唐衛(wèi)明，張先春，惠孟堂，鄧辰龍，徐　坤，崔健慧

(武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079)

?

基于卡爾曼濾波的北斗偽距單點(diǎn)定位算法研究

唐衛(wèi)明，張先春，惠孟堂，鄧辰龍，徐坤，崔健慧

(武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079)

為了提高北斗偽距單點(diǎn)定位的精度，提出了一種基于多普勒頻移和偽距觀測(cè)值的北斗卡爾曼濾波單點(diǎn)定位算法，并利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)該算法的可行性與穩(wěn)定性進(jìn)行了驗(yàn)證。試驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在一定程度上提高了偽距單點(diǎn)定位的定位性能。其中，靜態(tài)定位在平面方向提高42%，高程提高22%；動(dòng)態(tài)定位在平面方向提高33%，高程提高21%。

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)；偽距單點(diǎn)定位；多普勒頻移；卡爾曼濾波；精度

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Beidou Navigation Satellite System，BDS)是中國(guó)正在實(shí)施的自主發(fā)展、獨(dú)立運(yùn)行的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)[1]。截至2015年7月，北斗系統(tǒng)在軌工作衛(wèi)星為13顆，形成區(qū)域服務(wù)能力，面向我國(guó)及周邊部分地區(qū)提供無(wú)源定位、導(dǎo)航和授時(shí)等服務(wù)。北斗偽距單點(diǎn)定位具有速度快、數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，其定位精度為10 m[1]，是導(dǎo)航與低精度測(cè)量中常用的一種定位方法。常見(jiàn)的偽距單點(diǎn)定位算法有高斯牛頓迭代最小二乘(Gauss-Newton isterative least squares,GNILS)定位算法，加權(quán)最小二乘(weighted least squares,WLS)快速算法[2]。通過(guò)前人的研究，北斗偽距單點(diǎn)定位平面精度優(yōu)于3.5 m，高程精度優(yōu)于8 m[3]。

卡爾曼濾波作為一種降低、分離衛(wèi)星信號(hào)中所含有噪聲量的技術(shù)，可以用來(lái)提高北斗偽距單點(diǎn)定位的精度。由于最小二乘法沒(méi)有將不同時(shí)刻的定位值聯(lián)系起來(lái)相互制約，使得其定位結(jié)果通常會(huì)顯得非常粗糙。所謂濾波，就是將一個(gè)信號(hào)中的某些成分過(guò)濾掉，并保留所需要的信號(hào)成分。所有濾波的一個(gè)共同特點(diǎn)是將用戶在相鄰時(shí)刻的位置狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，從而克服最小二乘法在不同時(shí)刻的定位值之間不互相關(guān)聯(lián)的這一缺點(diǎn)，使濾波后的定位結(jié)果顯得更加平滑、準(zhǔn)確?？柭鼮V波技術(shù)是一種線性最小方差濾波估計(jì)，它只需要通過(guò)上一時(shí)刻狀態(tài)向量的最優(yōu)估計(jì)和現(xiàn)在時(shí)刻的觀測(cè)值就可以得到當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)向量的最優(yōu)估計(jì)值[4-6]。

本文通過(guò)建立單點(diǎn)定位和卡爾曼濾波數(shù)學(xué)模型，對(duì)采集的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行最小二乘偽距單點(diǎn)定位解算和卡爾曼濾波解算，得出各自的處理結(jié)果，并比較分析兩者的區(qū)別，得出相應(yīng)的結(jié)論。

一、數(shù)學(xué)模型

1. 偽距單點(diǎn)定位原理

偽距測(cè)量的觀測(cè)方程可表示為[7]

P=ρ+c·dtr-c·dts+I+T+ε

(1)

式中，P為偽距觀測(cè)值；ρ為衛(wèi)星與接收機(jī)之間的真正距離；c為光速；dtr和dts分別為接收機(jī)鐘和衛(wèi)星鐘差；I為電離層延遲改正；T為對(duì)流層延遲改正；ε表示偽距的觀測(cè)噪聲和多路徑延遲的影響。

