李小利　楊曉梅

(四川大學(xué)電氣信息學(xué)院自動(dòng)化系　四川 成都 610065)

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基于RPCA視頻去噪算法的自適應(yīng)優(yōu)化方法

李小利楊曉梅

(四川大學(xué)電氣信息學(xué)院自動(dòng)化系四川 成都 610065)

傳統(tǒng)去噪算法不能在盡量濾除噪聲的同時(shí)很好地保持原始圖像信息。針對這種情況，提出基于魯棒主成分分析的自適應(yīng)視頻去噪算法。首先根據(jù)視頻數(shù)據(jù)的低秩性和噪聲的稀疏性，利用加速近端梯度方法重建出原始視頻的低秩部分和稀疏部分，實(shí)現(xiàn)噪聲的初步分離；其次利用自適應(yīng)中值濾波器進(jìn)行預(yù)濾波處理，提高塊匹配精度，進(jìn)一步去除視頻噪聲；最后引入自適應(yīng)奇異值閾值法，增強(qiáng)圖像細(xì)節(jié)邊緣信息，降低迭代優(yōu)化算法的時(shí)間復(fù)雜度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不僅能極大程度地恢復(fù)出原始視頻序列， 還能自適應(yīng)地去除干擾噪聲。不論從客觀指標(biāo)PSNR值還是從主觀視覺，該方法與傳統(tǒng)去噪方法相比都具有很大的優(yōu)勢。

視頻去噪低秩性魯棒主成分分析自適應(yīng)奇異值閾值

0　引　言

隨著計(jì)算機(jī)和多媒體技術(shù)的發(fā)展，海量視頻文件的出現(xiàn)對視頻的整理、分析以及檢索提出了越來越多的需求。從現(xiàn)實(shí)意義的角度來看，圖像視頻技術(shù)需求非常普遍，如高質(zhì)量成像設(shè)備、視頻成像軟件和面向公共安全的成像設(shè)備等[8]。然而在大多數(shù)情況下，如在拍攝、采樣、傳輸?shù)冗^程中，視頻數(shù)據(jù)常常受到各種類型噪聲的干擾而退化。尤其是在低光條件、高ISO設(shè)定和高捕獲頻率等敏感環(huán)境下，都能使視頻圖像變得模糊。作為計(jì)算領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)，視頻去噪效果的好壞將對后續(xù)的視頻分析和理解等處理產(chǎn)生至關(guān)重要的影響。

目前，國內(nèi)外根據(jù)圖像特點(diǎn)、噪聲的統(tǒng)計(jì)特征、頻譜分布規(guī)律已提出了許多關(guān)于圖像去噪的傳統(tǒng)方法，大致可分為空間域法和變換域法[5]兩類。前者主要利用平滑模板的卷積處理，通過數(shù)據(jù)運(yùn)算直接對像素灰度值進(jìn)行處理。其常用方法主要中值濾波法[6]，它是一種基于非線性的信號處理方法，其基本原理就是利用領(lǐng)域模板中灰度值的中值來替換該點(diǎn)像素值。這種方法對于帶有椒鹽噪聲的圖像恢復(fù)有較好的效果。然而中值濾波器作為一種非參數(shù)估計(jì)，處理方式單一，可能會(huì)造成圖像細(xì)節(jié)和邊緣信息的丟失。對于變換域法，先對圖像進(jìn)行變換將其轉(zhuǎn)到變換域，再對變換域中的系數(shù)進(jìn)行濾波處理，最后反變換到原始空間域得到去噪圖像。常見的方法有頻域?yàn)V波[7]、小波變換法[8]、BM3D法[17]等。通過對信號變換使得換系數(shù)具有明顯的分布特征，對噪聲的濾波處理變得更加有效。

