安徽省淮北一中　王洪洲

全面認(rèn)識(shí)反函數(shù)

安徽省淮北一中王洪洲

反函數(shù)是一個(gè)較抽象的概念，而教材只給出一種描述性的定義，增加了我們理解反函數(shù)的難度。本文從反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、求法和巧妙應(yīng)用等幾個(gè)環(huán)節(jié)入手，對(duì)反函數(shù)進(jìn)行全面認(rèn)識(shí)。

性質(zhì)1函數(shù)y=f（x）在某一區(qū)間上存在反函數(shù)?該函數(shù)在該區(qū)間上是一一映射。

性質(zhì)2原函數(shù)的圖像與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

性質(zhì)3原函數(shù)的定義域是其反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是其反函數(shù)的定義域。

性質(zhì)5原函數(shù)與其反函數(shù)的單調(diào)性相同，原函數(shù)與其反函數(shù)的奇偶性相同。

一、反函數(shù)的存在問題

例1函數(shù)f（x）=x2-2ax-3在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)，則a∈（）。

A.（-∞，1］ B.［2，+∞）

C.（-∞，1］∪［2，+∞） D.［1，2］

解析由性質(zhì)1可知，函數(shù)f（x）=x2-2ax-3在區(qū)間［1，2］為單調(diào)函數(shù)，所以a?（1，2），故選C。

評(píng)注函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間上單調(diào)與其在該區(qū)間上存在反函數(shù)不等價(jià)。

二、求反函數(shù)的問題

解析求反函數(shù)有三步驟。

步驟三：對(duì)調(diào)x、y，注明反函數(shù)的定義域，

評(píng)注求反函數(shù)的“三部曲”是基礎(chǔ)，是理解反函數(shù)的“根”。

三、與反函數(shù)的定義域和值域有關(guān)的求值問題

例3函數(shù)f（x）=x2-1（x≥1）的反函數(shù)為y=f-1（x），則y=f-1（2）的值為（）。

解析函數(shù)f（x）=x2-1的定義域是［1，+∞），值域是［0，+∞），

選項(xiàng)B、D都不對(duì)。

四、與反函數(shù)圖像有關(guān)的問題

例4已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f-1（x），則y=f-1（1-x）的圖像是（）。

五、反函數(shù)的巧用

例5對(duì)定義在區(qū)間I上的函數(shù)g（x），記g（I）=｛y|y=g（x），x∈I｝，已知定義域?yàn)椋?，3］的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f-1（x），且f-1（［0，1））=［1，2），f-1（（2，4］）=［0，1），若方程f（x）-x=0有解x0，則x0=_______。

解析由性質(zhì)1和性質(zhì)3可知：

當(dāng)x∈［0，1）時(shí)，f（x）∈（2，4］；x∈［1，2）時(shí)，f（x）∈［0，1）。

而y=f（x）的定義域?yàn)椋?，3］，

故當(dāng)x∈［2，3］時(shí)，f（x）的取值應(yīng)在（-∞，0）∪［1，2］∪（4，+∞）中。

故若f（x0）=x0，只有x0=2。

A.［1，e］B.［1，1+e］C.［e，1+e］D.［0，1］

所以存在x∈［0，1］，使f（x）=x有解，

化簡(jiǎn)為x2-x+a=ex，

令F（x）=x2-x+a，G（x）=ex，x∈［0，1］

若上式成立，則y=F（x）與y=G（x）的圖像有交點(diǎn)。如右圖，a即為y=F（x）與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，隨著a的變化，y=F（x）的圖像上下移動(dòng)。數(shù)形結(jié)合可得a∈［1，e］，故選A。

在對(duì)應(yīng)過程中，反函數(shù)中的變量關(guān)系與原函數(shù)發(fā)生了反向變化。反函數(shù)提供了觀察變量關(guān)系的一個(gè)新視角。對(duì)反函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)能激活發(fā)散思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。