程博，袁建平，馬衛(wèi)華

1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 7100722.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076 3.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

?

基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的航天器多脈沖懸停方法

程博1,2,3，袁建平1,3,*，馬衛(wèi)華1,3

1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 7100722.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076 3.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

基于航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述，研究了空間相對(duì)懸停的多脈沖控制方法，解決了工程實(shí)踐中連續(xù)推力懸停軌道控制技術(shù)對(duì)航天器控制推進(jìn)系統(tǒng)要求較高的難題。給出了兩航天器在圓、橢圓和雙曲線等圓錐曲線參考軌道上相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述。在此基礎(chǔ)上，定性分析了橢圓參考軌道偏心率對(duì)懸停精度的影響，推導(dǎo)了航天器多脈沖懸停速度脈沖控制量的計(jì)算方法。數(shù)值仿真算例顯示，該方法可有效實(shí)現(xiàn)一定懸停精度要求下的空間相對(duì)懸?？刂?，且隨著一個(gè)軌道周期內(nèi)脈沖數(shù)的增加，相對(duì)懸停的效果得到提升。

航天器；相對(duì)運(yùn)動(dòng)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；多脈沖；懸停

隨著航天器在軌服務(wù)技術(shù)、深空探測(cè)技術(shù)等研究的深入推進(jìn)和相關(guān)工程實(shí)踐的廣泛開展，作為其重要支撐技術(shù)的航天器懸停技術(shù)成為近年來逐漸興起的研究方向[1]。

航天器懸停是指通過力和力矩控制，使主動(dòng)航天器相對(duì)目標(biāo)航天器的位置始終保持不變，在目標(biāo)航天器的質(zhì)心軌道坐標(biāo)系中，主動(dòng)航天器相對(duì)目標(biāo)航天器仿佛是靜止懸停于某個(gè)固定點(diǎn)上。主動(dòng)航天器在力的作用下相對(duì)于目標(biāo)航天器在一段時(shí)間內(nèi)相對(duì)位置保持不變的軌道稱為懸停軌道[2]。目前國(guó)內(nèi)外開展的航天器懸停技術(shù)應(yīng)用研究主要有任務(wù)航天器相對(duì)小天體的懸停技術(shù)研究和任務(wù)航天器相對(duì)目標(biāo)航天器的懸停技術(shù)研究[3-8]。

文獻(xiàn)[3]基于兩體引力模型，研究了航天器相對(duì)小行星在體固連坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系下的懸停控制方法，并進(jìn)行了懸?？刂品€(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[4]假設(shè)太陽帆反射面積可變，給出了太陽帆在啞鈴形小行星引力場(chǎng)內(nèi)懸停的動(dòng)力學(xué)方程，并對(duì)可行懸停探測(cè)區(qū)域進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[5]研究了R-bar和V-bar方向上主動(dòng)航天器的懸停加速度，給出了懸?？刂萍铀俣鹊慕馕霰磉_(dá)形式，并分析了參考軌道平面內(nèi)外的懸停速度增量情況。文獻(xiàn)[6]推導(dǎo)的相對(duì)懸?？刂屏Φ慕馕霰磉_(dá)式考慮了地球引力攝動(dòng)的J2項(xiàng)影響，并對(duì)產(chǎn)生最大和最小控制力及燃料消耗的懸停點(diǎn)進(jìn)行了分析。上述懸停應(yīng)用研究的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型均基于連續(xù)推力條件，要求任務(wù)航天器的推進(jìn)系統(tǒng)能夠提供大小和方向均連續(xù)可變的控制加速度。

在目前的工程實(shí)踐中，實(shí)現(xiàn)對(duì)航天器軌道控制推力的連續(xù)精確調(diào)節(jié)仍非常困難，因此有學(xué)者提出基于分段脈沖推力的思想，使主動(dòng)航天器實(shí)現(xiàn)相對(duì)目標(biāo)懸停的目的[2,7-8]。該方法基于線性化后的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)解析解，計(jì)算出實(shí)現(xiàn)分段懸停所需要的速度脈沖大小、方向以及施加速度脈沖的時(shí)間點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]基于C-W方程的解析解，對(duì)水滴形懸停軌道的沖量控制策略和進(jìn)入方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[8]等基于相對(duì)軌道要素的相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述，給出了脈沖推力作用下的水滴懸停構(gòu)型的形成機(jī)理和相關(guān)參數(shù)的影響分析。上述研究有效降低了空間相對(duì)懸停的工程實(shí)施難度，但其相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型均是建立在圓或近圓參考軌道條件下，限制了懸?？刂品椒ǖ膽?yīng)用范圍。

