余國(guó)勝+賀小麗+姚春臨+熊昕

摘 要 考慮了一類具有馬氏調(diào)制費(fèi)率的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型，充分利用盈余過(guò)程的強(qiáng)馬氏性，得到第一個(gè)預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并進(jìn)一步在兩狀態(tài)情形下，當(dāng)理賠額的分布為指數(shù)分布時(shí)得到了第一個(gè)預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)的具體表達(dá)式以解釋結(jié)果.需要特別指出的是，所研究模型的盈余過(guò)程不具有平穩(wěn)增量性，只能充分運(yùn)用盈余過(guò)程的強(qiáng)馬氏性，研究了一類具有馬氏調(diào)制費(fèi)率的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問(wèn)題，豐富了保險(xiǎn)公司對(duì)預(yù)警區(qū)問(wèn)題的研究，對(duì)保險(xiǎn)公司考慮財(cái)務(wù)預(yù)警系統(tǒng)以及保險(xiǎn)監(jiān)管部門設(shè)計(jì)某些監(jiān)管指標(biāo)系統(tǒng)具有一定的參考指導(dǎo)價(jià)值.

關(guān)鍵詞 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；條件矩母函數(shù)；微積分方程；馬氏調(diào)制；預(yù)警區(qū)；復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型

中圖分類號(hào) O211.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract The duration of negative surplus for compound Poisson-Geometric risk model with Markov-modulated premium rates is considered. By taking full advantage of the strong Markov property of the surplus process， an integral-differential equation of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus has been obtained. Under the two states model， when the claim is exponential distribution， the explicit expression of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus is given to illustrate the results. Particularly wish to point out， the surplus process of the research model is not stable and incremental， the strong Markov property of the surplus process can be fully used， the problem of the duration of negative surplus for compound Poisson-Geometric risk model with Markov-modulated premium rates is researched for the first time. It has enriched the insurance companies to the study of the duration of negative surplus. It has a certain reference value to consider the financial early warning system for insurance companies and to design certain supervision index system for insurance supervision department.

Key words probability and mathematical statistics； conditional moment generating function；integral-differential equation； Markov-modulated； Duration of negative surplus； compound Poisson-Geometric risk model

1 引 言

破產(chǎn)概率問(wèn)題是風(fēng)險(xiǎn)理論研究中的核心問(wèn)題之一，可以為保險(xiǎn)公司決策者提供一個(gè)早期的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警.風(fēng)險(xiǎn)理論中的“破產(chǎn)”并不意味著保險(xiǎn)公司真正破產(chǎn)，只是保險(xiǎn)公司面臨著暫時(shí)的財(cái)務(wù)危機(jī)，假如保險(xiǎn)公司可以從外部（或公司內(nèi)部各業(yè)務(wù)之間）得到幫助，使其在未來(lái)的某個(gè)時(shí)間從負(fù)盈余狀態(tài)恢復(fù)過(guò)來(lái)實(shí)現(xiàn)扭虧為盈的時(shí)間稱為預(yù)警區(qū).鐘朝艷（2012）研究了一類復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型下預(yù)警區(qū)問(wèn)題，得到第一個(gè)預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并在指數(shù)理賠情形下給出其精確解[1].鐘朝艷（2014）將利率因素引入一復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型，得到第一預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并在指數(shù)理賠的特殊假設(shè)下得到其精確解[2].崔巍和余旌胡（2012）討論了一類推廣的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問(wèn)題，此模型保費(fèi)收入過(guò)程是復(fù)合Poisson過(guò)程，理賠次數(shù)過(guò)程是Poisson-Geometric過(guò)程[3].近年來(lái)，馬氏調(diào)制費(fèi)率的風(fēng)險(xiǎn)模型引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.向陽(yáng)和劉再明（2002）討論了具有馬氏調(diào)制費(fèi)率的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型，對(duì)于給定的初始狀態(tài)和初始分布，給出了條件破產(chǎn)概率ψi（u）和最終破產(chǎn)概率ψ（u）所滿足的積分方程，并給出了零初始資產(chǎn)時(shí)破產(chǎn)概率ψ（0）的明確表達(dá)式[4].受此啟發(fā)，考慮一類具有馬氏調(diào)制費(fèi)率的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型，充分利用盈余過(guò)程的強(qiáng)馬氏性，得到第一個(gè)預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并進(jìn)一步在兩狀態(tài)情形下，當(dāng)理賠額的分布為指數(shù)分布時(shí)得到了第一個(gè)預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)的具體表達(dá)式以解釋結(jié)果.

5 結(jié) 論

充分利用盈余過(guò)程的強(qiáng)馬氏性，運(yùn)用有別于傳統(tǒng)鞅方法的方法，討論了一類具有馬氏調(diào)制費(fèi)率的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問(wèn)題，得到第一個(gè)預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)所滿足的微積分方程，并進(jìn)一步在兩狀態(tài)情形下，當(dāng)理賠額的分布為指數(shù)分布時(shí)給出其精確解，豐富了保險(xiǎn)公司對(duì)預(yù)警區(qū)問(wèn)題的研究，對(duì)保險(xiǎn)公司考慮財(cái)務(wù)預(yù)警系統(tǒng)以及保險(xiǎn)監(jiān)管部門設(shè)計(jì)某些監(jiān)管指標(biāo)系統(tǒng)具有一定的參考指導(dǎo)價(jià)值.

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