近年來，基于壓縮感知技術(shù)的稀疏模型[4]和非局部模型成為圖像去噪研究的熱門，并被廣泛運(yùn)用于圖像處理的各個(gè)領(lǐng)域。非局部均值[16]去噪利用圖像結(jié)構(gòu)的自相似性，通過對相似塊進(jìn)行加權(quán)平均得到去噪圖像。稀疏模型本質(zhì)上是屬于變換域，采用全新的采樣理論，突破了Nyquist采樣定理的瓶頸。它主要是利用觀測矩陣將原始信號稀疏化[9，10]，其關(guān)鍵在于觀測矩陣的設(shè)計(jì)，主要強(qiáng)調(diào)樣本數(shù)據(jù)在觀測矩陣下的稀疏表示，從而忽略了圖像塊的非局部信息。低秩恢復(fù)[11-13]是隨著稀疏理論的發(fā)展而提出的，其基本思想是通過約束矩陣奇異值的稀疏性，使矩陣的秩降到最低。隨著稀疏與低秩的發(fā)展，近一兩年來，出現(xiàn)了一種基于塊的聯(lián)合稀疏與低秩模型[3]。該方法在原始圖像的重構(gòu)算法中，不僅對椒鹽噪聲有很好的抑制效果，還能在去除圖像中隨機(jī)噪聲和異常值基礎(chǔ)上，較好地保留細(xì)節(jié)信息?；谠摲椒?，本文引入了自適應(yīng)閾值迭代的思想提出了改進(jìn)，并應(yīng)用于視頻圖像去噪。

1　預(yù)備知識

定理1矩陣奇異值分解。設(shè)X的秩為r，它的奇異值分解為：

(1)

其中，U和V分別為m×r,r×n的正交矩陣，對角矩陣∑r=diag(λ1,λ2,…,λr)，λi代表矩陣X的第i個(gè)奇異值，且λ1≥λ2≥…≥λr，那么X核范數(shù)定義如下：

(2)

對于每一個(gè)τ≥0，定義收縮算子[1]如下：

S(x，τ)=sgn(x)max(|x|-τ,0)

(3)

奇異值收縮算子：

D(x，τ)=US(∑，τ)VT

(4)

Sτ(x)和Dτ(x)在魯棒主成分分析(RPCA)模型的求解算法中起著十分重要的作用，它們分別用來解以下兩種最小化問題：

(5)

(6)

2　魯棒主成分分析

2.1矩陣恢復(fù)

在具體問題中，很多信號都可以用數(shù)據(jù)矩陣來表示，這使得對數(shù)據(jù)的分析、建模極為方便。矩陣恢復(fù)理論最早由john wright等提出[14]，即魯棒主成分分析(RPCA)，是指當(dāng)矩陣某些元素被嚴(yán)重破壞后，自動(dòng)識別出被破壞的矩陣并恢復(fù)出原始矩陣[15]。其具體描述為：將給定矩陣P分解為兩個(gè)矩陣之和，即：P=L+S，其中L是逼近于原始矩陣的低秩矩陣，S是稀疏的噪聲矩陣。將低秩矩陣恢復(fù)轉(zhuǎn)化為如下最小化問題：

(7)

顯然，式(7)的求解是一個(gè)NP難問題。Candes等[13,14]提出：在一定條件下，矩陣0范數(shù)的最小化和矩陣秩的最小化分別等價(jià)于矩陣1范數(shù)和矩陣核范數(shù)的最小化問題，于是將上述最小化問題轉(zhuǎn)化成如下凸優(yōu)化問題：

(8)

以此模型，將RPCA方法應(yīng)用于視頻去噪。對原始視頻序列，利用其時(shí)空域的冗余性，采用基于塊的方法來去除圖像噪聲。然而對存在顯著噪聲的圖像，如何找到精確的匹配塊不是一個(gè)簡單的任務(wù)，因此，本文采用一個(gè)快速三步分層搜索法[1]來簡單實(shí)現(xiàn)。將每一個(gè)塊排列成一個(gè)向量，再將所有相似塊對應(yīng)的向量排列成一個(gè)矩陣，則穩(wěn)定的圖像信息對應(yīng)矩陣的低秩部分，而隨機(jī)干擾噪聲對應(yīng)于矩陣的稀疏部分?；谀Ｐ褪?8)，本文將采用一種魯棒性算法來恢復(fù)低秩矩陣L。

