黃家勇，張紅梅，陳志高，朱世芳

（1.武漢大學　測繪學院，湖北　武漢　430079；2.武漢大學　動機學院，湖北　武漢　430072）

流場構建中徑向基函數(shù)節(jié)點選取方法研究

黃家勇1，張紅梅2，陳志高1，朱世芳1

（1.武漢大學測繪學院，湖北武漢430079；2.武漢大學動機學院，湖北武漢430072）

針對現(xiàn)有基于徑向基函數(shù)的感潮河段局域時空流場模型構建中節(jié)點選取缺乏依據(jù)的現(xiàn)狀，利用走航式ADCP資料研究了聚類算法、貪婪算法和梯度算法等3種節(jié)點位置選取方法，結合實驗將3種不同節(jié)點位置選取方法下獲得的余流場和潮流場與調和分析方法的結果進行對比分析，并采用交叉驗證法評估節(jié)點選取方法構建模型。結果表明，3種節(jié)點選取方法各有特點，在實際應用中應根據(jù)不同的流場特點及工程需要選擇合適的方法構建流場。

感潮河段；走航式ADCP；流場構建

感潮河段局域時空流場構建對于流速預報、流量計算、河道施工、流體動力學分析等意義重大（Wu et al，2013；單慧潔等，2015）。由于風應力、熱通量、降水、蒸發(fā)、潮流、余流、地下水通量等對流速影響相對較小，且難以預測，感潮河段流速分析通常只考慮影響河口循環(huán)的主要因素潮流和余流，通過對流速觀測數(shù)據(jù)調和分析得到余流和潮流調和常數(shù)構建流場模型。ADCP（Acoustic Doppler Current Profile，聲學多普勒流速剖面儀）可以同時實現(xiàn)不同水深層的流速流向測量，測量速度快，在測量過程中不會對流場產(chǎn)生擾動，結合GPS和底跟蹤技術（陳志高等，2013），可以快速獲取流速的空間分布，實現(xiàn)大區(qū)域的高時間、空間分辨率流速測量，操作簡單，是目前流速測量的主要手段（高菲等，2011；田淳等，2003）。

構建感潮河段局域時空流場的經(jīng)典方法是基于內(nèi)插點調和分析，實現(xiàn)局域流場構建。為了充分利用時間及空間分布不均勻走航測量數(shù)據(jù)，Candela等采用格林函數(shù)表示流速的平面分布，獲得局域平面流場 （Candela et al，1992；張芩，2000）；Münchow等（2000）將Candela方法擴展到三維流場構建；Vennell等（2006）采用以高斯函數(shù)為基函數(shù)的Candela方法實現(xiàn)了局域流場構建；黃獎等（2009）將徑向基函數(shù)法應用于廈門灣斷面重復走航；沈俊強等（2012）采用Candela方法分離廈門內(nèi)灣東西口門海域潮流，分析潮流和余流特征。然而，已有研究常采用等間距點或格網(wǎng)點作為節(jié)點，均忽略了對徑向基函數(shù)中節(jié)點位置及個數(shù)選取方法的分析及對比，而節(jié)點個數(shù)和位置對最小二乘解算的穩(wěn)定及流場擬合的結果影響重大。為此，本文以高斯函數(shù)作為基函數(shù)，基于聚類算法、貪婪算法和梯度算法等3種節(jié)點選取方法構建流場模型，結合實驗分析了3種節(jié)點選取方法的特點，以根據(jù)不同水域的流場特點選擇最優(yōu)方法，獲得符合實際情況的最優(yōu)時空流場。

1　局域流場構建模型

基于點內(nèi)插調和分析是在走航起點和終點間等間距內(nèi)插得到內(nèi)插點，然后在每一個走航測次中，根據(jù)內(nèi)插點附近的實際測量點進行反距離加權計算各內(nèi)插點在該測次中的流速及對應的時間。得到內(nèi)插點在每個測次中的觀測值，然后對單點時間序列采用潮流調和分析公式計算潮流的調和常數(shù)，當數(shù)據(jù)序列較長時，調和分析具有較好的建模精度（方國洪，1986）。

