江濤　錢富才　楊恒占　胡紹林

具有雙重不確定性系統(tǒng)的聯(lián)合濾波算法

江濤1錢富才1楊恒占2胡紹林1

卡爾曼濾波在高斯白噪聲的假設(shè)下是一種最優(yōu)濾波，基于區(qū)間數(shù)學(xué)理論的集員濾波（Set-membership filter，SMF）能夠有效處理有界噪聲假設(shè)下的濾波問題.然而，隨機(jī)噪聲和有界噪聲在許多情況下會同時干擾控制系統(tǒng).由于兩種濾波算法都受到各自適用范圍的限制，使用單一濾波算法難以得到理想的估計(jì)結(jié)果.本文通過建立具有雙重不確定性系統(tǒng)的模型，提出了一種基于貝葉斯估計(jì)聯(lián)合濾波算法.該算法用卡爾曼濾波處理系統(tǒng)的隨機(jī)不確定性，用集員濾波處理系統(tǒng)的有界不確定性，得出一個易于實(shí)現(xiàn)的濾波器.最后通過對雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)的仿真，結(jié)果表明，較單一濾波算法，聯(lián)合濾波具有更強(qiáng)的噪聲適應(yīng)性和有效性.

卡爾曼濾波，集員濾波，雙重不確定性，聯(lián)合濾波

引用格式江濤，錢富才，楊恒占，胡紹林.具有雙重不確定性系統(tǒng)的聯(lián)合濾波算法.自動化學(xué)報，2016，42（4）:535?544

隨機(jī)噪聲與有界噪聲同時干擾自動控制系統(tǒng)的現(xiàn)象普遍存在，例如，在雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中，接收系統(tǒng)的熱噪聲以及天線受到陣風(fēng)的影響是典型的隨機(jī)噪聲［1］，而加速度的物理特性、外界未知環(huán)境不確定干擾等噪聲因素的影響，相比其隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性獲得邊界是更加可行的［2］；單晶在生長控制過程中，一方面受到隨機(jī)對流的作用，另一方面溫度場按偏微分方程演化，而在用有限元方法求解偏微分方程時，需要對不規(guī)則區(qū)域用三角形進(jìn)行分割，對于分割接近邊界鄰域的狹小部分通常會忽略，忽略的這部分是有界不確定性；對于非線性隨機(jī)系統(tǒng)，在用擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman filter，EKF）時，線性化過程中同樣也忽略了高階余項(xiàng).這些實(shí)例都表明，系統(tǒng)存在兩種不確定性，一種是概率統(tǒng)計(jì)特性已知的隨機(jī)不確定性，而另一種是已知邊界的有界不確定性，當(dāng)兩種不確定性同時存在時，本文稱之為雙重不確定性.

系統(tǒng)的不確定性分析存在兩種方法［3］，概率方法和非概率方法，而選擇采用哪種方法往往取決于樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的多少及其性質(zhì).概率方法需要知道隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計(jì)特性，而區(qū)間分析理論（非概率方法）解決不確定問題需要已知有界不確定參數(shù)或變量所在范圍的邊界.概率方法適合解決隨機(jī)不確定，而非概率方法適合解決有界不確定.在不確定系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題中，卡爾曼濾波是一種典型的概率方法，集員濾波（Set-membership filter，SMF）［4?7］是一種典型的非概率方法.兩種濾波方法中，卡爾曼濾波以貝葉斯推理為基礎(chǔ)，解決了高斯白噪聲假設(shè)下線性系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)問題；SMF以包含系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)的外定界橢球集合為基礎(chǔ)，只要求系統(tǒng)噪聲有界，且噪聲界已知，而不需要知道邊界內(nèi)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性.相比卡爾曼濾波在每一步估計(jì)得到的是一個狀態(tài)值，SMF得到的是一個橢球集合，且此集合內(nèi)的值都是可行解.因此，兩種濾波方法有各自的適用范圍，且都在工程實(shí)踐中得到廣泛的應(yīng)用［8?10］.對于存在兩種不確定性的混合噪聲系統(tǒng)，非高斯白噪聲的存在使單一卡爾曼濾波的估計(jì)結(jié)果往往過分樂觀［11］，甚至收斂性也不能保證；高斯白噪聲的存在導(dǎo)致單一SMF選取的噪聲邊界會過分保守，估計(jì)精度下降.總之，現(xiàn)有方法一般都是假設(shè)一種噪聲的存在，意味著人為地排除了另一種噪聲.為克服這些單一濾波算法的局限性，研究具有雙重不確定性系統(tǒng)的濾波問題有重要的理論價值和實(shí)際應(yīng)用前景.