線性化后式(1)可表示為

P=l·dX+m·dY+n·dZ+ρ0+c·dtr-c·dts+I+T

(2)

2. 多普勒單點(diǎn)測(cè)速原理

由于接收機(jī)和衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，造成傳播路程差，導(dǎo)致相位和頻率的變化，這種變化稱(chēng)為多普勒頻移[8]。通過(guò)多普勒頻移可以求出接收機(jī)的速度。

觀測(cè)方程可以從偽距觀測(cè)方程推導(dǎo)出來(lái)，式(2)對(duì)時(shí)間進(jìn)行微分可得

λD=l(vX-vX)+m(vY-vY)+n(vZ-vZ)+c·dtf-c·dtf

(3)

式中，λ為載波相位的波長(zhǎng);D為衛(wèi)星的多普勒觀測(cè)值；(vX,vY,vZ)表示接收機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度；(vX,vY,vZ)表示衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速度;dtf和dtf分別表示接收機(jī)和衛(wèi)星鐘差的變化率。利用多普勒觀測(cè)方程進(jìn)行最小二乘平差即可求出接收機(jī)的速度和鐘速。

3. 卡爾曼濾波原理

隨著對(duì)卡爾曼濾波器的深入研究，卡爾曼濾波技術(shù)已被運(yùn)用于求解GPS位置、速度和時(shí)間，在北斗偽距單點(diǎn)定位中仍然適用。假設(shè)接收機(jī)低速運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可采用常速模型(歷元間接收機(jī)速度不變)表示為

Xk+1=Φk+1,kXk+W

(4)

式中，下角標(biāo)k表示歷元號(hào)；X為描述接收機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的向量；Φ為前后歷元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；W表示過(guò)程噪聲向量。假設(shè)T為采樣間隔，則有

(5)

聯(lián)合偽距和多普勒的觀測(cè)方程，即可得到系統(tǒng)的觀測(cè)方程為

Zk+1=Hk+1Xk+1+υk+1

(6)

式中，Z為觀測(cè)值向量，分別由偽距和多普勒觀測(cè)值組成；Hk+1代表觀測(cè)量與系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系矩陣，且有

(7)

結(jié)合式(4)和式(6)即可組成卡爾曼濾波系統(tǒng)，然后按照卡爾曼濾波的遞推公式即可依次求出每個(gè)歷元的狀態(tài)向量及其協(xié)方差陣。本文濾波過(guò)程噪聲W的方差矩陣定義為

觀測(cè)噪聲的方差矩陣R[7]定義為

(9)

二、算例分析

1. 靜態(tài)數(shù)據(jù)分析

靜態(tài)數(shù)據(jù)采用2015年1月16日武漢大學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)大樓樓頂?shù)挠^測(cè)數(shù)據(jù)，接收機(jī)為T(mén)rimble NetR9，采樣率為1 Hz，采樣時(shí)間為8：00—9：00(GPS時(shí))。對(duì)于偽距單點(diǎn)定位，對(duì)流層延遲改正采用簡(jiǎn)化的Hopfield模型[9]，電離層延遲改正采用Klobuchar模型[10]。平差過(guò)程采用標(biāo)準(zhǔn)最小二乘和卡爾曼濾波兩種處理方式，其定位結(jié)果與事先已知的測(cè)站精確坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，并將三維坐標(biāo)偏差轉(zhuǎn)換到站心坐標(biāo)系，得到兩種解算模式下的定位結(jié)果在N、E、U方向上的偏差，如圖1所示。