本文基于航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述方法給出了航天器空間懸停的多脈沖方法，實(shí)現(xiàn)了脈沖推力作用下的空間懸?？刂?。本文給出的懸?？刂品椒ɡ诠こ虒?shí)現(xiàn)，可采用具備多次啟停功能的大推力軌控發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)軌道機(jī)動(dòng)的沖量控制[9-10]。同時(shí)，本文方法適用于圓、橢圓和雙曲線等圓錐曲線參考軌道的空間懸停任務(wù)。

1　相對(duì)懸停的軌道動(dòng)力學(xué)

圖1　航天器懸停坐標(biāo)系Fig.1　Coordinate system for hovering spacecraft

為了對(duì)航天器懸停的軌道動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，首先建立主動(dòng)航天器與目標(biāo)航天器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，涉及的坐標(biāo)系主要有J2000地心赤道慣性坐標(biāo)系O-XYZ(簡(jiǎn)稱“慣性坐標(biāo)系”)和目標(biāo)航天器質(zhì)心軌道坐標(biāo)系o-xyz(簡(jiǎn)稱“軌道坐標(biāo)系”)。如圖1所示，慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)在地心O上，X軸在赤道面內(nèi)指向春分點(diǎn)，Y軸在赤道面內(nèi)與X軸垂直指向東，Z軸與X軸、Y軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系。軌道坐標(biāo)系的原點(diǎn)在目標(biāo)航天器質(zhì)心o上，x軸沿地心指向目標(biāo)航天器方向，y軸在軌道平面上與x軸垂直，指向航天器的速度方向，z軸和x軸、y軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系。

如圖1所示，在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系下，主動(dòng)航天器相對(duì)目標(biāo)航天器運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為[11-12]：

(1)

對(duì)于航天器的懸停任務(wù)，由于相對(duì)靜止的特點(diǎn)，主動(dòng)航天器在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系中的相對(duì)速度以及相對(duì)加速度均等于零[2]，即

(2)

將式(2)帶入式(1)得：

(3)

式(3)為航天器懸停時(shí)應(yīng)滿足的動(dòng)力學(xué)方程，通過它可計(jì)算出實(shí)現(xiàn)懸停需施加在主動(dòng)航天器上的控制加速度。由式(3)可以看出該控制加速度為時(shí)變的連續(xù)量。

2　相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

兩航天器相對(duì)懸停時(shí)，相對(duì)距離ρ及其分量與目標(biāo)航天器軌道半徑相比為小量，故它們的模之比ρ/Rt、x/Rt、y/Rt和z/Rt的二階及二階以上項(xiàng)為高階小量，在進(jìn)行近似計(jì)算時(shí)，可以略去。對(duì)式(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化，略去二階以上小量后可得簡(jiǎn)化的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[12]：

(4)

分析方程(4)可知，求解該二階非齊次微分方程組較為復(fù)雜，且當(dāng)主動(dòng)航天器所受外力a為任意時(shí)間函數(shù)時(shí)，不存在一般解析解[12-13]。為得到兩航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的解析表達(dá)形式，需要對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(4)進(jìn)行簡(jiǎn)化和求解。

假設(shè)主動(dòng)航天器不受外力作用，以自由狀態(tài)與目標(biāo)航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可將方程(4)化成齊次形式，即

對(duì)于目標(biāo)航天器，其角動(dòng)量h的模為

(5)

目標(biāo)航天器以開普勒軌道運(yùn)行，其角動(dòng)量守恒，應(yīng)為常值，故由式(5)可得：

(6)

式中：k=μh-3/2，為常值參量。

應(yīng)用變量代換法，將方程(4)中對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成對(duì)目標(biāo)航天器真近角θ的導(dǎo)數(shù)得：

(7)

若令ξ=1+ecosθ，則有下面等式成立：

(8)

將式(8)帶入式(7)得：

(9)

對(duì)式(9)進(jìn)行變量代換：

(10)

則相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可寫成如下簡(jiǎn)單形式：

(11)

對(duì)式(11)進(jìn)行求解可得相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表達(dá)式[14]：

(12)

式中：J=(h/p2)(t-t0)；c=ξcosθ；s=ξsinθ；c′=-sinθ-esin(2θ)；s′=cosθ+ecos(2θ)。

由式(12)可得：

(13)

(14)

將式(14)代入Φθ表達(dá)式，并求Φθ0行列

式有：

(15)