然而處理雙重不確定性噪聲模型問題的研究還處于起步階段，如何將隨機(jī)不確定性和有界不確定性整合成一個混合的數(shù)學(xué)描述，是一個挑戰(zhàn)性問題［12］.面對這個難題，相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)提出的能夠結(jié)合兩種不確定的數(shù)學(xué)形式有：隨機(jī)集合、集合概率密度以及其他不精確概率描述方法.Hanbeck等［13］利用隨機(jī)集合提出的統(tǒng)計(jì)和集合論信息（Statistical and set-theoretic information，SSI）濾波器，其特點(diǎn)是傳統(tǒng)單一的濾波方法得到的值只是SSI濾波器的邊界情況，即當(dāng)隨機(jī)噪聲為零時，收斂于集合估計(jì)；當(dāng)有界誤差為零時，收斂于貝葉斯估計(jì)，該方法的局限性在于只能解決線性標(biāo)量狀態(tài).Noack等［14］采用集合密度的概念來描述雙重不確定性，即用適合描述不確定集合的集合概率密度取代了單一概率密度函數(shù).Klumpp等［15］比較了基于隨機(jī)集合的SSI濾波器和基于集合概率密度的CS（Credal state）濾波器，得出CS濾波器具有更加保守的特點(diǎn).Henningsson［16］用橢球包含混合噪聲中有界集合部分的估計(jì)誤差，通過線性矩陣不等式得到最優(yōu)濾波增益，該算法的性能受到一個權(quán)系數(shù)的影響，而該系數(shù)的取值取決于實(shí)際系統(tǒng)總體噪聲中隨機(jī)不確定和有界不確定的某種權(quán)重關(guān)系，且這種權(quán)重關(guān)系并沒有定量地給出.Liu等［17］提出的橢球集合濾波算法在解決純方位機(jī)動目標(biāo)的跟蹤問題時，在集員橢球更新的過程中考慮了隨機(jī)不確定性，得到了跟蹤性能優(yōu)于單一EKF的結(jié)論.

本文根據(jù)隨機(jī)不確定性和有界不確定性對估計(jì)結(jié)果影響的各自特點(diǎn)，將統(tǒng)計(jì)特性未知但有界的（Unknown but bounded，UBB）噪聲引入到卡爾曼濾波模型中，得到一組包含集合運(yùn)算的卡爾曼濾波方程.其中的UBB噪聲應(yīng)用SMF的思想進(jìn)行處理，而隨機(jī)噪聲應(yīng)用卡爾曼濾波的思想進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)了兩種濾波方法的聯(lián)合處理.文章的最后將該算法推廣到非線性系統(tǒng)中.

1　數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.1數(shù)學(xué)模型

為了處理包含隨機(jī)噪聲和UBB噪聲系統(tǒng)，需要建立能夠正確描述該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，因此，系統(tǒng)狀態(tài)方程可寫成如下形式

測量方程

這時，我們得到了包含高斯白噪聲和UBB噪聲的雙重不確定性非線性系統(tǒng).在解決非線性模型的濾波問題中，非線性模型可以通過線性化來近似表示，為了易于說明，首先考慮系統(tǒng)是線性的式（1）和式（2）寫成如下形式

預(yù)測估計(jì)協(xié)方差矩陣

濾波增益

更新狀態(tài)估計(jì)值

更新估計(jì)協(xié)方差矩陣

如果考慮UBB噪聲項(xiàng)，由于高斯白噪聲一階矩為常數(shù)，不會引起系統(tǒng)變量均值的變化，而UBB噪聲會引起均值的偏移，因此均值不再是唯一值，定義如下集合

式中δk為UBB噪聲均值集合，ψk為測量輸出均值集合.當(dāng)系統(tǒng)包含UBB噪聲集合后，可以將點(diǎn)運(yùn)算變?yōu)榧线\(yùn)算.那么類似于式（5）和式（8），狀態(tài)的一步預(yù)測和更新分別可寫成集合運(yùn)算的形式

χk稱為條件均值集合，符號⊕表示橢球的閔可夫斯基（Minkowski）和.在隨后的內(nèi)容中，我們通過適當(dāng)?shù)姆椒▍?shù)化這些集合，推導(dǎo)出一個能夠處理線性系統(tǒng)的估計(jì)方法.

