常 秀 芳

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037003)

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關(guān)于不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解及其性質(zhì)的研究

常 秀 芳

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037003)

目的探求不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)正整數(shù)解的形式及該方程解所具有的性質(zhì)。方法由于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)為三元不定方程，因此方程的解可以看成是三維空間的坐標(biāo)(a,b,c)。又因?yàn)樵摲匠瘫旧砭哂袑?duì)稱(chēng)性等特性，所以方程必有零解和直線(xiàn)解。為進(jìn)一步研究解的特征，給出方程的同族解、相鄰解、奇異解與非奇異解、互質(zhì)解等概念。在同族解中，已知其中的一組解，其余5組解便知。方程的正整數(shù)解即為非奇異解，是三維空間在第一卦限內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)這些概念進(jìn)行剖析探究可得到方程解的形式與結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)涵的特性。結(jié)果通過(guò)對(duì)同族解、相鄰解、奇異解與非奇異解、互質(zhì)解等概念的研究，得出方程的最簡(jiǎn)單的解和互質(zhì)解譜圖的重要結(jié)果。又從最簡(jiǎn)單的解和互質(zhì)解譜圖可推導(dǎo)出方程一系列解的性質(zhì)。結(jié)論方程可由最簡(jiǎn)單的解(4,1,1)和互質(zhì)解譜圖求出方程全部解的結(jié)果。

相鄰解;奇異解;互質(zhì)解;解譜圖

關(guān)于方程[1-3]

x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)

(1)

的任何一組正數(shù)解：x=a,y=b,z=c，都可以看成是三維空間的一點(diǎn)的坐標(biāo)(a,b,c)。由于方程的左端總是非負(fù)的，因此可知方程的解除零解外，a、b、c必同時(shí)為正，或同時(shí)為負(fù)。只要把(a,b,c)寫(xiě)成(|a|,|b|,|c|)即同為正，所以下面只研究正數(shù)解的情形。若(a,b,c)是方程的解，由方程的對(duì)稱(chēng)性知，方程必定存在(a,c,b)、(b,a,c)、(b,c,a)、(c,a,b)、(c,b,a)的5組解，這6組解實(shí)際是三維坐標(biāo)a,b,c的不同的排列，只與坐標(biāo)值有關(guān)，而與其次序無(wú)關(guān)，這6組解不妨稱(chēng)為同族解。在同族解中，已知其中的1組解，其余5組解便知。規(guī)定方程的解指的是同族解中的1組解，同族解當(dāng)中另外5組解不作研究。

1　關(guān)于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解的概念

1.1相鄰解

如果(a,b,c)是方程(1)的一組正數(shù)解，則a必為方程

φa(x)=x2-2(b+c)x+(b-c)2=0

(2)

的一個(gè)正數(shù)根，且一定存在另一個(gè)根a′，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知

a+a′=2(b+c)aa′=(b-c)2

若a′>0，(a′,b,c)也是方程(1)的一組正數(shù)解。規(guī)定這一數(shù)組(a′，b,c)稱(chēng)為方程(1)的解(a,b,c)的a的相鄰解，即(a,b,c)與(a′,b,c)互為相鄰解。

同理，方程(1)的一組正數(shù)解(a,b,c)中，b也有相鄰解(a,b′,c)。同樣c也有相鄰解為(a,b,c′)。

結(jié)論：如果已知方程(1)的一組正數(shù)解，則方程(1)必有3組相鄰的正解。

1.2零解

因?yàn)閤=0,y=0,z=0滿(mǎn)足方程(1)，所以方程(1)必有一組解(0,0,0)，稱(chēng)該組解為方程的零解。

1.3奇異解

由于所關(guān)注的是方程(1)的正整數(shù)解，而方程(1)的任一組正整數(shù)解(a,b,c)都是三維空間在第一卦限內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)。因此，如果方程(1)的解至少有1個(gè)坐標(biāo)值為零，就不予考慮，應(yīng)把它剔除掉。所以，規(guī)定在方程(1)的解(a,b,c)的相鄰解當(dāng)中，只要有1個(gè)坐標(biāo)值分量為零，則稱(chēng)解(a,b,c)為方程(1)的奇異解，否則稱(chēng)為非奇異解。顯然，零解是方程(1)的奇異解，方程(1)的正整數(shù)解即為非奇異解。

在方程(1)的解(a,b,c)當(dāng)中，若有2個(gè)坐標(biāo)值相等，不妨設(shè)b=c，可得一解(4,1,1)，稱(chēng)(4,1,1)為方程最簡(jiǎn)單的解。將之代入(2)式可得關(guān)于4的相鄰解(0,1,1)，顯然(4,1,1)是奇異解。

