立的正態(tài)分布，它們的分布參數(shù)如表3所示。

采用SGI、AMCS、DLSS MC和DLRS MC這4種方法計(jì)算W指標(biāo)如表4所示。根據(jù)圖4所示的各種算法數(shù)據(jù)收斂曲線圖，在表4中給出了4種算法的計(jì)算結(jié)果和調(diào)用功能函數(shù)總次數(shù)，其中DLRS MC作為對比參照解，它的計(jì)算次數(shù)最大為1.2×107。 DLSS MC的計(jì)算次數(shù)為5×104，但該方法計(jì)算W總指標(biāo)的誤差較大，故未列出。原因是在計(jì)算W總指標(biāo)時(shí)，條件方差的計(jì)算需要在內(nèi)層進(jìn)行，當(dāng)輸入變量的固定區(qū)間很小時(shí)，用于計(jì)算條件方差的抽樣點(diǎn)就會(huì)特別少，而該方法又會(huì)在獲取抽樣點(diǎn)時(shí)由于小數(shù)取整舍棄一些抽樣點(diǎn)，這都會(huì)增加條件方差的計(jì)算誤差，從而使計(jì)算所得W總指標(biāo)不準(zhǔn)確，因此DLSS MC不適用于計(jì)算高階W指標(biāo)。AMCS方法很好地克服了DLSS MC方法的缺點(diǎn)，在計(jì)算量相同的條件下，進(jìn)一步提高了W指標(biāo)的計(jì)算精度。SGI方法的計(jì)算次數(shù)僅為4 165，同其他3種方法相比，在滿足精度要求的前提下，計(jì)算效率得到了很大提高。

表3屋架結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量的分布參數(shù)

Table 3Distribution parameters of random variables of roof truss

VariableDistributionMeanVariationcoefficientq/(N·m-1)Normal200000．07l/mNormal120．01As/m2Normal9．82×10-40．06Ac/m2Normal0．040．12Es/(N·m-2)Normal2．0×10110．06Ec/(N·m-2)Normal3．0×10100．06

由表4中數(shù)據(jù)可以看出，各變量的W主指標(biāo)和W總指標(biāo)重要性排序相同：q>Ac>Es>As>l>Ec。表明當(dāng)各變量區(qū)間縮減時(shí)，q對結(jié)構(gòu)輸出的方差減少量貢獻(xiàn)最大,Ec對結(jié)構(gòu)輸出的方差減少量貢獻(xiàn)最少。因此在實(shí)際工程應(yīng)用中，對該屋架結(jié)構(gòu)，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注屋架所承受均布載荷q的大小，混凝土的橫截面積Ac對屋架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響也較大，而混凝土的彈性模量Ec對其影響較小，可簡化處理。

表4　工程算例基于方差全局靈敏度分析W指標(biāo)

圖4　分別應(yīng)用SGI、AMCS、DLSS MC、DLRS MC計(jì)算工程算例各輸入變量的W主指標(biāo)和W總指標(biāo)隨抽樣數(shù)變化的數(shù)值收斂圖Fig.4　Schematic comparison of convergence rate of W-indices of engineering example estimated by SGI, AMCS, DLSS MC and DLRS MC procedure with respect to sample size

4　結(jié)　論

1) AMCS方法采用樣本篩選策略來計(jì)算條件方差，避免了DLSS MC方法中由于小數(shù)取整造成的計(jì)數(shù)誤差。

2) 在計(jì)算量相同的情況下，AMCS方法的精度高于DLSS MC方法的。

3) SGI方法采用數(shù)值積分來求解W指標(biāo)中的三重統(tǒng)計(jì)矩，可以直接應(yīng)用于求解一般維數(shù)不高的工程問題中，提高計(jì)算效率；但由于該方法未能完全克服輸入變量維數(shù)的影響，因此對于大型高維復(fù)雜工程問題，SGI方法計(jì)算量可能會(huì)超過DLSS MC方法和AMCS方法。

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鞏祥瑞男， 碩士研究生。主要研究方向： 飛行器設(shè)計(jì)及可靠性工程。

Tel: 029-88460480

E-mail: gxrui1991@163.com

呂震宙女， 博士， 教授， 博士生導(dǎo)師。主要研究方向： 飛行器設(shè)計(jì)及可靠性工程。

Tel: 029-88460480

E-mail: zhenzhoulu@nwpu.edu.cn

左健巍男， 碩士研究生。主要研究方向： 飛行器設(shè)計(jì)及可靠性工程。

Tel: 029-88460480

E-mail: jianweizuo@mail.nwpu.edu.cn

Two improved methods for variance-based global sensitivityanalysis’ W-indices

GONG Xiangrui, LYU Zhenzhou*, ZUO Jianwei

School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an710072, China

In the global sensitivity analysis (SA), the variance-based sensitivity indices, such as Sobol’s indices and W-indices, are used widely. Sobol’s indices estimate the average variation of model output when input variables are fixed in their points. W-indices measure the average reduction of model output if input variables are reduced in their distributions. Compared with Sobol’s indices, W-indices include more information. The double loop repeated set Monte Carlo (DLRS MC) and double loop single set Monte Carlo (DLSS MC) are two traditional methods, but these available methods for solving W-indices are still defective. In order to calculate W-indices efficiently, two new methods are presented. They are advanced Monte Carlo simulation (AMCS) and sparse grid integration (SGI)-based method. The AMCS only needs one set of samples to estimate all W-indices. Since screening method is used to estimate the variance in the conditional interval, and the count error induced by taking an integer in DLSS MC can be avoided, the accuracy of AMCS is higher than that of DLSS MC. The SGI-based method estimates W-indices by evaluating threefold statistic moment by SGI, in which the efficiency of the SGI is inherited. Finally, two numerical examples and an engineering example are employed to demonstrate the reasonability and efficiency of the presented methods.

global sensitivity analysis; Sobol’s indices; W-indices; advanced Monte Carlo simulation method; sparse grid integration

2015-04-10； Revised： 2016-01-05； Accepted： 2016-03-22； Published online： 2016-03-2516:07

s： National Natural Science Foundation of China (51475370)； Fundamental Research Funds for the Central University (3102015BJ(II)CG009)

. Tel.： 029-88460480E-mail: zhenzhoulu@nwpu.edu.cn

2015-04-10； 退修日期： 2016-01-05； 錄用日期： 2016-03-22；

時(shí)間： 2016-03-2516:07

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160325.1607.002.html

國家自然科學(xué)基金 (51475370)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金 (3102015BJ(II)CG009)

.Tel.： 029-88460480E-mail: zhenzhoulu@nwpu.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0090

V215.7; TB114.3

A

1000-6893(2016)06-1888-11

引用格式： 鞏祥瑞， 呂震宙， 左健?。?兩種基于方差的全局靈敏度分析W指標(biāo)改進(jìn)算法[J]． 航空學(xué)報(bào), 2016, 37(6): 1888-1898. GONG X R, LYU Z Z, ZUO J W. Two improved methods for variance-based global sensitivity analysis’ W-indices[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(6): 1888-1898.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160325.1607.002.html