(16)

值得注意的是，對(duì)于常見的橢圓參考軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其目標(biāo)航天器軌道即參考軌道的幾何描述為：

(17)

分析式(17)可知，在目標(biāo)航天器軌道半長(zhǎng)軸at不變的情況下，若增大其偏心率，則目標(biāo)航天器軌道半徑Rt將減小。因本文在進(jìn)行相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程求解時(shí)進(jìn)行了一階近似，舍去了ρ/Rt的二階及二階以上的小量。故在懸停距離ρ不變的情況下，增大參考軌道偏心率，將增加式(13)所描述的兩航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方法誤差。因此在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合相對(duì)運(yùn)動(dòng)精度要求來確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的應(yīng)用范圍。

3　基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的多脈沖懸停

基于第1節(jié)的推導(dǎo)可以得出連續(xù)推力作用下的空間相對(duì)懸停控制，但在實(shí)際的航天任務(wù)中，往往很難實(shí)現(xiàn)對(duì)主動(dòng)航天器軌道控制推力大小和方向的連續(xù)自由控制，則兩航天器相對(duì)加速度始終為零的情況很難長(zhǎng)時(shí)間保持。從空間懸停的基本目標(biāo)出發(fā)，即實(shí)現(xiàn)兩航天器相對(duì)位置保持不變，舍去對(duì)相對(duì)加速度的控制，考慮采用沖量控制手段，在一個(gè)固定周期內(nèi)使兩航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)始末的相對(duì)位置不變，相對(duì)速度為零。若該固定周期足夠短或滿足工程應(yīng)用，則可近似認(rèn)為實(shí)現(xiàn)兩航天器在空間的“持續(xù)”相對(duì)懸停，即兩航天器的多脈沖相對(duì)懸停。

(18)

式(18)的每個(gè)子陣均為三維方陣。則式(13)可寫成如下形式：

(19)

(20)

對(duì)于懸停的兩航天器，主動(dòng)航天器相對(duì)目標(biāo)航天器運(yùn)動(dòng)終止時(shí)刻的相對(duì)距離應(yīng)與初始時(shí)刻相同。則由式(19)可得：

(21)

(22)

(23)

需要注意的是，這里的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)均是基于式(10)變量代換之后的，實(shí)際計(jì)算時(shí)應(yīng)將其轉(zhuǎn)回到目標(biāo)航天器質(zhì)心軌道坐標(biāo)系下。

4　仿真分析

為了直觀展示本文給出的航天器多脈沖懸停方法的效果，本節(jié)給出了相關(guān)數(shù)值仿真結(jié)果。仿真中，目標(biāo)航天器在橢圓開普勒軌道上飛行，其軌道參數(shù)如表1所示。

表1　目標(biāo)航天器初始條件

4.1航天器多脈沖懸停

設(shè)初始時(shí)刻主動(dòng)航天器相對(duì)目標(biāo)航天器的位置ρ0(單位km)和速度v0(單位km/s)在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系下的分量分別為：

要求的理論懸停點(diǎn)d與兩航天器初始時(shí)刻的相對(duì)位置ρ0相同。分別選擇在一個(gè)軌道周期內(nèi)進(jìn)行5次、10次和20次脈沖懸停，且每次脈沖變軌時(shí)間相同。圖2給出了主動(dòng)航天器相對(duì)目標(biāo)航天器多脈沖懸停的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的仿真結(jié)果。

從圖2可以看出，懸停脈沖數(shù)越多，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡越平滑，即越趨向于在懸停點(diǎn)的穩(wěn)定懸停。同時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡與懸停點(diǎn)之間有一定偏差，該偏差的產(chǎn)生是由于，本文給出的多脈沖懸停方法在計(jì)算相對(duì)運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻的速度脈沖時(shí)是以脈沖變軌初始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻的相對(duì)位置相同為前提的，且基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述是在舍去了二階項(xiàng)的基礎(chǔ)上得出，與非線性表達(dá)方法相比存在方法誤差，多次脈沖變軌產(chǎn)生了誤差累積，于是表現(xiàn)出相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡與設(shè)定的懸停點(diǎn)之間存在一定的偏差。但從仿真結(jié)果來看，偏差相對(duì)較小，總體可控。

圖2　多脈沖懸停相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2　Trajectory of the relative motion of multiple-pulse hovering

4.2參考軌道偏心率對(duì)懸停的影響

設(shè)多脈沖懸停的懸停點(diǎn)平均誤差為：

(24)