如果考慮系統(tǒng)是非線性的，濾波過程中就需要對非線性系統(tǒng)線性化，然而在這類混合噪聲模型中，此時估計(jì)的并不是一個值，而是一個狀態(tài)集合，因此，EKF中用的線性化方法在處理該問題時并不適用，如何找到一種合適的近似方法將在第2.2節(jié)中討論.

這里建立的雙重不確定性模型，都是假定合理有效的.然而由于實(shí)際系統(tǒng)中噪聲的復(fù)雜性，建立合理有效的模型并不容易.事實(shí)上，隨機(jī)和有界很難嚴(yán)格地劃分，并且也可以近似地相互轉(zhuǎn)換.例如，高斯白噪聲，如果用有界的形式表示，可以采用3σ置信區(qū)間，選取的噪聲邊界為高斯白噪聲方差σ的3倍，那么噪聲在3σ區(qū)間的概率為99.73%.對于有些情況下定義的有界噪聲，并非是指邊界內(nèi)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性完全未知，可能的情況是統(tǒng)計(jì)特性已知但屬于非高斯分布，當(dāng)非高斯程度較小時，這時完全可以根據(jù)有界噪聲的期望和方差來轉(zhuǎn)化為近似高斯分布的隨機(jī)噪聲.因此，只有對實(shí)際噪聲的合理劃分，才能建立合理有效的雙重不確定性模型，但這需要對系統(tǒng)進(jìn)行大量的分析和實(shí)踐.

1.2橢球集合及其運(yùn)算性質(zhì)

在給出的雙重不確定性模型中，我們已經(jīng)分離出模型的有界部分，SMF是一種基于集合論的估計(jì)方法，解決了有界集合如何被橢球近似包含的問題，以及濾波過程中的集合運(yùn)算問題.下面介紹集員相關(guān)的定義與定理.

假設(shè)線性動態(tài)模型存在UBB噪聲，在此條件下，狀態(tài)估計(jì)由點(diǎn)估計(jì)變?yōu)橐粋€狀態(tài)可行集合的估計(jì)問題，UBB噪聲集合和狀態(tài)可行集均可以用橢球集合來近似描述.

這里注意η（·）與ηβ（·）的區(qū)別，η（·）的自變量為橢球集合，ηβ（·）的自變量為向量.

去掉上式中max函數(shù)，得到不等式形式

引理1.支持函數(shù)存在如下運(yùn)算性質(zhì)：

根據(jù)引理1中支持函數(shù)的性質(zhì)，假設(shè)式（12）中條件均值集合χk?1和UBB噪聲的邊界集合δk包含在橢球集合（閉凸集）內(nèi)，將式（12）寫成如下支持函數(shù)計(jì)算形式

由于集合的線性運(yùn)算保留集合“凸”的特性，那么預(yù)測條件均值集合χk，k?1為凸集.

同樣假設(shè)測量輸出集合ψk也包含在橢球集合內(nèi)，那么式（13）可寫成

同理，計(jì)算得到的更新條件均值集合χk也是凸集.可以看出，支持函數(shù)將橢球集合運(yùn)算中Minkowski和轉(zhuǎn)換為加法.

根據(jù)上面的內(nèi)容可知，濾波模型中加入了有界集合，有界集合可以用橢球集合來包含.定義1給出了橢球集合的描述，但該描述下的兩個橢球集合不能直接進(jìn)行運(yùn)算，因此，定義2給出了橢球集合的支持函數(shù)，引理1給出了支持函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).雖然引理1中的和的Minkowski和求出的是一個凸集，但并不意味著該凸集是一個確定形狀大小的集合.也就是說，兩個橢球集合的Minkowski和不會產(chǎn)生一個新的橢球，例如式（18）中的凸集χk，k?1形狀大小就不能確定.一般可行的方法就是找到包含兩個橢球集合和Minkowski和的外定界橢球如圖1所示.

