陳文峰　李少東　楊軍

基于LBI的二維復(fù)稀疏信號(hào)重建算法及應(yīng)用研究

陳文峰1李少東1楊軍1

針對(duì)二維復(fù)稀疏信號(hào)重建時(shí)存在存儲(chǔ)空間和計(jì)算復(fù)雜度增加的問題，本文提出了一種快速并行重建二維復(fù)稀疏信號(hào)的并行線性Bregman迭代（Parallel fast linearized Bregman iteration，PFLBI）算法.首先，構(gòu)建了二維復(fù)稀疏信號(hào)的結(jié)構(gòu)模型以及PFLBI算法基本迭代格式；其次，通過變步長方式提高迭代收斂速度，而每次迭代的步長則是通過估計(jì)中間變量的積累量突破收縮閾值需要的積累步數(shù)得到的；再次，對(duì)算法的性能指標(biāo)進(jìn)行了分析；最后，將該算法應(yīng)用于逆合成孔徑雷達(dá)（Inverse synthetic aperture radar，ISAR）成像.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法在重建性能和速度上具有優(yōu)勢.

稀疏重建，二維信號(hào)處理，線性Bregman迭代，ISAR成像

引用格式陳文峰，李少東，楊軍.基于LBI的二維復(fù)稀疏信號(hào)重建算法及應(yīng)用研究.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2016，42（4）:556?565

壓縮感知（Compressive sensing，CS）理論作為一種新的信息獲取手段，可基于信號(hào)結(jié)構(gòu)的稀疏特性，在遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的條件下，通過少數(shù)量測值實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的精確重建［1?2］.由于能夠有效緩解數(shù)據(jù)傳輸、存儲(chǔ)和處理等方面的壓力，相關(guān)的研究成果已涉及到圖像［3］、通信［4］和雷達(dá)［5］等眾多領(lǐng)域［6］.稀疏重建算法作為CS的核心內(nèi)容之一，在一定程度上決定著能否將CS推向?qū)嵱没?］.傳統(tǒng)的重建算法及相關(guān)研究大多是針對(duì)一維實(shí)信號(hào)［8］.然而在實(shí)際應(yīng)用場景中，如陣列信號(hào)處理［9］、SAR［10?11］、ISAR（Inverse synthetic aperture radar）［12］和磁共振成像［13］等，待處理的往往是多維復(fù)數(shù)信號(hào).目前對(duì)多維信號(hào)的處理主要有以下三種思路：1）將多維信號(hào)列向量化為一維；然后，利用一維重建算法進(jìn)行處理，但是這種處理會(huì)使得感知矩陣規(guī)模急劇變大，顯著增加計(jì)算復(fù)雜度.2）基于Kronecker積CS的思想［14］，其主要通過構(gòu)建可分離感知算子降低算法的復(fù)雜度，實(shí)際上，利用小規(guī)模量測矩陣的Kronecker積對(duì)向量化的多維信號(hào)采樣與利用小規(guī)模量測矩陣進(jìn)行逐一采樣是等價(jià)的.3）利用信號(hào)的聯(lián)合結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行多維處理.如文獻(xiàn)［15］基于信號(hào)的塊稀疏特征，將二維信號(hào)分為更小的塊，然后利用塊對(duì)角量測矩陣代替原始密集的量測矩陣進(jìn)行采樣，有效地降低了存儲(chǔ)空間和計(jì)算復(fù)雜度.文獻(xiàn)［16］基于二維信號(hào)的聯(lián)合稀疏特征，利用同一個(gè)感知矩陣進(jìn)行重建.但是當(dāng)二維信號(hào)的稀疏結(jié)構(gòu)具有任意性時(shí)，文獻(xiàn)［15?16］所提算法的性能將變差.針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)［17］提出利用并行CS方案進(jìn)行并行感知，并放松了對(duì)應(yīng)的RIP（Restricted isometry property）條件.但文獻(xiàn)［17］依然是對(duì)二維信號(hào)每列逐一重建，計(jì)算復(fù)雜度仍然較高，且該方法是在實(shí)數(shù)情況下討論的，若在復(fù)信號(hào)情況下利用該方法，則需利用文獻(xiàn)［10］的實(shí)數(shù)化方法，存儲(chǔ)空間和計(jì)算復(fù)雜度會(huì)進(jìn)一步增加.