2.2優(yōu)化模型的建立

上一節(jié)提出的最小化模型式(8)用來提取噪聲數(shù)據(jù)的低維結(jié)構(gòu)，它作為對主成分分析(PCA)的補(bǔ)充，對異常值具有一定的魯棒性。在具體算法中，我們對式(8)引入拉格朗日算子[1]，將其轉(zhuǎn)換如下形式：

(9)

選擇合適的μ時(shí)，式(8)與式(9)等價(jià)。因此，正則化方法式(9)的有效性高度依賴于參數(shù)λ和μ的設(shè)定。在本文方法中，λ的值設(shè)定如下[1]：

(10)

至于μ，根據(jù)文獻(xiàn)[1],我們選擇其經(jīng)驗(yàn)值：

(11)

其中，m、n 是相似塊矩陣的大小，σ為圖像噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.3加速近端梯度法

針對式(9)的低秩矩陣恢復(fù)問題，Goldfarb等[14]給出了集中具體的求解方法，如：迭代閾值(IST)方法、交替增廣拉格朗日(ADAL)方法和加速近端梯度法(APG)方法等。在此，本文采用基于APG的矩陣恢復(fù)方法，根據(jù)其基本原理，設(shè)：

g(L,S)=μ‖L‖*+λμ‖S‖1

(12)

(13)

(14)

其中，Lf為Lipschitz常數(shù)，本文取Lf=2。針對式(14)的優(yōu)化問題，本文采用快協(xié)調(diào)下降方法[1]進(jìn)行交替迭代優(yōu)化求解，其基本思路就是求解當(dāng)前變量時(shí)固定其變量，具體步驟如下(用MATLAB編程的具體過程見算法1)：

1) 計(jì)算S*，固定L，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成如下形式：

上式全局最小值為：

(15)

2) 計(jì)算L*，固定S，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成如下形式：

上式全局最小值為：

(16)

3) 視頻合成。在本文方法中，由于圖像塊的采樣區(qū)域有重疊，因此每個(gè)像素由多個(gè)去噪圖像塊覆蓋。與大多數(shù)基于塊的方法類似，在視頻合成過程中，圖像的每個(gè)像素值由該像素點(diǎn)所有去噪圖像塊的平均估計(jì)值[1,3]確定，這將有利于消除塊邊界不連續(xù)的偽影。

算法1加速近端梯度(APG)算法，Lf=2

1) 輸入矩陣P,λ,μ ;

2) 初始化:L0=L-1=0,S0=S-1=0,t0=t-1=0;

3) While not converged do

9) Until converged

10) 輸出:Lk,Sk

3　空間自適應(yīng)迭代奇異值閾值法

3.1奇異值閾值分析

上節(jié)提到的奇異值閾值算子式(4)，僅對奇異值進(jìn)行了硬閾值操作，使之向無噪值收縮逼近，這在實(shí)際應(yīng)用中明顯不妥。一般情況下，如果輸入矩陣的奇異值小于閾值，經(jīng)過閾值處理之后的輸出矩陣就是低秩的。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，閾值的選擇不僅依賴于噪聲水平，還與數(shù)據(jù)本身性質(zhì)有關(guān)：閾值太大會(huì)使圖像出現(xiàn)過平滑現(xiàn)象而導(dǎo)致其邊緣細(xì)節(jié)模糊，太小又會(huì)導(dǎo)致去噪效果不明顯。因此，選擇恰當(dāng)?shù)拈撝凳歉倪M(jìn)算法的關(guān)鍵。接下來本文將對矩陣進(jìn)行擾動(dòng)分析，進(jìn)一步討論噪聲對奇異值的影響。

文獻(xiàn)[8]指出，相似塊矩陣P各元素服從高斯分布，假定其秩為r，對P進(jìn)行SVD分解：

(17)

其中ui和vi分別對應(yīng)矩陣U和V的列向量, λ1≥λ2≥…≥λr，揭示了矩陣P的特征分量強(qiáng)度。這樣，通過SVD分解就將含噪數(shù)據(jù)中真實(shí)的相關(guān)信號分離出來。也就是說，相似矩陣P的奇異值在一定程度上反映了真實(shí)的原始信號。因此，有必要進(jìn)一步分析噪聲對奇異值λi的影響。