圖1　外定界橢球Fig.1　Outer bounding ellipsoid

式中

假定一個橢球

如圖1所示，由于兩個橢球的Minkowski和并不能直接表示為一個橢球，為了使橢球F（a aa，S）能夠包含橢球和的Minkowski和，則必須滿足不等式［5］

式中η（·）為支持函數(shù)，根據(jù)支持函數(shù)的定義，則

取外定界橢球中心

取正定矩陣S為S1與S2的線性組合

那么式（26）可以表示為

顯然，當(dāng)滿足下式時，不等式（30）必然成立

令可行標(biāo)量p滿足γ?1=p?1，ρ?1≥p，則

即S（p）可以表示為

已知橢球集合描述中的S表征橢球的形狀大小，通過定理2可以看出，包含兩個橢球的Minkowski和的外定界橢球是關(guān)于形狀大小矩陣S（p）的函數(shù)，p為引入的可行標(biāo)量，不同的p對應(yīng)不同的矩陣S，不同的S又對應(yīng)不同形狀大小的外定界橢球，在所有這些外定界橢球中，希望找到某種優(yōu)化意義下的封閉橢球.

1）容積最小意義下的最小容積橢球可由如下方程計(jì)算

2）半軸平方和最小意義下的最小跡橢球可由如下方程計(jì)算

即等價于求取方程（35）特征值.

即等價于求取式（36）.

可以看出，p可以在不同的最優(yōu)意義下計(jì)算得到.獲得最小容積橢球的計(jì)算需要求解方程（35），需要較大的計(jì)算量，而通過式（36）獲得最小跡橢球計(jì)算簡單.此外，跡是更加適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，因?yàn)榘胼S的最大長度等價于一個有界誤差的最大邊界.

2　聯(lián)合濾波算法

基于前面集員的知識，本文提出一種包含橢球集合運(yùn)算，且同時能夠處理隨機(jī)和有界噪聲的濾波算法該算法將噪聲的隨機(jī)部分和有界部分分別處理，隨機(jī)部分的處理運(yùn)用卡爾曼濾波的思想，而有界部分的處理運(yùn)用SMF的思想，由于該算法結(jié)合了兩種濾波思想，我們將其稱之為聯(lián)合濾波.下面將線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)分別展開討論.

2.1線性系統(tǒng)

時間更新

狀態(tài)集合一步預(yù)測

此時的狀態(tài)用橢球集合表示.由于橢球集合δk中心為0，依據(jù)定理1及定理2，包含狀態(tài)集合χk，k?1的外定界橢球的中心值為

表征橢球形狀大小的矩陣Sk，k?1為

式中p的選擇依據(jù)定理3的結(jié)論.

協(xié)方差矩陣一步預(yù)測

測量更新

狀態(tài)估計(jì)集合

濾波增益

類似預(yù)測步驟，包含狀態(tài)集合χk的外定界橢球的中心為

表征橢球形狀大小的矩陣為

同樣，式中q的選擇依據(jù)定理3的結(jié)論.

估計(jì)誤差方差陣

對于受到隨機(jī)和有界兩種噪聲影響的線性系統(tǒng)，為了描述統(tǒng)計(jì)特性未知的有界噪聲，引入均值集合的概念：零均值的高斯白噪聲不會引起均值的偏移，而UBB噪聲會引起均值的偏移，將這些所有可能的偏移用集合的形式表達(dá)，即均值集合.因此，相比傳統(tǒng)的卡爾曼濾波，當(dāng)利用橢球邊界來描述有界噪聲時，需要多考慮一個參數(shù).橢球中心均值的計(jì)算（式（40）和式（45））和協(xié)方差矩陣的計(jì)算（式（43）和式（47））都是基于卡爾曼濾波方程實(shí)現(xiàn)，而描述橢球形狀大小的矩陣?yán)眉瘑T濾波的思想實(shí)現(xiàn)（式（41）和式（46）），且時間更新和測量更新步驟都涉及橢球Minkowski和的計(jì)算，并產(chǎn)生一組條件均值.本文在計(jì)算外定界橢球時采用定理3中的最小跡橢球，當(dāng)然，相比較傳統(tǒng)的卡爾曼濾波，相應(yīng)地增加了計(jì)算量.