而目前對(duì)復(fù)數(shù)信號(hào)重建主要有兩種思路：1）將復(fù)信號(hào)的實(shí)部和虛部排列為實(shí)數(shù)化的信號(hào)后進(jìn)行重建的思路［10］，該方法會(huì)增加信號(hào)以及感知矩陣的規(guī)模，造成存儲(chǔ)空間和計(jì)算量增加.2）文獻(xiàn)［8］采取迭代交替估計(jì)幅度和相位的思路進(jìn)行復(fù)信號(hào)重建，但這種方法相當(dāng)于兩次優(yōu)化過程，增加了計(jì)算復(fù)雜度.

為有效實(shí)現(xiàn)對(duì)二維復(fù)稀疏信號(hào)的快速重建，本文在線性Bregman迭代（Linearized Bregman iteration，LBI）的基礎(chǔ)上，提出一種快速并行重建復(fù)稀疏信號(hào)的并行線性Bregman迭代（Parallel fast linearized Bregman iteration，PFLBI）算法.首先，構(gòu)建了二維復(fù)稀疏信號(hào)的結(jié)構(gòu)模型，詳細(xì)分析了其信號(hào)結(jié)構(gòu)特征；其次，從理論上推導(dǎo)了對(duì)二維復(fù)稀疏信號(hào)并行重建的并行Bregman迭代格式；然后，采用估計(jì)迭代步長的方法加快收斂過程以提高運(yùn)算速度；最后，對(duì)PFLBI算法的收斂性，抗噪性和計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析，仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性.將PFLBI算法應(yīng)用于ISAR成像中，仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)成像結(jié)果都驗(yàn)證了算法的良好性能.

1　二維復(fù)稀疏信號(hào)模型

對(duì)于一個(gè)二維復(fù)稀疏信號(hào)，可以用矩陣形式來表示，假設(shè)二維復(fù)稀疏信號(hào)只有K個(gè)非零元素，此時(shí)稱X是K稀疏的，X的稀疏程度可以用稀疏度向量來表示，其中Kd表示X的第d列的稀疏度，顯然有圖1給出了二維復(fù)稀疏信號(hào)的示意圖.圖1（a）給出了信號(hào)的幅度和位置，為更清晰地描述信號(hào)結(jié)構(gòu)，圖1（b）給出了信號(hào)的位置關(guān)系圖，其中黑點(diǎn)表示該點(diǎn)為非零元素，白點(diǎn)表示該點(diǎn)為零元素.可以看出，當(dāng)二維復(fù)稀疏信號(hào)具有任意稀疏結(jié)構(gòu)時(shí)，其每一列的稀疏度和非零元素的位置都是任意的.而二維復(fù)稀疏信號(hào)的重建可表示為如下的數(shù)學(xué)問題：

圖1　任意稀疏結(jié)構(gòu)二維復(fù)稀疏信號(hào)示意圖Fig.1　The illustration of the 2D complex sparse signal with arbitrary sparse structure

利用X的稀疏特性約束，求解式（1）的稀疏解問題可以描述為如下優(yōu)化問題［18］：

其中，‖X‖0，q=|supp（X）|，supp（X）為X的支撐集，即非零元素的個(gè)數(shù).文獻(xiàn)［17］證明了利用并行CS方案時(shí)，若感知矩陣Θ滿足RIP條件，則二維復(fù)稀疏信號(hào)X能夠從量測值Y中精確重建出來.由于式（3）是NP難的問題，在感知矩陣Θ滿足RIP條件下，可將式（3）轉(zhuǎn)化為以下凸優(yōu)化問題［18］：