式中，U（t）是t時刻某地點流速觀測值，U0是潮流的余流值，m是調和分析所采用的分潮個數(shù)，Ui、ωi、θi分別是第i個分潮（i=1，…，m）的振幅、角速度、當?shù)剡t角。記

則上式可以寫成

將內(nèi)插點的時間序列代入上式，采用最小二乘即可解算出潮流調和常數(shù)和橢圓要素，實現(xiàn)潮流分離，通過測量區(qū)域內(nèi)所有內(nèi)插點的潮流調和常數(shù)可

以內(nèi)插得到任意點的潮流調和常數(shù)，即可構建局域流場模型。

Candela等最早提出基于走航式ADCP資料的潮流分離方法是將測量流速中的余流和潮流調和常數(shù)表達為一組格林函數(shù)的線性組合，然后采用最小二乘法解算基函數(shù)中的系數(shù)實現(xiàn)局域流場模型構建，具有更好的空間相關性。本文采用以高斯函數(shù)為基函數(shù)的Candela法，也稱為徑向基函數(shù)法，將式中的U0、ai、bi用相同的形式F（X）表示。

式中，w0為式中U0項對應的基函數(shù)權值矩陣，wCi，wSi分別是第i個分潮余弦項和正弦項對應的權值矩陣。

確定模型的基函數(shù)后，節(jié)點位置及其對應擴展系數(shù)的確定是模型解算的關鍵。本文采用聚類算法、貪婪算法和梯度算法等3種節(jié)點選取方法解算局域流場模型中節(jié)點位置、擴展系數(shù)、權值等參數(shù)。

1.1聚類算法

聚類算法是由Moody等（1989）提出的一種最經(jīng)典的徑向基函數(shù)（RBF）網(wǎng)學習算法。其思路是先對所有測量點進行聚類確定RBF網(wǎng)中h個節(jié)點的位置，并根據(jù)各節(jié)點之間的距離確定節(jié)點的擴展常數(shù)，然后采用最小二乘法計算流場模型參數(shù)。具體操作步驟如下：

（1）首先選擇h個不同的節(jié)點初始位置，一般從測量點中隨機選取或者等間距選?。?/p>

（2）計算所有測量點與每個節(jié)點的距離；

（3）對于所有測量點，按照最小距離原則分類到聚類域w1（k），w1（k），…，wh（k）；

（5）如果前后兩次計算得到的對應節(jié)點位置不再變化，則節(jié)點位置確定。否則，重復步驟（2）-（5）；

（6） 根據(jù)式（6）計算潮流調和分析方程中的權值矩陣W，然后將W代入模型計算流速測量點對應的擬合流速U（Xi），進而計算得到模型內(nèi)符合精度σh；

（7） 增加節(jié)點個數(shù)至h+1，重復步驟（1）-（6），直至得到對應的模型內(nèi)符合精度σh+1。

聚類算法中各基函數(shù)具有統(tǒng)一的擴展系數(shù)

式中，dmax是所選節(jié)點之間的最大距離，h是節(jié)點的個數(shù)。

1.2貪婪算法

貪婪算法是由Vennel（2006）提出的一種徑向基函數(shù)網(wǎng)絡學習方法。貪婪算法根據(jù)模型擬合殘差確定節(jié)點，將模型擬合效果最差點作為新增節(jié)點，使模型能夠更好的擬合該點及附近測量點；然后再次擬合模型，根據(jù)擬合殘差最大原則尋找下一個新增節(jié)點。貪婪算法基函數(shù)的擴展系數(shù)計算方法同式（7），確定徑向基函數(shù)網(wǎng)絡的節(jié)點位置步驟如下：

（1） 選取流速絕對值最大點作為初始節(jié)點加入節(jié)點集，根據(jù)式（6）計算權值矩陣W，并根據(jù)模型計算擬合流速U（Xi），得到各測量點的擬合誤差ei=Ui-U（Xi）；