1.4直線(xiàn)解

直線(xiàn)x=y=z上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程(1)的解，即方程(1)有無(wú)限多組正整數(shù)解，稱(chēng)為方程的直線(xiàn)解。

1.5互質(zhì)解

在方程(1)的解(a,b,c)當(dāng)中，若3個(gè)坐標(biāo)兩兩互質(zhì)，則稱(chēng)該組解為互質(zhì)解。

2　關(guān)于方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)解的性質(zhì)

性質(zhì)1如果方程(1)有1組解(a,b,c)，則(ka,kb,kc)也是方程(1)的解[4，5]。

性質(zhì)2在方程(1)的解中，如果有2個(gè)坐標(biāo)分量值相等，則必得奇異解，而且奇異解只有1個(gè)相鄰解。

特別地，非奇異解(a,b,c)有3個(gè)相鄰解(a′,b,c)、(a,b′,c)、(a,b,c′)，其中a′、b′、c′可由下式求得

不妨b=c，可得(4b,b,b)，由性質(zhì)1得奇異解(4,1,1)，又由

42+y2+12=2(4y+y+4)

得奇異解(4,1,1)的1個(gè)相鄰解(4,9,1)。該相鄰解(4,9,1)除去(4,1,1)外，還有(16,9,1)、(4,9,25)的2個(gè)相鄰解。

性質(zhì)3在方程(1)的解(a,b,c)中，如果3個(gè)坐標(biāo)值最大公因子為1，則解的3個(gè)坐標(biāo)值必為兩兩互質(zhì)。

如果a與b有1個(gè)大于1的公因子d，則d也必是c的因子，這與a、b、c的最大公因子為1相矛盾。故a、b、c兩兩互質(zhì)。

性質(zhì)4互質(zhì)解的相鄰解也是互質(zhì)解。

若(a,b,c)是互質(zhì)解，在它的3個(gè)相鄰解(a′,b,c)、(a,b′,c)、(a,b,c′)中，不妨設(shè)(a′,b,c)不是互質(zhì)解，則a′與b，或a′與c必有1個(gè)大于1的公因子d，兩者必居其一。不妨設(shè)a′與b有公因子d>1，則a′=nd、b=md。由韋達(dá)定理知aa′=(b-c)2，即aa′=and=(b-c)2=(md-c)2=m2d2-2mdc+c2，所以d|c2。從而b與c有1個(gè)大于1的公因子d，而與(a,b,c)互質(zhì)產(chǎn)生矛盾，故(a′,b,c)是互質(zhì)解。

性質(zhì)5在方程(1)的互質(zhì)解(a,b,c)當(dāng)中，a、b、c 3個(gè)量必兩奇一偶。

性質(zhì)6在方程(1)的互質(zhì)解(a,b,c)中，a,b,c均為平方數(shù)。

由下面方程

可得

因?yàn)?a,b,c)是方程的互質(zhì)解，那么3個(gè)坐標(biāo)分量a、b、c必然是兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，所以a、b、c必然都是平方數(shù)。

性質(zhì)7在方程(1)的非奇異解(a,b,c)的3個(gè)相鄰解中，只有1個(gè)解的最大坐標(biāo)比原來(lái)的小，另2個(gè)具有較大的最大坐標(biāo)。

證明：假如a>b>c,設(shè)φa(x)=x2-2(b+c)x+(b-c)2=0的2個(gè)根為a和a′。

由于

(b-a)(b-a′)=φa(x)=b2-2(b+c)b+(b-c)2=-c(4b-c)<0

所以b介于a與a′之間，則a>b>a′，故(a′,b,c)的最大坐標(biāo)小于(a,b,c)的最大坐標(biāo)。

同理，因

(a-b)(a-b′)=φb(a)=a2-2(a+c)a+(a-c)2=-c(4a-c)<0

可知，a位于b與b′之間，而a>b，那么b′>a，所以(a,b′,c)的最大坐標(biāo)就大于(a,b,c)的最大坐標(biāo)。對(duì)于(a,b,c′)的情況可同理推出。

性質(zhì)8方程(1)的任意1組互質(zhì)解都可由奇異解(4,1,1)推得，即方程(1)的任何互質(zhì)解都與奇異解(4,1,1)存在必然的聯(lián)系。