考慮到實(shí)際中存在噪聲，為從含有噪聲的量測值Y中恢復(fù)稀疏信號(hào)X，放松式（4）的約束項(xiàng)，利用正則化參數(shù)μ控制稀疏度和誤差，轉(zhuǎn)化為如下正則化形式［19］：

其中，‖·‖F(xiàn)表示矩陣的Frobenius范數(shù)，簡稱F范數(shù)，定義如下［20］：

其中，tr（·）為矩陣的跡，即對(duì)角線元素之和.

2　PFLBI算法

為高效準(zhǔn)確地求解式（5），本文提出PFLBI算法，該算法主要包括兩個(gè)方面：1）構(gòu)建PFLBI算法基本迭代格式，即將LBI拓展到二維復(fù)稀疏信號(hào)模型中，實(shí)現(xiàn)對(duì)二維復(fù)稀疏信號(hào)的并行重建；2）快速實(shí)現(xiàn)，即通過迭代步長的估計(jì)提高收斂速度，有效避免處理時(shí)造成的冗余計(jì)算，提高運(yùn)算速度.下面進(jìn)行具體介紹和分析.

2.1PFLBI算法基本迭代格式

PFLBI算法基本迭代格式的構(gòu)建主要包括兩部分：1）利用Bregman距離得到求解式（5）的Bregman迭代；2）將求解式（5）的Bregman迭代線性化，得到復(fù)矩陣形式的LBI.首先給出求解式（5）的PFLBI算法基本迭代格式，然后再對(duì)其證明.

采用LBI求解式（5）的最終迭代結(jié)果可表示為

其中，Xk+1為迭代輸出，Vk+1為中間變量，X0=V0=0，k=0，soft（·）為復(fù)矩陣條件的軟閾值算子，定義如下：

其中，Vij為復(fù)數(shù)矩陣V中第i行第j列的元素，|Vij|表示Vij的模.在對(duì)上式進(jìn)行證明之前，首先給出兩個(gè)定義：

1）不可微凸函數(shù)J（X）在點(diǎn)X 處的次微分定義為［21］

其中，S為J（X）的可行域，〈·，·〉為內(nèi)積，矩陣P∈?J（X）稱為J（X）在點(diǎn)X處的次梯度.

2）凸函數(shù)J（X）上的點(diǎn)X和V的Bregman距離定義為［22］

其中，向量P∈?J（V）為凸函數(shù)J（X）在點(diǎn)V的次微分中的一個(gè)次梯度.

用J（X）的Bregman距離代替J（X），可得到式（5）對(duì)應(yīng)的Bregman迭代形式：

將J=μ||X||1帶入式（12）并忽略常數(shù)項(xiàng)得：

其中，?V=ΘH?Y?ΘXk￠.將ΘH（Y?ΘXk）=Vk+1?Vk及pk=Vk?Xk/δ代入式（19）得：

式（20）可用下式求解

結(jié)合式（18）和（21）即得PFLBI算法基本迭代格式，此時(shí)完成了對(duì)式（7）的證明.

2.2快速實(shí)現(xiàn)

由于LBI存在停滯現(xiàn)象，式（7）也類似地存在停滯現(xiàn)象，因此需要研究消除這一現(xiàn)象的方法.文獻(xiàn)［23］分析了LBI中停滯現(xiàn)象產(chǎn)生的原因：即一次或幾次中間變量的積累量不足以突破收縮閾值，以至于這幾次迭代時(shí)的輸出保持不變.為解決這一問題，文獻(xiàn)［23］提出利用改變迭代步長思想以消除實(shí)信號(hào)的停滯現(xiàn)象，取得了較好的效果，有效地加快了LBI的收斂速度.本文將該思想用于在二維復(fù)信號(hào)重建以消除停滯現(xiàn)象，下面進(jìn)行具體分析.