圖1　兩種定位結(jié)果的精度比較

從圖1可以看出，在濾波初始階段偏差很大，但是經(jīng)過(guò)10多個(gè)歷元后趨于穩(wěn)定，出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因?yàn)榻o定的濾波初始值不準(zhǔn)確，且用的是動(dòng)態(tài)濾波模型處理靜態(tài)數(shù)據(jù)，因此會(huì)有一個(gè)濾波收斂的過(guò)程；經(jīng)過(guò)對(duì)比，卡爾曼濾波的處理結(jié)果明顯比最小二乘估計(jì)平滑，波動(dòng)幅度更小，更加趨近于實(shí)際，精度更高，可靠性更好。通過(guò)兩種處理方式獲得的定位結(jié)果與已知的測(cè)站精確坐標(biāo)，計(jì)算出各自的均方根誤差(RMS值)見(jiàn)表1。

表1　偽距單點(diǎn)定位RMS精度　m

表1的數(shù)據(jù)可以反映出卡爾曼濾波解算的定位結(jié)果比最小二乘解算結(jié)果更優(yōu)，在平面方向上的精度提高42%，高程方向提高22%。但是，從偏差的大小來(lái)看，卡爾曼濾波的結(jié)果仍存在一定偏差，其原因在于所采用的定位數(shù)據(jù)為靜態(tài)數(shù)據(jù)，而本文所建立的濾波器模型為低動(dòng)態(tài)濾波模型，與實(shí)際情況存在一定偏差，從而導(dǎo)致濾波估值未能達(dá)到最優(yōu)。

2. 動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)分析

動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)采用2015年1月16日在武漢大學(xué)信息學(xué)部操場(chǎng)繞行的觀測(cè)數(shù)據(jù)，接收機(jī)為T(mén)rimble NetR9，采樣率為1 Hz，采樣時(shí)間為8：00—9：00(GPS時(shí))。圍繞學(xué)校操場(chǎng)走圈而獲得接收機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡，所采用的數(shù)學(xué)模型與靜態(tài)數(shù)據(jù)所采用的模型一致，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理，得到最小二乘與卡爾曼濾波的解算結(jié)果。兩種方法得到的軌跡如圖2和圖3所示，其中灰色為最小二乘解，深灰色為卡爾曼濾波解。表2是通過(guò)GrafNav精密軟件處理得到的操場(chǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡的參考坐標(biāo)，分別與最小二乘和卡爾曼濾波解算結(jié)果定量進(jìn)行對(duì)比分析，計(jì)算出各自的RMS值。

圖2　軌跡全局

圖3　操場(chǎng)中間圓圈細(xì)節(jié)

根據(jù)偽距觀測(cè)值解算出的接收機(jī)軌跡如圖2所示，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理，卡爾曼濾波的定位軌跡相比最小二乘解的定位軌跡更加平滑、集聚，定位偏差更小、可靠性更高。為了更好地證明以上結(jié)論，特取信息學(xué)部操場(chǎng)中間的圓圈軌道細(xì)節(jié)圖，如圖3所示，卡爾曼濾波解較最小二乘解軌跡偏差更小，波動(dòng)幅度小，各個(gè)點(diǎn)位之間更加連續(xù)，更加趨近于實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，定位結(jié)果更好。從表2也可以看出，卡爾曼濾波定位結(jié)果在平面方向精度提高33%，高程方向提高21%?？偟膩?lái)說(shuō)，相對(duì)于最小二乘解算結(jié)果，經(jīng)卡爾曼濾波處理后可獲得更好的結(jié)果。

表2　偽距單點(diǎn)定位RMS精度　m

三、結(jié)　論

通過(guò)分析卡爾曼濾波對(duì)靜態(tài)數(shù)據(jù)和動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的處理結(jié)果，得出以下結(jié)論：

1) 該濾波模型對(duì)于靜態(tài)數(shù)據(jù)和動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的處理，一定程度達(dá)到了平滑和提高精度的作用。從對(duì)靜態(tài)數(shù)據(jù)的處理結(jié)果來(lái)看，由于模型誤差及給定的濾波初值不夠準(zhǔn)確，導(dǎo)致濾波初始階段存在很大偏差，經(jīng)過(guò)一段歷元之后回歸正常，但相比最小二乘解算結(jié)果來(lái)說(shuō)，卡爾曼濾波解算結(jié)果精度更高，更平滑，平面及高程方向的可靠性均有所提高。從對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的處理結(jié)果分析可知，卡爾曼濾波解算結(jié)果較最小二乘解算結(jié)果軌跡偏差更小，波動(dòng)幅度小，各個(gè)點(diǎn)位之間更加連續(xù)，過(guò)渡更自然，更加趨近于實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，定位結(jié)果更優(yōu)。