該理論表明噪聲強(qiáng)度是影響含噪矩陣與無噪低秩矩陣奇異值之差的主要因素，也進(jìn)一步解釋了低秩矩陣的恢復(fù)與其奇異值密切相關(guān)。不妨假設(shè)L的秩為l，則:

因此，當(dāng)λ滿足:

(18)

此時(shí)，可以選擇矩陣P的前p個(gè)奇異值來作為對低秩矩陣L的估計(jì)。通過SVD分解，矩陣P的奇異值在空間上依此減小，特別的，從λl+1開始，奇異值的迅速減小趨近于0。據(jù)統(tǒng)計(jì)[8]，前10%甚至更少的奇異值之和在所有奇異值之和中有高達(dá)99%的比例，這樣就可以通過選擇恰當(dāng)?shù)拈撝等サ糨^小奇異值，以最大程度逼近低秩矩陣。在上一節(jié)的算法中，用一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值作為對奇異值的硬閾值處理，本節(jié)我們將通過對P和L奇異值差異的估計(jì)，得到一個(gè)自適應(yīng)的奇異值閾值。

3.2空間自適應(yīng)迭代奇異值閾值法

由于噪聲在每個(gè)奇異值上的分布并不均勻，不能直接選取同一個(gè)閾值，而應(yīng)對不同的奇異值設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)的閾值，即空間自適應(yīng)迭代奇異值閾值法(SAIST)[2]，其基本思想就是奇異值越大，含噪值和真實(shí)值差異越小，則奇異值閾值也就越?。环粗?，奇異值閾值就越大。

根據(jù)文獻(xiàn)[2],將奇異值建模成零均值的拉普拉斯分布，根據(jù)空間自適應(yīng)的先驗(yàn)知識，將閾值參數(shù)設(shè)為：

(19)

其中，σi代表位置i上的局部方差估計(jì)，采用單樣本的最大似然估計(jì)如下：

(20)

此外，當(dāng)下最新的迭代正則化技術(shù)提供了另外一種空間自適應(yīng)方法，其基本思想就是將濾波噪聲信號反饋到原始含噪圖像，即：

(21)

其中，k為迭代次數(shù)，δ為松弛參數(shù)。我們將這種迭代正則化思想分別擴(kuò)展到噪聲估計(jì)和信號估計(jì)：

(22)

(23)

算法2空間自適應(yīng)迭代奇異值閾值(SAIST)

2) While not converged do

3) 塊匹配，構(gòu)造相似塊矩陣Y;

6) (U,∑,V)=svd(y)

388 Protective effects of dexmedetomidine on alveolar epithelial cells in sepsis mice

9) Until converged

3.3基于RPCA模型的自適應(yīng)去噪算法

算法3基于SAIST 的APG改進(jìn)算法(本實(shí)驗(yàn)中Lf=2)

1) 輸入矩陣P,λ,μ;

3) While not converged do

11) Until converged

12) 輸出Lk,Sk

圖1　算法3的工作流程

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

4.1預(yù)濾波改進(jìn)實(shí)驗(yàn)

在第2節(jié)的建模過程中，給定一個(gè)參考塊，窮舉搜索相似塊可能是非常耗時(shí)的。且當(dāng)視頻數(shù)據(jù)被圖像噪聲嚴(yán)重?fù)p壞時(shí)，直接對噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行塊匹配的結(jié)果非常不可靠。特別的，當(dāng)有強(qiáng)脈沖噪聲(如椒鹽噪聲)存在時(shí)，塊匹配的性能將嚴(yán)重降低。

對此，本文在塊匹配之前進(jìn)行了一個(gè)去除脈沖噪聲的預(yù)處理加以改進(jìn)。在具體實(shí)現(xiàn)中，采用文獻(xiàn)[24]提出的自適應(yīng)中值濾波法，在算法中內(nèi)置一個(gè)異常值去除器，用小鄰域中值來替換被脈沖噪聲損壞的像素。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2和圖3所示，值得注意的是，預(yù)濾波處理數(shù)據(jù)僅僅作為塊匹配的輸入，整個(gè)去噪模型的輸入仍然是原始含噪圖像。