消除停滯現(xiàn)象的重點(diǎn)在于估計(jì)V突破閉區(qū)間［?μ，μ］需要的步長，在停滯時(shí)間內(nèi)，V的增量?V=ΘH?Y?ΘXk￠可認(rèn)為是固定的.那么停滯期間的迭代過程可表示為

為計(jì)算停滯步長，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理.對(duì)Xk，Vk，Xk+j，Vk+j和?V分別進(jìn)行矩陣向量化處理，即

定義I0為零元素的索引集

非零元素的支撐集，此時(shí)式（22）可改寫為如下分段形式：

當(dāng)且僅當(dāng)I0中的元素突破閉區(qū)間［?μ，μ］的限制時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的非零元素，從而消除停滯現(xiàn)象.當(dāng)時(shí)，可以利用式（24）估計(jì)突破限制需要的積累步數(shù)，即

因此，當(dāng)Xk在兩步迭代保持不變時(shí)，認(rèn)為其處于迭代停滯狀態(tài)，此時(shí)可通過增加Vk的變化量以突破［?μ，μ］，從而使Xk加速到停滯的臨界點(diǎn)，以此減少積累時(shí)間，加快算法運(yùn)行速度.

注意到，本文方法能否較好地消除停滯現(xiàn)象主要取決于停滯狀態(tài)Xk+s=Xk的判斷是否準(zhǔn)確.通常判斷Xk+s=Xk是利用兩者之差小于一個(gè)較小的常數(shù)ε，ε的取值不同會(huì)使算法的收斂速度不同：若ε的取值過小時(shí)，則兩步迭代的Xk非常接近時(shí)，算法才會(huì)估計(jì)迭代步長，此時(shí)算法的收斂速度就較慢；若ε的取值較大時(shí)，則兩步迭代的Xk相差較大時(shí)，算法便會(huì)估計(jì)迭代步長，此時(shí)算法的收斂速度就較快，但是，若ε的取值過大，算法會(huì)不收斂，因此選擇ε時(shí)，需要考慮在算法收斂的條件下，選擇較大的值，來獲得較快的收斂速度，以減小停滯現(xiàn)象影響.

3　算法性能分析

3.1收斂性分析

對(duì)算法的收斂性進(jìn)行分析時(shí)，主要分析式（7）是否收斂，因?yàn)镻FLBI算法的輸出序列是式（7）的子序列，因此，若式（7）收斂，則PFLBI算法必收斂.

下面對(duì)式（7）的收斂性進(jìn)行分析.文獻(xiàn)［24］給出了線性Bregman迭代的收斂性結(jié)論及證明，該文中的線性Bregman迭代可認(rèn)為是式（7）的特殊情況，即實(shí)數(shù)向量形式，描述為式（26）.

將文獻(xiàn)［24］對(duì)于式（26）的收斂性定理描述為定理1.

實(shí)際中，為保證運(yùn)算速度，算法處理時(shí)針對(duì)的是復(fù)數(shù)信號(hào).在分析收斂性時(shí)，為方便分析，可利用式（31）將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)進(jìn)行分析［10］.

轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)后，式（30）滿足定理1，顯然式（29）也滿足定理1，即式（7）滿足定理1的收斂性結(jié)論，又有PFLBI算法的輸出序列是式（7）的子序列，因此PFLBI算法也滿足定理1的收斂性結(jié)論.

3.2抗噪性分析

PFLBI算法的主體部分是式（7），因此主要分析式（7）.為方便分析抗噪性能，類似于文獻(xiàn)［25］，將式（7）寫為等價(jià)的式（32）.