2.2非線性系統(tǒng)

EKF在處理非線性濾波問題時，通過線性化逼近非線性函數(shù)，其中所述的線性化是在該點(diǎn)（預(yù)測值）的一階泰勒級數(shù)展開獲得.然而，這類雙重不確定性系統(tǒng)預(yù)測的已不再是唯一的點(diǎn)，當(dāng)然不能再以相同的方式實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)模型的線性化.因此，我們需要找到一種能夠線性化均值集合的方法.為了完成這個目的，將采用文獻(xiàn)［19］中提出的方法.

我們需要選擇一組近似點(diǎn)，近似點(diǎn)的選擇依據(jù)是：對狀態(tài)方程和測量方程仿射映射近似時參數(shù)的計(jì)算，以盡量減少非線性函數(shù)的函數(shù)值和那些選擇適當(dāng)近似點(diǎn)的線性化值的加權(quán)平方誤差和.選擇近似點(diǎn)的方法依賴于估計(jì)橢球集合的形狀大小.在文獻(xiàn)［19］中，N維橢球建議選擇4N+1個近似點(diǎn)，且這些點(diǎn)等間距的分布在橢球的軸上，如圖2所示.在隨后討論的時間更新和測量更新過程中，將采用該方法來實(shí)現(xiàn)非線性函數(shù)的線性近似.

圖2　橢球集合近似點(diǎn)Fig.2　Ellipsoid set approximate points

非線性系統(tǒng)的近似仿射可寫成如下形式：狀態(tài)方程

測量方程

定義如下矩陣

通過加權(quán)最小二乘，可解得線性化后的參數(shù)

至此，包含橢球集合的非線性系統(tǒng)完成了線性化.

時間更新

由于線性化已得到矩陣Ak，則其余步驟與第2.1節(jié)的時間更新一致.

測量更新

同樣，由于線性化已得到矩陣Hk，其余步驟與第2.1節(jié)的測量更新一致.至此，實(shí)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的聯(lián)合濾波.

本節(jié)中線性化是通過最小二乘擬合的方法實(shí)現(xiàn)的，與EKF計(jì)算雅可比矩陣不同，該方法線性化近似的精度取決于系統(tǒng)的階數(shù)和選取近似點(diǎn)的數(shù)量，對于高階系統(tǒng)，這將導(dǎo)致矩陣Lk，F(xiàn)k，Gk，βk，αk維數(shù)較大和最小平方和的計(jì)算變得復(fù)雜.在這種情況下，可以選擇以犧牲精度為代價，選取較少的近似點(diǎn)來減少運(yùn)算量.

3　仿真實(shí)驗(yàn)

3.1實(shí)驗(yàn)場景

二維平面內(nèi)，觀測雷達(dá)建立在坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)定飛行目標(biāo)在平面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動，給出非線性系統(tǒng)描述如下：

由于系統(tǒng)狀態(tài)方程為線性，而測量方程為非線性，仿真中預(yù)測步驟按照第2.1節(jié)中的時間更新，校正步驟按照第2.2節(jié)中的測量更新.

3.2仿真結(jié)果

由于實(shí)驗(yàn)場景中系統(tǒng)存在噪聲，目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動只能是近似勻速直線運(yùn)動.下面分別采用EKF、擴(kuò)展集員濾波（Extended set-membership filter，ESMF）［20］及本文提出的聯(lián)合濾波算法對目標(biāo)運(yùn)動軌跡進(jìn)行跟蹤.