2) 與最小二乘結(jié)果相比，使用卡爾曼濾波算法對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的精度和可靠性都更高，結(jié)果更加平滑，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用具有一定的參考意義。

本文對(duì)獲取的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)和靜態(tài)數(shù)據(jù)的卡爾曼濾波分別進(jìn)行處理與分析，最后得出結(jié)論：卡爾曼濾波估計(jì)對(duì)最小二乘結(jié)果具有平滑和提高精度的作用，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō)具有一定的參考價(jià)值。

[1]陳坡,孫付平,韓雪峰,等. 北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位精度分析[J]. 海洋測(cè)繪,2013,33(5)：34-37.

[2]李春華，蔡成林，鄧克群，等.一種北斗偽距單點(diǎn)定位的加權(quán)最小二乘(WLS)快速算法[J]. 重慶郵電大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,26(4)：466-472.

[3]陸亞峰,蔣海林,彭遙. 北斗偽距單點(diǎn)定位與差分定位結(jié)果精度分析[J]. 海洋測(cè)繪,2014,34(4)：28-30.

[4]謝鋼. GPS原理與接收機(jī)設(shè)計(jì)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2009：127-135.

[5]楊丹. 卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究[D]. 湘潭：湘潭大學(xué)，2014.

[6]趙奇. 卡爾曼濾波在GPS定位中的研究與實(shí)現(xiàn)[D].成都：電子科技大學(xué)，2013.

[7]劉威,陳向東,朱軍,等. 北斗單頻與多頻偽距單點(diǎn)定位精度與可用性分析[C]∥第五屆中國(guó)衛(wèi)星導(dǎo)航學(xué)術(shù)年會(huì)論文集.北京:[s.n.]， 2014.[8]單瑞,趙鐵虎,于得水,等. 單點(diǎn)GPS多普勒測(cè)速模型比較與精度分析[J]. 測(cè)繪通報(bào),2013(3):7-9，17.

[9]唐衛(wèi)明,徐坤,金蕾,等. 北斗/GPS組合偽距單點(diǎn)定位性能測(cè)試和分析[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版),2015,40(4)：529-533.

[10]李征航，黃勁松.GPS測(cè)量與數(shù)據(jù)處理[M]. 2版. 武漢：武漢大學(xué)出版社,2010：97-99.

[11]YAMAGUCHI S, TANAKA T. GPS Standard Positioning Using Kalman Filter [C]∥International Joint Conference on SICE-ICASE.[S.l.]：IEEE, 2006: 1351-1354.

[12]楊元喜,李金龍,王愛(ài)兵,等. 北斗區(qū)域衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)基本導(dǎo)航定位性能初步評(píng)估[J]. 中國(guó)科學(xué):地球科學(xué),2014,44(1)：72-81.

Research on BDS Pseudo-range Single Point Positioning Algorithm Based on Kalman Filtering

TANG Weiming,ZHANG Xianchun，HUI Mengtang，DENG Chenlong，XU Kun，CUI Jianhui

唐衛(wèi)明，張先春，惠孟堂,等.基于卡爾曼濾波的北斗偽距單點(diǎn)定位算法研究[J].測(cè)繪通報(bào)，2016(10)：6-8.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0317.

2015-11-17；

2016-04-07

水利部公益性行業(yè)科研專(zhuān)項(xiàng)(201401072)

唐衛(wèi)明(1978—)，男，博士，教授，從事GNSS實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位應(yīng)用開(kāi)發(fā)和系統(tǒng)集成等教學(xué)科研工作。E-mail: wmt@whu.edu.cn

P228

B

0494-0911(2016)10-0006-03