與第一次迭代含噪量測輸入Y1相比，未恢復(fù)信號(hào)?X1變?yōu)閮杀?，同時(shí)Y2包含的噪聲分量也變?yōu)閮杀?由于第二次迭代新的含噪量測輸入Y2可分解為Y2=ΘX2+ΘB2，利用Y2求解X2時(shí)，Y2中的信號(hào)成分不僅使X2繼承了X1，而且重建了未恢復(fù)信號(hào)?X1的部分信息，因此X2比X1更逼近 ˉX.若已知噪聲方差Σ2，則可以利用下式作為噪聲條件下的停止準(zhǔn)則：

3.3計(jì)算復(fù)雜度分析

下面通過計(jì)算量分析比較算法的重建速度，以一次加法或乘法為計(jì)算量單位.

首先分析式（7）的計(jì)算量，一次迭代的計(jì)算量為O（D（4MN+2N）），假設(shè)經(jīng)過L次循環(huán)得到最終解，那么式（7）的計(jì)算量為O（DL（4MN+2N））. PFLBI算法的計(jì)算量主要也是式（7）的迭代，主要是迭代次數(shù)不同，假設(shè)迭代L1次終止，那么總的計(jì)算量為O（DL1（4MN+2N））.由于PFLBI算法估計(jì)了停滯步長，因此有L1＜L.因此，PFLBI算法比式（7）的計(jì)算量更小，運(yùn)算速度更快.

3.4并行性分析

本文算法不同于傳統(tǒng)的逐列重建，而是整個(gè)矩陣同時(shí)重建，即多列同時(shí)重建.具有多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的思想，因而具有并行性.需要注意的是，本文算法的并行性和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域利用多部計(jì)算機(jī)同時(shí)處理的并行計(jì)算并不完全相同，僅是思想相同.下面進(jìn)行具體分析.

首先將LBI拓展到二維復(fù)稀疏信號(hào)模型中，實(shí)現(xiàn)直接對(duì)矩陣進(jìn)行處理，以及對(duì)二維復(fù)稀疏信號(hào)的并行重建.此外，體現(xiàn)本文算法并行性關(guān)鍵的一點(diǎn)是處理矩陣時(shí)，將原始對(duì)向量收縮的軟閾值算子改進(jìn)為可直接對(duì)矩陣進(jìn)行收縮的軟閾值算子，因而本文算法能夠并行重建二維復(fù)稀疏信號(hào).

4　仿真與實(shí)驗(yàn)

這里首先通過仿真對(duì)算法的性能進(jìn)行驗(yàn)證分析，然后通過仿真數(shù)據(jù)及實(shí)測數(shù)據(jù)的ISAR成像進(jìn)一步驗(yàn)證算法的性能與優(yōu)勢，仿真中，采用計(jì)算機(jī)語言為Matlab語言，計(jì)算機(jī)主要參數(shù)如下：處理器為Intel酷睿E7500，主頻為2.93GHz，內(nèi)存為2GB.

4.1算法性能驗(yàn)證與分析

仿真1.可行性驗(yàn)證

本仿真主要驗(yàn)證本文算法對(duì)于已有復(fù)數(shù)模型算法的有效性，因此重點(diǎn)與文獻(xiàn)［8，10］中的方法進(jìn)行比較.針對(duì)一般的復(fù)數(shù)信號(hào)，其中a幅度服從正態(tài)分布a～N（0，1），θ服從均勻分布的長度為256，稀疏度為10，感知矩陣是128×256的隨機(jī)高斯矩陣，算法停止準(zhǔn)則為，最大迭代次數(shù)為5000，相對(duì)重建誤差定義為仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2　本文算法重建結(jié)果Fig.2　Reconstruction results by the proposed algorithm

從圖2中可以看出，文獻(xiàn)［8，10］的方法以及本文的PFLBI算法都能夠有效地重建稀疏復(fù)信號(hào)的幅度和相位，驗(yàn)證了本文算法的有效性.

仿真2.收斂性驗(yàn)證

下面通過仿真對(duì)算法的收斂性進(jìn)行驗(yàn)證，仿真參數(shù)與仿真1相同，相對(duì)重建誤差的對(duì)數(shù)和迭代次數(shù)的變化關(guān)系如圖3所示.