圖3　APG算法加預(yù)濾波局部放大效果

根據(jù)圖2和圖3，從視覺上已經(jīng)能看出二者的差別。由其是從局部放大圖來看，方法改進(jìn)之后，去噪效果也明顯提高。另外，從客觀量化指標(biāo)來看，APG算法恢復(fù)圖像的PSNR值為23.8964，加預(yù)濾波方法恢復(fù)圖像的PSNR值為26.8347，高出將近3 dB。由此可見，改變塊匹配算法的輸入能使整個(gè)去噪方法達(dá)到更優(yōu)的去噪效果，這種改進(jìn)的有效性得以驗(yàn)證。

4.2基于RPCA的自適應(yīng)去噪實(shí)驗(yàn)

目前，關(guān)于視頻修復(fù)方法，國內(nèi)外已有大量豐富的研究文獻(xiàn)。它們本質(zhì)上可以分為三種類型：局部、非局部以及二者混合，本文研究的是一種非局部方法。因此，我們將從兩個(gè)方面來，與傳統(tǒng)的中值濾波器、非局部均值(NLM)去噪，以及目前公認(rèn)的去噪效果最好的VBM3D算法進(jìn)行對比，從主觀視覺效果和峰值信噪比PSNR兩個(gè)指標(biāo)來評價(jià)去噪效果。

首先是傳統(tǒng)的局部去噪法，我們選擇中值濾波器來作為對比，它是一種基于非線性的信號處理方法，其基本原理就是利用領(lǐng)域模板中灰度值的中值來替換該點(diǎn)像素值。對于非局部方法，NLM是利用圖像自相似性的開創(chuàng)方法之一。在NLM方法中[16]，每個(gè)像素估計(jì)值是在空間域和時(shí)間域上所有像素強(qiáng)度值加權(quán)平均，該權(quán)重值由集中在該像素的圖像塊與集中在其他像素的塊的相似性測量來確定。特別的，近年來比較流行的BM3D算法在圖像去噪中也采取了類似的做法。在VBM3D方法中[17]， 通過尋找相似塊并將其聚集形成一個(gè)三維數(shù)組，然后在3D變換域上對這些三維數(shù)組進(jìn)行聯(lián)合濾波處理，從而去除噪聲。最后，通過對去噪塊的聚集合成得到真實(shí)圖像的最終估計(jì)。

為了驗(yàn)證本文去噪算法的有效性，在相同實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，將本文算法與上述三種方法進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4　各方法去噪效果對比圖

圖5　各方法去噪效果局部放大對比

由圖可以清楚地看到，總體上本文去噪算法的視覺效果及PSNR值都是最優(yōu)。中值濾波器方法的結(jié)果仍有許多明顯的噪聲，在四中方法中效果最差；基于NLM及BM3D方法的結(jié)果對圖像細(xì)節(jié)太平滑，由其是在凌亂部位，還會(huì)出現(xiàn)切斷失真，但相比之下BM3D方法效果更優(yōu)。相反，本文算法由于引入了稀疏矩陣來代表異常值，在恢復(fù)低秩矩陣的同時(shí)也能實(shí)現(xiàn)異常值的檢測。因此，該算法能較好地保留圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息。

4.3量化對比及結(jié)果分析

為了量化評估算法的性能，本文采用峰值信噪比(PSNR)客觀指標(biāo)來衡量圖像質(zhì)量。PSNR是一個(gè)表示信號最大可能功率與影響其精度的噪聲功率的比值?；谛盘栞^寬的動(dòng)態(tài)范圍，一般用對數(shù)分貝單位來表示：

其中，x(i,j)表示圖像在位置(i,j)上的灰度值，y(i,j)表示含噪圖像在位置(i,j)上的灰度值。 PSNR是根據(jù)失真信號與原始信號之間的誤差差異定義的，計(jì)算方法清晰易懂，是評價(jià)圖像質(zhì)量最常用的客觀標(biāo)準(zhǔn)，其值越大表明去噪效果越好。