式中：N為懸停脈沖數(shù)；Δri為各懸停點(diǎn)的懸停誤差矢量。圖3給出了參考軌道偏心率e與Δr之間的變化規(guī)律。

圖3　參考軌道偏心率對(duì)懸停的影響Fig.3　Influence of eccentricity of reference orbit

從圖3可以看出，隨著目標(biāo)航天器軌道偏心率e增大，Δr不斷增大，且增加的速度不斷加快。本文第2節(jié)給出的相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述方法本身適用于任意偏心率橢圓參考軌道，但隨著參考軌道偏心率的增大，本文給出的多脈沖變軌方法的累積誤差及懸停點(diǎn)誤差積累的速度不斷增加，導(dǎo)致在較大偏心率參考軌道情況下，多脈沖懸停的精度有所下降。工程應(yīng)用時(shí)可根據(jù)對(duì)懸停精度的要求進(jìn)行綜合考慮。

5　結(jié)束語

基于航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述方法，本文給出了航天器空間懸停的多脈沖方法，解決了基于連續(xù)推力作用的空間懸停軌道控制技術(shù)在工程實(shí)踐中對(duì)航天器控制推進(jìn)系統(tǒng)要求較高的難題，實(shí)現(xiàn)了脈沖推力作用下的空間懸?？刂啤１疚慕o出的空間懸?？刂品椒ㄟm用于圓、橢圓和雙曲線等圓錐曲線參考軌道的空間懸停任務(wù)，應(yīng)用范圍廣。參考軌道偏心率會(huì)對(duì)懸停效果產(chǎn)生一定影響。本文建立了基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的懸停脈沖控制量線性計(jì)算方法，計(jì)算簡(jiǎn)便，利于工程實(shí)現(xiàn)和在軌應(yīng)用。

對(duì)文中給出的航天器多脈沖懸停方法進(jìn)行數(shù)值仿真分析，結(jié)果顯示，在一定精度范圍內(nèi)，本文方法可實(shí)現(xiàn)主動(dòng)航天器相對(duì)目標(biāo)航天器的空間相對(duì)懸停，且隨著一個(gè)軌道周期內(nèi)脈沖數(shù)的增加，懸停效果得到提升。

本文給出的航天器多脈沖懸停方法推導(dǎo)過程中進(jìn)行了一階近似，且未考慮地球引力攝動(dòng)的影響，相對(duì)懸停存在一定誤差，且該誤差存在累積效應(yīng)，會(huì)對(duì)懸停精度產(chǎn)生影響，后續(xù)應(yīng)進(jìn)一步研究消除相對(duì)懸停誤差的有效方法，以提升懸停精度，但對(duì)于懸停精度要求不高的工程任務(wù)，本文給出的方法具有應(yīng)用價(jià)值。

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(編輯：高珍)

Spacecraft multiple-pulse hovering method based on state transition matrix

CHENG Bo1,2,3，YUAN Jianping1,3,*，MA Weihua1,3

1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China 2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China 3. National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Xi′an 710072, China

Based on a state transition matrix, a method for spacecraft multiple-pulse hovering was presented. The relative motion dynamics model and the state transition matrix were introduced to describe the relative motion of two spacecraft in circular, elliptical and hyperbolic reference orbits. A method of achieving the orbit-transfer velocity increment for hovering was deduced using the state transition matrix. The numerical simulation shows that the proposed method can achieve spacecraft relative hovering effectively. With the increasing of impulse number, the precision of relative hovering is promoted. Moreover, the precision of relative hovering is influenced by the eccentricity of reference orbit.

spacecraft；relative motion；state transition matrix；multiple-pulse；hovering

10.16708/j.cnki.1000-758X.2016.0061

2016-03-11；

2016-06-19；錄用日期：2016-08-22；

時(shí)間：2016-09-2113:41:17

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20160921.1341.001.html

程博(1983-)，男，博士研究生，cheng_bob@163.com,研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)

袁建平(1957-)，男，教授，jyuan@nwpu.edu.cn，研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計(jì)、航天飛行動(dòng)力學(xué)與控制

V412.4

A

http:∥zgkj.cast.cn

引用格式：程博, 袁建平, 馬衛(wèi)華. 基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的航天器多脈沖懸停方法[J]. 中國(guó)空間科學(xué)技術(shù), 2016,36(5)：81-87.

CHENGB,YUANJP,MAWH.Spacecraftmultiple-pulsehoveringmethodbasedonstatetransitionmatrix[J].ChineseSpaceScienceandTechnology, 2016,36(5)：81-87(inChinese).