圖3　算法收斂性驗(yàn)證Fig.3　Verification of convergence of the proposed algorithm

從圖3可以看出，式（7）和PFLBI算法的輸出序列的相對(duì)重建誤差隨迭代次數(shù)的增加，最終減小到設(shè)定的停止門限，驗(yàn)證了PFLBI算法收斂性.同時(shí)可看出式（7）存在停滯現(xiàn)象，PFLBI算法通過估計(jì)迭代步長的方法有效地消除了停滯，減少了迭代次數(shù)，加快了收斂速度，體現(xiàn)出PFLBI算法的優(yōu)勢.此外，可以看出，算法的收斂速度與ε的取值有關(guān)，ε值越小，則收斂速度越慢；ε值越大，則收斂速度越快；但ε的取值過大時(shí)，則算法不收斂，仿真驗(yàn)證了理論分析的正確性.

仿真3.抗噪性驗(yàn)證

本仿真主要考察PFLBI算法的重建精度對(duì)信噪比的敏感度，并與文獻(xiàn)［8］和文獻(xiàn)［10］的方法進(jìn)行比較，仿真參數(shù)與仿真1相同，噪聲取復(fù)高斯白噪聲，信噪比的取值范圍是［0dB～35dB］，步長為5，Monte Carlo仿真100次.圖4為相對(duì)重建誤差與信噪比的關(guān)系.

由圖4可以看出，在較低的信噪比下，3種算法的相對(duì)重建誤差都比較大，都不能準(zhǔn)確地重建出原始信號(hào)；隨著信噪比的增大，3種算法的相對(duì)重建誤差都越來越小.可以看出本文PFLBI算法優(yōu)于文獻(xiàn)［8，10］的方法.

圖4　相對(duì)重建誤差與信噪比的關(guān)系Fig.4　Relationship between relative reconstruction error and SNR

仿真4.運(yùn)算時(shí)間比較

本仿真主要驗(yàn)證PFLBI算法的速度優(yōu)勢，仿真時(shí)與文獻(xiàn)［8，10］的方法進(jìn)行比較.PFLBI算法停止準(zhǔn)則及最大迭代次數(shù)與仿真1相同.信號(hào)序列長度的取值范圍是［256～1024］，步長為128，Monte Carlo仿真100次.不同算法的運(yùn)算時(shí)間關(guān)系如圖5所示.

圖5　不同算法運(yùn)算時(shí)間比較Fig.5　Comparison of CPU time of different algorithms

由圖5可知，隨著信號(hào)序列長度的增加，算法的運(yùn)算時(shí)間都有所增加，由于文獻(xiàn)［8］的方法需要兩次優(yōu)化，因此時(shí)間最長；文獻(xiàn)［10］的方法需要將復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)化，增加了信號(hào)序列和感知矩陣的維度；而本文算法能夠直接處理復(fù)數(shù)信號(hào)，所用時(shí)間較短，驗(yàn)證了本文算法的優(yōu)勢.

4.2仿真數(shù)據(jù)ISAR成像

為更好地驗(yàn)證本文算法的優(yōu)勢，將所提算法應(yīng)用于ISAR方位向成像.CS ISAR成像的核心思想是利用ISAR圖像的稀疏性，從少量回波中得到高分辨率甚至超分辨率圖像.文獻(xiàn)［12，26?27］已經(jīng)對(duì)CS ISAR成像做了較為全面深入的研究，本文算法應(yīng)用于ISAR方位向成像的基礎(chǔ)與這些文獻(xiàn)相同，這里就不再贅述.文獻(xiàn)［12，26?27］中的CS ISAR方位向成像是逐個(gè)距離單元進(jìn)行重建，而本文方法是利用所提的PFLBI算法對(duì)所有距離單元同時(shí)重建，達(dá)到并行處理的目的，在保證成像質(zhì)量的同時(shí)提高了成像效率.仿真參數(shù)設(shè)置如下：發(fā)射信號(hào)為線性調(diào)頻（Linear frequency modulation，LFM）信號(hào)，載頻為10GHz，發(fā)射脈沖時(shí)寬10μs，信號(hào)帶寬為400MHz，采樣頻率為800MHz，脈沖重復(fù)頻率為200Hz.目標(biāo)為34個(gè)散射點(diǎn)飛機(jī)模型，假設(shè)飛機(jī)勻速飛行，速度為300m/s，觀測距離門參考位置50km，脈沖回波數(shù)為256個(gè).目標(biāo)模型及脈壓后結(jié)果如圖6所示.