（2） 將絕對值最大ei對應的測量點為作為新增節(jié)點加入節(jié)點集，然后將原有節(jié)點和新增節(jié)點代入式（6）重新計算模型參數(shù)及各測量點的擬合殘差；

（3） 根據(jù)殘差最大尋找新的節(jié)點，重復上述操作直至模型內(nèi)符合精度σ不再減小，獲得足夠的節(jié)點數(shù)目。

當節(jié)點數(shù)目和坐標確定后，根據(jù)式（6）計算最終權值矩陣W，得到局域流場模型。

1.3梯度算法

梯度算法（Platt，1991）與BP算法訓練多層感知器的原理類似，通過最小化目標函數(shù)E實現(xiàn)節(jié)點坐標及其對應的擴展系數(shù)、權值的調節(jié)。

其中，ei為測量點Xi的流速擬合殘差，Ui為測量點Xi的流速測量值，U（Xi）為模型在點Xi處的Ui采樣時刻的流速擬合值，P為總的測量點數(shù)。

若給定節(jié)點數(shù)h及其坐標（cj，x、cj，y）、擴展常數(shù)δj和權值wj的初值，為使目標函數(shù)最小，需分別對cj，x、cj，y、δj和wj求梯度，得到各自調節(jié)量。

式中，（Xi，x，Xi，y）為測量點Xi的平面坐標，η為學習率。

將測量數(shù)據(jù)代入式（10）-（13），求得各調節(jié)量，計算調整后的cj，x、cj，y、δj和wj。

將調整后的參數(shù)代入式（6），根據(jù)采樣時刻及位置計算U（Xi），并與觀測數(shù)據(jù)Ui比較，得到模型內(nèi)符合精度。重復以上操作，直至相鄰兩次模型精度變化小于設定閾值，得到用于流場構建的徑向基函數(shù)的最佳節(jié)點位置cj、擴展系數(shù)δj和權值wj及模型內(nèi)符合精度σh。

2　實驗與分析

2.1實驗數(shù)據(jù)

為了檢驗3種節(jié)點選取方法構建流場的可靠性，實驗選用徐六涇附近流域實測的走航式ADCP測量數(shù)據(jù)，實測流域是感潮河段，走航斷面如圖1（a）所示。走航式ADCP測量斷面長度約為3.5 km，完成一次走航式測量耗時約20 min，每小時進行一次走航式測量，數(shù)據(jù)包含28次重復觀測，總的測量時間長度超過一個日潮周期，重復觀測過程中當前測次的測量終點是下一個測次的測量起點。走航觀測恰逢秋季大潮期，觀測得到的最大漲潮流速為1.38 m/s，最大落潮流速為1.85 m/s。數(shù)據(jù)中還包括測量區(qū)域附近錨定ADCP采樣時間間隔為半小時，長達一個月的測量數(shù)據(jù)，通過對錨定ADCP測量數(shù)據(jù)進行頻譜分析如圖1（b），可以看出流域內(nèi)主要分潮包括K1、M2、M4、M6、M8。根據(jù)Thomson等（2001）提出的最小頻率分潮的周期應小于或等于觀測資料的長度的調和分析分潮選取原則（Thomson et al，2001），而交叉驗證部分建模數(shù)據(jù)長度為14 h，因此采用M2、M4、M6、M8等4個分潮。

2.2實驗分析

2.2.1余流對比

利用調和分析方法及3種節(jié)點選取方法構建流場得到的余流在走航斷面內(nèi)插點上的分布如圖2-圖4所示，由于數(shù)據(jù)密度較大，每20個內(nèi)插點取一個繪制到圖上。圖2（a）、圖3（a）、圖4（a）分別是調和分析方法與聚類算法、貪婪算法、梯度算法構建模型得到的余流對比。圖中黃色帶箭頭矢量表示調和分析得到的余流，紅色帶箭頭矢量表示流場模型計算得到的余流。調和分析得到的余流最大值為0.83 m/s，平均值為0.56 m/s。