假設(shè)(a,b,c)是方程(1)的互質(zhì)解，由性質(zhì)4及性質(zhì)7可得，它必有互質(zhì)的相鄰解(a1,b1,c1)，而且具有較小的最大坐標(biāo)值。若這個(gè)解是非奇異解，則它又能產(chǎn)生互質(zhì)的相鄰解(a2,b2,c2)，具有更較小的最大坐標(biāo)值。將這個(gè)過(guò)程繼續(xù)下去，在自然數(shù)范圍內(nèi)是不能形成從大到小無(wú)窮遞減的，因此在推導(dǎo)過(guò)程中，必在某個(gè)互質(zhì)解具有相同坐標(biāo)時(shí)停止，即該解為奇異解(4,1,1)。從而從奇異解(4,1,1)出發(fā)，就能逐步地并且無(wú)遺漏地得出方程(1)的全部互質(zhì)解來(lái)，再由性質(zhì)2得到方程(1)的全部解。

奇異解(4,1,1)的非奇異互質(zhì)解是(4,9,1)，而且(4,9,1)是所有非奇異互質(zhì)解中最小的。由非奇異互質(zhì)解(4,9,1)開(kāi)始，每2個(gè)坐標(biāo)不變，可得方程全部的互質(zhì)解，如圖1所示。

不妨稱(chēng)此圖為方程(1)的互質(zhì)解譜圖，解譜圖很容易進(jìn)行計(jì)算機(jī)運(yùn)算，并得到應(yīng)用與推廣。

性質(zhì)8在解譜圖的坐標(biāo)反復(fù)輪換的一系列相鄰解中，其坐標(biāo)平方根的序列里包含著菲波納契(Fibonacci)數(shù)列。

由性質(zhì)6知，解譜圖中的任意一組解的3個(gè)坐標(biāo)都是平方數(shù)，故解譜圖中的任一解可設(shè)為(a2,b2,c2)的形式，則a2是二次方程φa2(x)=x2-2(b2+c2)x+(b2-c2)2=0的一個(gè)根。設(shè)另一個(gè)根為a′2，有

圖1　方程的互質(zhì)解譜樹(shù)圖

設(shè)a2=(b-c)2，a′2=(b+c)2，其中a,a′，b,c>0，那么

同理，分別由方程

可推得

于是得其坐標(biāo)平方根序列為

c1=b1+c1=2b0+3c0a2=b1+c1=3b0+5c0

設(shè)F1=b0,F2=c0,F3=a1,F4=b1,F5=c1,F6=a2,F7=b2,F8=c2,…，故有遞推公式

當(dāng)b0=c0=1時(shí)，即F1=F2=1，則{Fn}就是菲波納契(Fibonacci)數(shù)列。

[1]華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京：高等教育出版社，1957：9-80.

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1986：21-49.

[3]李高，常秀芳.關(guān)于二階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程求解法的研究[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2010,26(06)：12-14,19.

[4]李高，李殊璇,常秀芳.二階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程可解的研究[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,29(02)：1-2.

[5]常秀芳，李高.Taylor冪級(jí)數(shù)直接展開(kāi)的新方法[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,29(05)：1-3.

[6]李高，常秀芳.二階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程及其衍生方程[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,27(05)：13-15.

[7]常秀芳，李映波,李高.關(guān)于一階矩陣的再認(rèn)識(shí)與詮釋[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào),2015,31(04)：9-11.

[責(zé)任編輯：關(guān)金玉英文編輯：劉彥哲]

Solution to Indefinite Equation x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)and Its Property

CHANG Xiu-fang

(School of Coal Engineering,Shanxi Datong University,Datong,Shanxi 037003,China)

ObjectiveTo explore forms of positive integer solutions of indefinite equation x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)and the properties of the solutions.MethodsThe solution to this triple indefinite equation x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)can be regarded as a three-dimensional space point coordinates(a,b,c).And the symmetry of the equation makes it certain that this equation has zero solution and linear solution.To facilitate the further study on the characteristics of the solution, the kin solution,adjacent solution,singular solution,nonsingular solution,and co-prime solution of equation are given.Then with a set of known kin solutions,the remaining five sets of solutions are known.The positive integer solutions of equations(the non singular solutions),are coordinates of point of three-dimensional space in the first diagram.Exploration of these concepts leads to the features contained in the structures and the forms of equations.ResultsBy analysis on the kin solution,adjacent solution,singular solution,nonsingular solution and co-prime solution of equation,the simplest solution of equation and co-prime solution spectra were concluded.And from the simplest solution and co-prime solution spectra,the properties of a series of the solutions to the equation were deduced.ConclusionFrom the simplest solution(4,1,1)and co-prime solution spectra,all solutions to the equation can be deduced.

adjacent solution;singular solution;co-prime solution;solution spectra

常秀芳(1965-)，女,山西應(yīng)縣人,副教授,研究方向：大學(xué)工科數(shù)學(xué)教育教學(xué)與研究。

O 156.4

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.09.002