◇　江蘇　蔣麗麗

(作者單位：江蘇省張家港市樂余高級中學(xué))

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例談導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的轉(zhuǎn)化策略

◇江蘇蔣麗麗

證明不等式或解不等式恒成立問題是函數(shù)綜合問題的常考題型,解題方法主要是構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值．但若根據(jù)所給的函數(shù)直接構(gòu)造,常使函數(shù)單調(diào)性的求解陷入困境．這就需要我們在求導(dǎo)前對函數(shù)進行等價轉(zhuǎn)化．下面引例1說明．

(1) 當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

1　分離參數(shù)

第(1)問求解中若由f(x)=aex-x-1>0直接求fmin(x)的最小值,則需要對a進行分類討論,過程煩瑣．對于含參不等式恒成立問題的求解,可根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征考慮將參數(shù)分離出來,進而可將函數(shù)具體化．注意參數(shù)分離的過程要具有等價性．

另外對于某些復(fù)雜的含參問題,若參數(shù)不能單獨分離出來,可考慮將含參式整體分離.

f′(x)=[-ax2+(2a2-2)x+2a]eax,

2　分離函數(shù)

當(dāng)x≥1時,ex-1/ex>0,x2-1≥0.又a>0,故g′(x)>0,所以g(x)是[1,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.

此時無法直接比較ea-1與ae-1的大小,可對2式同時取自然對數(shù),即比較a-1與(e-1)lna的大小,因此可構(gòu)造以a為主元的函數(shù)．

當(dāng)a=e時,ea-1=ae-1;當(dāng)a∈(e,+∞)?(e-1,+∞)時,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)lna,故ea-1>ae-1.

3　二次求導(dǎo)

針對導(dǎo)函數(shù)的符號不易判斷的情況,可再次構(gòu)造函數(shù),即設(shè)導(dǎo)函數(shù)為新的函數(shù),或取導(dǎo)函數(shù)的局部(決定導(dǎo)數(shù)正、負符號的部分)來構(gòu)造新函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題,進而利用二次求導(dǎo)來證明該導(dǎo)函數(shù)在定義域上恒正或恒負,求出導(dǎo)函數(shù)的最值,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號后得到原函數(shù)的單調(diào)性．

續(xù)解:求導(dǎo)得

此時導(dǎo)函數(shù)的零點仍不可求,須繼續(xù)尋找突破策略．

設(shè)t(x)=ex-x-1,則t′(x)=ex-1.令t′(x)=0,得x=0.所以t(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;在(0,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)x=0時,tmin(x)=f(0)=0.

總之,在運用常規(guī)思路對上述問題求解中,要善于挖掘題目隱含條件,將原不等式進行等價變形,這是化簡運算的一種有效途徑．因此平時學(xué)習(xí)中要對所遇到的問題加以整理概括,才能不斷提高我們分析問題與解決問題的能力．

(作者單位：江蘇省張家港市樂余高級中學(xué))