從圖2（a）、圖3（a）、圖4（a）這3幅圖中可以看出，在內(nèi)插點上調和分析得到的余流與本文3種不同節(jié)點選取方法下構建流場得到的余流大小和方向基本重合，在岸邊和河道中間淺灘區(qū)域流場模型得到的余流與調和分析結果之間有一定偏差，這是因為調和分析各點單獨解算，而本文方法對測量區(qū)域構建流場模型，具有更好的空間相關性。3種節(jié)點選取方法構建流場以及傳統(tǒng)節(jié)點選取算法與調和分析方法得到余流的差值均方根見表1。從表中可以看出，傳統(tǒng)節(jié)點選取方法構建流場模型與調和分析方法下余流誤差均方根最大，貪婪算法具有整體最優(yōu)，且節(jié)點位置確定比聚類算法合理，貪婪算法與調和分析得到的余流的誤差均方根最小，僅為0.028 m/s。梯度算法具有局部最優(yōu)，與調和分析計算得到余流較差的均方根最大，達到了0.055 m/s。

圖1 測量斷面位置及流速頻譜分析

2.2.2潮流對比

圖2 聚類算法與調和分析的余流（a）和M2潮流橢圓（b）對比（圖中顏色條對應的刻度為河床的高程（下同））

圖3 貪婪算法與調和分析的余流（a）和M2潮流橢圓（b）對比

圖4 梯度算法與調和分析的余流（a）和M2潮流橢圓（b）對比

表13　種不同節(jié)點選取方法及傳統(tǒng)節(jié)點選取方法下構建流場與調和分析得到余流和M2長軸的誤差均方根

從圖1（b）可以看出測量流域M2分潮振幅遠大于其他3個分潮，因此這里只分析占主導地位的M2分潮潮流橢圓。將調和分析和3種節(jié)點選取方法構建流場模型模擬得到的結果在測量點上繪制出M2分潮潮流橢圓，如圖2（b）、圖3（b）、圖4（b）。圖中，黃色細線是調和分析得到的M2分潮潮流橢圓，紅色細線是流場模型構建得到的M2分潮潮流橢圓。由于測量區(qū)域是近海感潮河段，潮流主要是沿河道方向，在垂直于河道方向上沒有潮流波動，得到的潮流橢圓接近為一條直線。調和分析得到的M2潮流橢圓長軸最大值是1.16 m/s，平均值是0.98 m/s。3種不同節(jié)點選取方法下構建流場與調和分析計算的得到的M2潮流橢圓的長軸的誤差均方根大小關系與余流較差均方根一致，且均小于調和分析計算值的5%。

從圖2（b）、圖3（b）、圖4（b）可以看出，本文中3種不同節(jié)點選取方法下構建流場與調和分析相比得到的M2分潮潮流橢圓吻合較好，僅在河道中間的淺灘處有較大偏差。在天然河道中，流場變化較為平緩，而實驗中調和分析得到的潮流橢圓在中間淺灘測點與相鄰測點方向明顯不一致，且該點所在區(qū)域水下地形沒有明顯變化。本文采用的Candela方法對區(qū)域內(nèi)所有點整體解算，相鄰點之間具有更好的空間相關性，所有內(nèi)插點上M2潮流橢圓長軸具有比較一致的變化趨勢，計算結果符合天然河道流速變化規(guī)律。

2.2.3模型驗證

為了進一步驗證模型的可靠性，將28個測次的數(shù)據(jù)分成兩個部分，前14個測次數(shù)據(jù)作為實驗組，采用本文3種不同節(jié)點選取方法以及傳統(tǒng)節(jié)點選取方法分別構建流場模型；后14個測次數(shù)據(jù)作為驗證組，用來驗證實驗組構建的局域流場模型的可靠性。分別用流場模型模擬實驗組和驗證組數(shù)據(jù)與測量數(shù)據(jù)對比計算模型的內(nèi)符合精度和外符合精度，得到的模型驗證結果如表2。