圖6　目標(biāo)模型及脈壓后結(jié)果Fig.6　Target model and results of pulse compression

為驗(yàn)證三種算法在不同信噪比下的有效性與成像效果，分別與RD（Range dopler）算法和OMP（Orthogonal matching pursuit）算法成像結(jié)果比較. PFLBI算法中δ=1/（2‖ΘΘT‖），μ=300/δ.圖7（a）圖7（c）分別為RD算法、OMP算法和PFLBI算法在不同信噪比條件下得到的ISAR成像仿真結(jié)果.

圖7　不同信噪比仿真數(shù)據(jù)成像結(jié)果Fig.7　Images under different SNR by simulation data

由圖7可知，相比RD算法，基于CS理論的三種重建算法得到的ISAR圖像分辨率更高，副瓣更低.隨著信噪比的降低，三種算法的成像質(zhì)量都有所下降：RD算法成像結(jié)果在低性噪比下受噪聲影響嚴(yán)重；由于利用噪聲方差作為算法的停止準(zhǔn)則，OMP算法和PFLBI算法受信噪比影響較??；對(duì)比圖像可知，PFLBI算法比OMP算法的成像結(jié)果副瓣更低，虛假散射點(diǎn)更少，驗(yàn)證了本文算法在不同信噪比下的良好成像性能.

4.3實(shí)測數(shù)據(jù)ISAR成像

為更好地驗(yàn)證算法性能，下面利用實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.部分雷達(dá)參數(shù)如下：雷達(dá)發(fā)射信號(hào)為LFM信號(hào)，帶寬為100MHz，工作頻段為S波段，脈沖重復(fù)頻率為400Hz，回波脈沖數(shù)為1570個(gè).實(shí)測數(shù)據(jù)不同信噪比的成像比較.PFLBI算法中δ=1/（2‖ΘΘT‖），μ=300/δ.其中圖8為實(shí)測數(shù)據(jù)脈壓后信噪比分別為14dB、10dB、6dB、2dB的結(jié)果，圖9（a）～（c）分別為RD算法、OMP算法和PFLBI算法在不同信噪比條件下得到的實(shí)測數(shù)據(jù)ISAR成像結(jié)果.

從圖9可以看出，隨著信噪比的降低，三種算法的成像質(zhì)量都有所下降，都會(huì)出現(xiàn)丟失部分散射點(diǎn)信息及出現(xiàn)虛假散射點(diǎn)的情況：其中RD算法分辨率較低，成像結(jié)果受噪聲影響嚴(yán)重，低信噪比時(shí)出現(xiàn)大量虛假散射點(diǎn)；OMP算法和PFLBI算法提高了分辨率，降低了副瓣，受信噪比影響較小，但PFLBI算法成像結(jié)果優(yōu)于OMP算法，副瓣更低，虛假散射點(diǎn)更少.實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證了PFLBI算法在不同信噪比下的良好成像性能.