單獨(dú)一次實(shí)驗(yàn)中，三種算法跟蹤結(jié)果如圖3所示，與EKF相比，聯(lián)合濾波算法和ESMF算法估計(jì)得到的是一個集合.仿真中，為了顯示聯(lián)合濾波估計(jì)集合，選取若干等間距橢球中心（?號表示）并畫出其表示的橢球集合.同樣，ESMF估計(jì)出的也是一個邊界集合，這里為了方便顯示，圖中只給出了ESMF估計(jì)集合的中心.為了測試濾波算法的性能，進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真，圖4和圖5分別給出了位移分量和速度分量的均方根誤差（Root mean square error，RMSE）.

圖3　目標(biāo)軌跡跟蹤Fig.3　Target trajectory tracking

圖4　位移均方根誤差Fig.4　Root mean square error of displacement

圖5　速度均方根誤差Fig.5　Root mean square error of velocity

由圖4和圖5以及表1可以看出，對于本仿真設(shè)定的混合噪聲，聯(lián)合濾波算法的均方根誤差好于ESMF，接近EKF算法.相比EKF，新算法沒有獲得更好的估計(jì)結(jié)果是由于SMF算法是一種以保守性換取魯棒性的算法，而聯(lián)合濾波中處理有界部分采用了SMF的思想.雖然聯(lián)合濾波目前在精度上不存在優(yōu)勢，但該算法有如下特點(diǎn)：1）對有界噪聲的區(qū)別處理，避免了卡爾曼濾波在非高斯假設(shè)下導(dǎo)致的濾波性能下降，因此，同SMF一樣，聯(lián)合濾波得到的估計(jì)結(jié)果也是一種邊界保證估計(jì)，即邊界內(nèi)的值都是可靠的.如圖3中，真實(shí)值（實(shí)線）保證在橢球區(qū)域內(nèi).2）聯(lián)合濾波算法不但具有較強(qiáng)的魯棒性，而且未來通過進(jìn)一步建模分析系統(tǒng)未建模誤差以及線性化誤差邊界，使得選取的噪聲邊界盡量的“緊”，從而進(jìn)一步提高系統(tǒng)的估計(jì)精度［21］.3）允許我們從更深入的視角分析系統(tǒng)對非隨機(jī)噪聲的敏感度.

表1　RMSE均值對比Table 1　Comparison of RMSE means

4　結(jié)論

本文根據(jù)混合噪聲中隨機(jī)部分和有界部分的特性，提出的聯(lián)合濾波算法解決了線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)存在混合噪聲情況下的濾波問題.由于高斯白噪聲一階矩陣為常數(shù)，而UBB噪聲會引起誤差均值發(fā)生偏移，因此，該算法得到估計(jì)結(jié)果可以理解為是具有一定誤差邊界的卡爾曼濾波值，且邊界內(nèi)的值都是有效的.然而，聯(lián)合濾波在處理過程中，在傳統(tǒng)卡爾曼濾波的基礎(chǔ)上增加了橢球集合的相關(guān)運(yùn)算，非線性系統(tǒng)選取近似點(diǎn)線性化的過程中更進(jìn)一步增加了計(jì)算量，尤其是在系統(tǒng)維數(shù)較高以及近似點(diǎn)的選取數(shù)量較多時.這類非線性系統(tǒng)在線性化過程中，如何能夠提高近似精度和減少計(jì)算量是需要關(guān)注的問題.另外，狀態(tài)估計(jì)橢球中“點(diǎn)”的選取值得考慮，目前一般都是選取橢球中心點(diǎn)作為估計(jì)值.那么選取中心點(diǎn)與可行橢球集合中其他點(diǎn)的區(qū)別以及對濾波性能的影響也是未來需要研究的重點(diǎn).

References

1 Ding Yuan-Zhi，Song Xiao-Mei.Adaptation of tracking systems to random disturbances.Acta Automatica Sinica，1989，15（3）:209?216（丁原志，宋曉梅.雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)的隨機(jī)干擾自適應(yīng).自動化學(xué)報，1989，15（3）:209?216）

2 Shi Yong，Han Chong-Zhao.Adaptive UKF method with applications to target tracking.Acta Automatica Sinica，2011，37（6）:755?759（石勇，韓崇昭.自適應(yīng)UKF算法在目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用.自動化學(xué)報，2011，37（6）:755?759）