從表1 可見，本文算法對不同水平的噪聲都具有一定的魯棒性。選擇bus視頻序列的第25幀作為輸出，視頻被高斯噪聲和椒鹽噪聲同時(shí)污染， 其中σ和S的變化范圍分別為5～40和0.01～0.05。我們可以看到，隨著高斯噪聲和椒鹽噪聲水平的加強(qiáng)，去噪效果呈下降趨勢：橫向來看，椒鹽噪聲加強(qiáng)，PSNR值緩慢下降；縱向來看，高斯噪聲加強(qiáng)，PSNR快速下降。

也就是說高斯噪聲比椒鹽噪聲更難去除，由此可以判斷，算法1對椒鹽噪聲的魯棒性優(yōu)于高斯噪聲。從另外一個(gè)角度，對于原始圖像，加入高斯噪聲之后，圖像質(zhì)量下降緩慢；相反，椒鹽噪聲卻使圖像質(zhì)量快速下降。這是由于椒鹽噪聲只有兩個(gè)極值，當(dāng)圖像像素被污染時(shí)，原始信息被完全破壞；而當(dāng)圖像被高斯噪聲污染時(shí)，有大部分信息都被保留了下來。

表1　不同噪聲水平在APG算法下的PSNR值

本文方法的目的在于針對第2節(jié)提出的去噪算法的不足，提出了一種基于RPCA的自適應(yīng)閾值去噪法。該方法結(jié)合了非局部和RPCA技術(shù)，克服了硬閾值的局限，降低了迭代優(yōu)化算法的時(shí)間復(fù)雜度。與第2節(jié)的結(jié)果相比，改進(jìn)之后的算法在去除噪聲的同時(shí)，能夠保持更多的細(xì)節(jié)紋理。另外，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果表2和圖4、圖5，可以清楚地看到，該方法與其他三種算法相比，具有更優(yōu)越的視覺效果和PSNR指標(biāo)，說明該算法的有效性和實(shí)用性。

表2　不同噪聲水平在APG算法下的PSNR值

5　結(jié)　語

本文提出了一種基于RPCA模型的自適應(yīng)視頻去噪算法。該方法運(yùn)用低秩矩陣恢復(fù)理論講視頻去噪轉(zhuǎn)化為基于稀疏與低秩恢復(fù)的問題，極大程度地去除了干擾噪聲并恢復(fù)原始視頻序列。此外，通過加入預(yù)濾波處理與自適應(yīng)閾值的改進(jìn)，該方法能很好地適應(yīng)各種強(qiáng)度的噪聲，魯棒性和自適應(yīng)性較強(qiáng)。在未來的工作中，我們將研究如何用將高階思想(即張量模型)運(yùn)用在該算法中。同時(shí)，也將探索如何將該算法在視頻圖像處理方面的其他運(yùn)用。

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AN ADAPTIVE OPTIMISATION METHOD BASED ON RPCA VIDEO DENOISING

Li XiaoliYang Xiaomei

(Department of Automation, School of Electrical Engineering and Information, Sichuan University, Chengdu 610065, Sichuan, China)

Traditional denoising algorithm cannot well reserve primitive image information while filtering the noise as much as possible. In light of this situation, the paper presents an RPCA-based adaptive video denoising algorithm. First, according to the low-rank property of video data and the sparsity of noise, it utilises the accelerated proximal gradient approach to reconstruct the low-rank component and sparse component of original video, and realises the initial separation of the noise. Then, it uses adaptive median filter to make pre-processing of filtration to improve block matching accuracy, and further removes video noise. Finally, it introduces adaptive singular-value threshold method to enhance the detailed edge information of image, reduces the time complexity of iterative optimisation algorithm. It is demonstrated by experimental result that the proposed algorithm can restore original video sequence to a great deal extent, besides it can also adaptively remove interference noise. The algorithm has significant advantage no matter in objective quantitative indicator PSNR or subjective vision quality compared with traditional denoising algorithms.

Video denoisingLow-rank propertyRobust principal component analysis (RPCA)Adaptive singular-value threshold

2015-06-09。李小利，碩士生，主研領(lǐng)域：視頻圖像去噪。楊曉梅，副教授。

TP3

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2016.09.051