圖8　實(shí)測數(shù)據(jù)脈壓后不同信噪比回波結(jié)果Fig.8　Results of pulse compression under different SNR by real data

圖9　不同信噪比實(shí)測數(shù)據(jù)成像結(jié)果Fig.9　Images under different SNR by real data

5　結(jié)論

本文針對(duì)重建二維復(fù)信號(hào)時(shí)，出現(xiàn)的存儲(chǔ)空間和計(jì)算復(fù)雜度增加的問題，首先，構(gòu)建了任意稀疏結(jié)構(gòu)的二維復(fù)稀疏信號(hào)模型.然后，基于LBI構(gòu)建了PFLBI算法基本迭代格式，同時(shí)利用估計(jì)迭代步長的方法加快了收斂過程，提出了PFLBI算法.理論和仿真分析表明，PFLBI算法具有良好的收斂性、抗噪性和重建二維復(fù)稀疏信號(hào)時(shí)速度的優(yōu)勢，同時(shí)，PFLBI算法能夠有效消除停滯現(xiàn)象，提高運(yùn)算效率.最后，將PFLBI算法應(yīng)用于ISAR成像，不同信噪比的仿真及實(shí)測數(shù)據(jù)成像結(jié)果驗(yàn)證了PFLBI算法的良好性能.

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陳文峰空軍預(yù)警學(xué)院博士研究生. 2014年獲得空軍預(yù)警學(xué)院碩士學(xué)位.主要研究方向?yàn)閴嚎s感知，逆合成孔徑雷達(dá)成像.本文通信作者.E-mail:chenwf925@163.com

（CHEN Wen-FengPh.D.candidate at the Air Force Early Warning Academy.He received his master degree from Air Force Early Warning Academy in 2014.His research interest covers compressed sensing and inverse synthetic aperture radar imaging.Corresponding author of this paper.）

李少東空軍預(yù)警學(xué)院博士研究生. 2012年獲得空軍預(yù)警學(xué)院碩士學(xué)位.主要研究方向?yàn)閴嚎s感知，逆合成孔徑雷達(dá)成像.E-mail:liying198798@126.com

（LI Shao-DongPh.D.candidate at the Air Force Early Warning Academy. He received his master degree from Air Force Early Warning Academy in 2012. His research interest covers compressed sensing and inverse synthetic aperture radar imaging.）

楊 軍空軍預(yù)警學(xué)院副教授.2003年獲得空軍工程大學(xué)博士學(xué)位.主要研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)，雷達(dá)成像，壓縮感知.E-mail:yangjem@126.com

（YANG JunAssociate professor at the Air Force Early Warning Academy. He received his Ph.D.degree from Air Force Engineering University in 2003. His research interest covers radar system，radar imaging，and compressed sensing.）

2D Complex Sparse Reconstruction Algorithm with LBI and Its Application

CHEN Wen-Feng1LI Shao-Dong1YANG Jun1

A parallel fast linearized Bregman iteration（PFLBI）algorithm is proposed to solve the problem of large storage and complex computation in the reconstruction of 2D sparse signal.The PFLBI algorithm can efficiently reconstruct 2D sparse signal in a parallel way.Firstly，the matrix form of linearized Bregman iteration（LBI）is constructed.Secondly，the convergence speed is improved by estimating the number of the steps for intermediate variables to cross the shrinkage threshold.Thirdly，the performance of the proposed algorithm is analyzed.Finally，PFLBI is applied to inverse synthetic aperture radar（ISAR）imaging.Experimental results show that the proposed algorithm can improve the performance and the speed of reconstruction.

Sparse reconstruction，2D signal processing，linearized Bregman iteration（LBI），inverse synthetic aperture radar（ISAR）imaging

Manuscript December 25，2014；accepted December 7，2015

10.16383/j.aas.2016.c140897

Chen Wen-Feng，Li Shao-Dong，Yang Jun.2D complex sparse reconstruction algorithm with LBI and its application.Acta Automatica Sinica，2016，42（4）:556?565

2014-12-25錄用日期2015-12-07

國家自然科學(xué)基金（61179014）資助

Supported by National Natural Science Foundation of China（61179014）

本文責(zé)任編委張長水

Recommended by Associate Editor ZHANG Chang-Shui

1.空軍預(yù)警學(xué)院武漢430019

1.Air Force Early Warning Academy，Wuhan 430019