從表2中可以看出，傳統(tǒng)節(jié)點選取方法的內(nèi)符合精度和外符合精度都是最差的。聚類算法的內(nèi)符合精度較好，而外符合精度較差，達到了0.257m/s。由于聚類算法節(jié)點選取只與測量位置分布有關，不能反映流速特征，具有整體最優(yōu)性，因此內(nèi)符合精度較好，而外符合精度較差。梯度算法具有較差的內(nèi)符合精度，因為梯度算法中目標函數(shù)最小同時顧及了節(jié)點位置、擴展系數(shù)和權值，具有局部最優(yōu)，因此得到的內(nèi)符合精度比其他3種節(jié)點選取方法差，但是構建的模型更接近真實值，得到了較好的外符合精度0.202 m/s。實驗中貪婪算法具有最好的內(nèi)符合精度和外符合精度，因為本文所用數(shù)據(jù)中為走航斷面的重復測量，采樣點分布密集，流速的空間變化不大，且測量數(shù)據(jù)質量較好。計算過程中，聚類算法和貪婪算法的運算速度較快，而梯度算法耗時長。對于本文實驗數(shù)據(jù)，貪婪算法比較適用；如果對運算速度沒有要求，梯度算法同樣適用。

表2　3種不同節(jié)點選取方法及傳統(tǒng)節(jié)點選取方法下構建流場的內(nèi)外符合精度對比（單位：±m(xù)/s）

3　結語

（1） 聚類算法計算簡單，運算速度快，但節(jié)點選取只與點位分布相關。貪婪算法不需要先驗參數(shù)，但節(jié)點均為測量點且節(jié)點位置不會隨著個數(shù)的增加變化，易受測量粗差和采樣密度影響。梯度算法根據(jù)待求參數(shù)的梯度不斷調整參數(shù)值，節(jié)點和參數(shù)均滿足內(nèi)符合精度最小，避免了病態(tài)矩陣造成的不穩(wěn)定解問題，穩(wěn)定性更好，但運算速度慢，受參數(shù)初值影響較大。

（2） 基于徑向基函數(shù)的感潮河段局域時空流場構建中，聚類算法適用于測量精度較差、區(qū)域內(nèi)流速的空間分布變化不大的流場構建，貪婪算法適用于密集采樣且測量精度高的走航數(shù)據(jù)構建流場，梯度算法適用于運算速度要求不高的流場構建。在應用中可根據(jù)需求選用合適的節(jié)點選取方法構建流場模型。隨著測量區(qū)域的增大以及水文條件的變化，3種節(jié)點選取方法構建流場模型的適用性以及模型的空間和時間外推能力有待進一步的驗證。

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（本文編輯：袁澤軼）

Study on the method of selecting optimal centers in the construction of local flow field based on the radial basis function

HUANG Jia-yong1,ZHANG Hong-mei2,CHEN Zhi-gao1,ZHU Shi-fang1
(1.School of Geodesy and Geometics,WuhanUniversity,Wuhan 430079,China; 2.School of Power and Mechanical Engineering,Wuhan University,Wuhan 430072,China)

In terms of the current situation that there is a lack of center selecting method in the flow field construction of tidal reach using radial basis function(RBF),three methods of selecting optimal centers,including clustering algorithm, greedy algorithm and gradient algorithm,are studied to construct flow field based on ship-mounted Acoustic Doppler Current Profiler(ADCP)data in this paper.The residual and M2 tidal ellipse of the constructed flow filed and traditional harmonic analysis are contrasted.The performance of flow field is assessed by cross-validation technique.Results show that the practical requirement of construct flow filed should be taken into consideration to choose the optimal selecting method due to the three methods of selecting optimal centers having respective characters.

tidal reach;ship-mounted ADCP;flow field construction

P731.2

A

1001-6932（2016）05-0516-07

10.11840/j.issn.1001-6392.2016.05.005

2015-07-07；

2015-09-07

國家自然科學基金（41576107；41376109；41176068）；國家重大專項（2016YFB0501703）。

黃家勇（1991-），男，碩士研究生，主要從事水文水資源相關的研究。電子郵箱：huangjiayong@whu.edu.cn