金楊建　浦敘德

事件發(fā)生的可能性有大有小.概率是度量事件發(fā)生可能性大小的一個量，在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，概率也是初中數(shù)學較為重要的一個知識點.初中教材中與概率相關(guān)的內(nèi)容共出現(xiàn)了三次：第一次是在八年級下冊《認識概率》，從中我們知道了概率的定義，并知道可以用頻率的穩(wěn)定值估計概率；第二次就是本章《等可能條件下的概率》，從中我們又知道了等可能性的概念，并會通過合適的方法求等可能條件下的概率；最后一次出現(xiàn)在九年級下冊《概率的簡單應(yīng)用》，顧名思義，就是運用概率進行估計、判斷、決策……幫助我們解決一些實際問題.可見，本章在整個初中階段概率內(nèi)容的學習中起到承上啟下的作用.

一、緊扣概念，精準判定

教材中等可能性概念是“一般地，設(shè)一個試驗的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個，它們都是隨機事件，每次試驗有且只有其中的一個結(jié)果出現(xiàn).如果每個結(jié)果出現(xiàn)的機會均等，那么我們說這n個事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個試驗的結(jié)果具有等可能性.”

我們可以把這個概念濃縮成2句話：①試驗結(jié)果有多個，但每次有且只有一個結(jié)果出現(xiàn)；②結(jié)果出現(xiàn)是隨機的，但每個結(jié)果出現(xiàn)機會均等.

結(jié)合這2句話，我們就可以判斷某試驗的結(jié)果是否具有等可能性，并可以求出某種結(jié)果發(fā)生的概率.

例1 （2016·江蘇淮安）一個不透明的袋子中裝有3個黃球和4個藍球，這些球除顏色外完全相同，從袋子中隨機摸出一個球，摸出的球是黃球的概率是 .

【分析】本題摸到的球有7種不同的結(jié)果：黃1，黃2，黃3，藍1，藍2，藍3，藍4，并不是只有黃球或藍球這兩種可能，即摸到黃球和籃球不是等可能的，故摸到黃球的概率不是[12].

【解答】因為一個不透明的袋子中裝有3個黃球和4個藍球，而摸出每個球是等可能的，即所有等可能的結(jié)果數(shù)為7，而摸到黃球的結(jié)果數(shù)為3，所以摸出的球是黃球的概率是[37].

二、有無“放回”，謹慎判斷

一般地，如果一個試驗有n個等可能的結(jié)果，當其中的m個結(jié)果之一出現(xiàn)時，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=[mn]，其中m為事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n為所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).對于試驗過程并不復(fù)雜的問題，如上例，只要能緊扣概念，便不會出現(xiàn)問題.而對于試驗步驟較復(fù)雜的問題，則需要謹慎地判斷試驗中前一個步驟與后一個步驟有無區(qū)別，即要考慮“摸球有無放回”.

例2 （2016·江蘇鹽城）一個不透明的袋子中有大小、質(zhì)地完全相同的4只小球，小球上分別標有1、2、3、4四個數(shù)字.

（1）從袋中隨機摸出一只小球，求小球上所標數(shù)字為奇數(shù)的概率；

（2）從袋中隨機摸出一只小球，再從剩下的小球中隨機摸出一只小球，求兩次摸出的小球上所標數(shù)字之和為5的概率.

【分析】第（2）問說明試驗有兩步，第1步是從4只小球中隨機摸1只，而第2步是從剩下的小球，也就是3只小球中隨機摸1只，是“無放回的摸球游戲”.所以在解答時要謹慎對待.

【解答】（1）[12]；（2）方法一（列表法）

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球上所標數(shù)字之和為5的可能性有4種，所以P（兩次摸出的小球數(shù)字之和為5）=[412]=[13].

方法二（樹狀圖）

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球上所標數(shù)字之和為5的可能性有4種，所以P（兩次摸出的小球數(shù)字之和為5）=[412]=[13].

三、圖表有別，合理選擇

從例2中，我們可以看出，對于步驟為兩次的試驗，可以通過列表法或樹狀圖的方法找出所有的等可能結(jié)果數(shù)以及事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).但對于不同情形的問題，是不是都適合用這兩種方法呢？

例3 （2016·蘭州）小明和小軍兩人一起做游戲，游戲規(guī)則如下：每人從1，2，…，8中任意選擇一個數(shù)字，然后兩人各轉(zhuǎn)動一次如圖所示的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被分為面積相等的四個扇形），兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和等于誰事先選擇的數(shù)，誰就獲勝；若兩人轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和不等于他們各自選擇的數(shù)，就再做一次上述游戲，直至決出勝負.若小軍事先選擇的數(shù)是5，用列表或畫樹狀圖的方法求他獲勝的概率.

【分析】本題是可以用樹狀圖或列表法進行研究的，但是因為試驗有兩個步驟，且每個步驟均有4種等可能的結(jié)果，如果用樹狀圖，則答題時會因為“樹枝”較多，導(dǎo)致答題區(qū)域過大，甚至會出現(xiàn)雜亂無章的可能，因此，建議對于試驗步驟是兩次，且每個步驟有3個（或以上）結(jié)果時用列表法（試題有明確要求的除外）.

解答：列表如下：

所有等可能的情況有16種，其中兩次指針所指數(shù)字的和為5的情況有4種，所以小軍獲勝的概率=[416]=[14].

例4 （2009·江蘇）一家醫(yī)院某天出生了3個嬰兒，假設(shè)生男生女的機會相同，那么這3個嬰兒中，出現(xiàn)1個男嬰、2個女嬰的概率是多少？

【分析】列表法的優(yōu)點在于處理試驗步驟僅有2個，且當每個步驟可能的結(jié)果數(shù)較多時，能夠清楚、簡潔地刻畫所有等可能的結(jié)果數(shù)以及事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，但對于步驟超過2的試驗，則無能為力.3個嬰兒的性別，相當于試驗步驟有三次，因此，只能用樹狀圖來研究.

【解答】用樹狀圖分析如下：

因此共有8種等可能的結(jié)果，其中1個男嬰、2個女嬰的結(jié)果數(shù)為3，所以P （1個男嬰，2個女嬰） =[38].

答：出現(xiàn)1個男嬰、2個女嬰的概率是 [38].

四、枚舉之法，不可忽略

平時在上課時，可能老師對列表法或樹狀圖法強調(diào)過多，同學們往往形成了思維定式，而忽略了使用這兩種方法的目的：找出試驗所有的等可能結(jié)果數(shù)以及事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).就如乘船過河，列表法或樹狀圖只是解題（過河）的工具（船），沒有“船”，難道我們過不了“河”嗎？

例5 （2016·江蘇南京）某景區(qū)7月1日-7月7日一周天氣預(yù)報如圖，小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區(qū)旅游，求下列事件的概率：

（1）隨機選擇一天，恰好天氣預(yù)報是晴；

（2）隨機選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預(yù)報都是晴.

【分析】因為（2）中是選擇連續(xù)的兩天，故可以用枚舉法將所有等可能的結(jié)果列出來解答.

【解答】（1）[47]；（2）∵隨機選擇連續(xù)的兩天等可能的結(jié)果有：晴晴，晴雨，雨陰，陰晴，晴晴，晴陰，∴隨機選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預(yù)報都是晴的概率為[26]=[13].

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校、江蘇省無錫市新城中學）