3 Qi Wu-Chao，Qiu Zhi-Ping.Non-probabilistic reliabilitybased structural design optimization based on interval analysis methods.Scientia Sinica-Physica，Mechanica&Astronomica，2013，43（1）:85?93（祁武超，邱志平.基于區(qū)間分析的結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì).中國科學(xué):物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)，2013，43（1）:85?93）

4 Wei G L，Liu S A，Song Y，Liu Y R.Probability-guaranteed set-membership filtering for systems with incomplete measurements.Automatica，2015，60:12?16

5 Witsenhausen H S.Sets of possible states of linear systems given perturbed observations.IEEE Transactions on Automatic Control，1968，13（5）:556?558

6 Cerone V，Lasserre J B，Piga D，Regruto D.A unified framework for solving a general class of conditional and robust set-membership estimation problems.IEEE Transactions on Automatic Control，2014，59（11）:2897?2909

7 Wang Chao，Zhang Sheng-Xiu，Qin Wei-Wei，Zheng Jian-Fei.Tube-reachable set-based robust model predictive control with adaptive disturbances boundaries.Control Theory &Applications，2014，31（1）:11?18（王超，張勝修，秦偉偉，鄭建飛.具有自適應(yīng)噪聲邊界的Tube可達(dá)集魯棒預(yù)測控制.控制理論與應(yīng)用，2014，31（1）:11?18）

8 Wu Hao，Chen Shu-Xin，Yang Bin-Feng，Chen Kun.Robust cubature Kalman filter target tracking algorithm based on genernalized M-estiamtion.Acta Physica Sinica，2015，64（21）:218401-1?218401-8（吳昊，陳樹新，楊賓峰，陳坤.基于廣義M估計(jì)的魯棒容積卡爾曼濾波目標(biāo)跟蹤算法.物理學(xué)報，2015，64（21）:218401-1?218401-8）

9 Cerone V，Razza V，Regruto D.Set-membership estimation of fiber laser physical parameters from input-output power measurements.Automatica，2015，61:211?217

10 Zhai S C，Wang W，Ye H.Auxiliary signal design for active fault detection based on set-membership.IFACPapersOnLine，2015，48（21）:452?457

11 Guo L.Estimating time-varying parameters by the Kalman filter based algorithm:stability and convergence.IEEE Transactions on Automatic Control，1990，35（2）:141?147

12 Oberkampf W L，Helton J C，Joslyn C A，Wojtkiewicz S F，F(xiàn)erson S.Challenge problems:uncertainty in system response given uncertain parameters.Reliability Engineering &System Safety，2004，85（1?3）:11?19

13 Hanbeck U D，Horn J，Schmidt G.On combining statistical and set-theoretic estimation.Automatica，1999，35（6）: 1101?1109

14 Noack B，Klumpp V，Hanebeck U D.State estimation with sets of densities considering stochastic and systematic errors. In:Proceedings of the 12th International Conference on Information Fusion.Seattle USA:IEEE，2009.1751?1758

15 Klumpp V，Noack B，Baum M，Hanebeck U D.Combined set-theoretic and stochastic estimation:a comparison of the SSI and the CS filter.In:Proceedings of the 13th Conference on Information Fusion.Edinburgh，United Kingdom:IEEE，2010.1?8

16 Henningsson T.Recursive state estimation for linear systems with mixed stochastic and set-bounded disturbances. In:Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control.Cancun，Mexico:IEEE，2008.678?683

17 Liu Y S，Zhao Y.Ellipsoidal set filter combined setmembership and statistics uncertainties for bearing-only maneuvering target tracking.In:Proceedings of the 2014 IEEE/ION Position，Location and Navigation Symposium（PLANS 2014）.Monterey，CA:IEEE，2014.753?759

18 Fogel E，Huang Y F.On the value of information in system identification-bounded noise case.Automatica，1982，18（2）: 229?238

19 Morrell D R，Stirling W C.An extended set-valued Kalman filter.In:Proceedings of the 2003 International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications（ISIPTA）.Lugano，Switzerland，2003.395?407

20 Milanese M，Novara C.Unified set membership theory for identification，prediction and filtering of nonlinear systems. Automatica，2011，47（10）:2141?2151

21 Song Da-Lei，Wu Chong，Qi Jun-Tong，Han Jian-Da.A MIT-based nonlinear adaptive set-membership filter for ellipsoidal estimation.Acta Automatica Sinica，2012，38（11）: 1847?1860（宋大雷，吳沖，齊俊桐，韓建達(dá).基于MIT規(guī)則的自適應(yīng)擴(kuò)展集員估計(jì)方法.自動化學(xué)報，2012，38（11）:1847?1860）

江 濤西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院博士研究生.主要研究方向?yàn)闉V波算法，衛(wèi)星導(dǎo)航，移動通信. E-mail:jiangtao.xaut@gmail.com

（JIANG TaoPh.D.candidate at the School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology.His research interest covers filtering algorithms，satellite navigation，and mobile communication.）

錢富才西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院教授.主要研究方向?yàn)殡S機(jī)控制，系統(tǒng)辨識，非線性控制，最優(yōu)控制，故障診斷和全球定位系統(tǒng).本文通信作者.E-mail:qianfc@xaut.edu.cn

（QIANFu-CaiProfessor at the School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology.His research interest covers stochastic control，systems identification，nonlinear control，and large-scale systems.Corresponding author of this paper.）

楊恒占西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院博士研究生，西安工業(yè)大學(xué)講師.主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)控制，隨機(jī)控制，系統(tǒng)辨識.E-mail:yanghengzhan@xatu.edu.cn

（YANG Heng-ZhanPh.D.candidate at the School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology，and lecturer at Xi'an Technological University.His research interest covers optimal control，stochastic control，and system identification.）

胡紹林西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院教授.主要研究方向?yàn)檫^程監(jiān)控，系統(tǒng)安全，導(dǎo)航與控制，故障診斷與容錯計(jì)算.E-mail:hfkth@126.com

（HUShao-LinProfessor at the School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology.His research interest covers process monitoring，system safety，navigation and control，fault diagnosis，and outlier-tolerant computing.）

A New Combined Filtering Algorithm for Systems with Dual Uncertainties

JIANG Tao1QIAN Fu-Cai1YANG Heng-Zhan2HU Shao-Lin1

Kalman filter is optimal under the assumption of Gaussian white noise，while the set-membership filter（SMF），which is based on interval mathematics，can deal with bounded noise efficiently.However，in many situations，the actual control system is usually interrupted by both random noises and bounded noises simultaneously.It is not easy to obtain expected results by using only one single filter，due to the limited application fields of the two filtering algorithms.In this paper，according to the established system model with dual uncertainties，a new kind of filter named combined filter is proposed，which is based on Bayesian estimation.This algorithm can deal with random uncertainties by applying Kalman filter，and can deal with bounded uncertainties by applying set-membership filter.Accordingly，a new kind of easy filter is produced.The effectiveness of the new filtering algorithm is verified in a radar tracking simulation system.From the simulation results，the combined filter algorithm can produce better adaptability and effectiveness than any one single filter.

Kalman filter，set-membership filter（SMF），dual uncertainties，combined filter

Manuscript July 30，2015；accepted December 22，2015

10.16383/j.aas.2016.c150486

Jiang Tao，Qian Fu-Cai，Yang Heng-Zhan，Hu Shao-Lin.A new combined filtering algorithm for systems with dual uncertainties.Acta Automatica Sinica，2016，42（4）:535?544

2015-07-30錄用日期2015-12-22

國家自然科學(xué)基金（61273127，61473222，61533014），航天器在軌故障診斷與維修實(shí)驗(yàn)室開放課題（SDML_OF2015004），陜西省科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)（2013KCT-04）資助

Supported by National Natural Science Foundation of China（61273127，61473222，61533014），theKeyLaboratoryfor FaultDiagnosisandMaintenanceofSpacecraftinOrbit（SDML_OF2015004），and Innovative Research Team of Shaanxi Province（2013KCT-04）

本文責(zé)任編委夏元清

Recommended by Associate Editor XIA Yuan-Qing

1.西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院 西安 7100482.西安工業(yè)大學(xué)自主無人系統(tǒng)研究中心西安710021

1.School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology，Xi'an 7100482.Research Center of Autonomous Unmanned Systems，Xi'an Technological University，Xi'an 710021