徐亞沖，胡東偉

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081）

面向差分調(diào)制解調(diào)的編碼碼率研究

徐亞沖，胡東偉

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081）

差分調(diào)制解調(diào)是解決無(wú)線通信高動(dòng)態(tài)條件下信息傳輸?shù)囊环N重要方法。針對(duì)面向差分調(diào)制解調(diào)的編碼碼率既不宜過(guò)高，也不宜過(guò)低的問(wèn)題，從信息論的角度，分別針對(duì)差分BPSK調(diào)制和差分QPSK調(diào)制，分析了各種不同碼率下無(wú)差錯(cuò)傳輸?shù)南戕r(nóng)限，得出了最佳的編碼碼率。通過(guò)采用不同碼率的卷積編碼和Turbo編碼，實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了所得理論的正確性。

差分調(diào)制解調(diào)；編碼碼率；卷積編碼；Turbo編碼

1 引言

差分調(diào)制解調(diào)是解決無(wú)線通信高動(dòng)態(tài)條件下信息傳輸?shù)囊环N重要方法。 在無(wú)線通信中，物體在高速移動(dòng)中會(huì)產(chǎn)生多普勒頻移。地面移動(dòng)通信的高動(dòng)態(tài)還會(huì)帶來(lái)小區(qū)切換的問(wèn)題。衛(wèi)星移動(dòng)通信的高動(dòng)態(tài)還會(huì)帶來(lái)跟蹤和同步的問(wèn)題。差分調(diào)制解調(diào)是高動(dòng)態(tài)條件下信息傳輸?shù)囊环N重要方法，也是目前克服高動(dòng)態(tài)效應(yīng)很有效的方法。其他信息傳輸方法，如多進(jìn)制擴(kuò)頻、采用并行導(dǎo)頻等，在能夠克服的高動(dòng)態(tài)范圍方面，均不如差分調(diào)制解調(diào)，也不能比差分調(diào)制解調(diào)更節(jié)省比特能量［1～3］。因此，差分調(diào)制解調(diào)可以在保證可靠性的基礎(chǔ)上，比其他方法更為高效地進(jìn)行信息傳輸。

面向差分調(diào)制解調(diào)的編碼問(wèn)題是一個(gè)有趣的問(wèn)題。當(dāng)編碼碼率太高時(shí)，根據(jù)香農(nóng)定理，它不能有效利用帶寬，不能達(dá)到最有效地利用比特能量［4］；當(dāng)編碼碼率過(guò)低時(shí)，比特能量分散到各個(gè)編碼碼元，碼元能量過(guò)低，導(dǎo)致接收端接收信號(hào)信噪比太低，差分解調(diào)時(shí)，噪聲得到極大的放大，這會(huì)導(dǎo)致譯碼時(shí)發(fā)生更多的錯(cuò)誤。因此，直觀上判斷，面向差分調(diào)制解調(diào)的編碼碼率，既不宜過(guò)高，不宜過(guò)低。那么，究竟采取哪種編碼碼率才能達(dá)到性能最優(yōu)？直至目前，尚未見(jiàn)文獻(xiàn)對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行研究。本文試圖從信息論的角度，計(jì)算不同碼率下的香農(nóng)限［5，6］，尋找出面向差分調(diào)制解調(diào)的最優(yōu)的編碼碼率。

2 信號(hào)模型

設(shè)發(fā)送信號(hào)為s（n），接收信號(hào)為r（n），則

其中，n（n）為高斯白噪聲。n（n）的均值為0，方差記為。則

其中，0N為自然噪聲的單邊帶功率譜密度。

對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行差分解調(diào)，有

其中，（·）*表示復(fù)共軛。式（3）中第一項(xiàng)為信號(hào)項(xiàng)，其他3項(xiàng)為噪聲項(xiàng)。記

顯然，由于噪聲為高斯白噪聲，z1（n）、z2（n）、z3（n）相互獨(dú)立，且z1（n）、z2（n）符合高斯分布。z1（n）、z2（n）的均值均為0，方差均為Es。其中

為發(fā)送的符號(hào)能量。E｛·｝為求期望值。記

則z1，2（n）均值均為0，方差為，且符合高斯分布。

z3（n）的均值為0，方差為

z3（n）為2個(gè)獨(dú)立高斯隨機(jī)變量的乘積，其概率密度函數(shù)為［7］

當(dāng)0z=時(shí)，

圖1給出了z3（n）的概率密度函數(shù)。其中，取1。為方便比較，圖中同時(shí)畫(huà)出了標(biāo)準(zhǔn)方差的高斯函數(shù)。

圖1 z3（n）（2個(gè)高斯隨機(jī)變量乘積）的概率密度函數(shù)

由于z1，2（n）和z3（n）獨(dú)立，yn（n）的概率密度函數(shù)為z1，2（n）和z3（n）概率密度函數(shù)的卷積［8］

圖2 噪聲項(xiàng)yn（n）的概率密度函數(shù)

根據(jù)以上推導(dǎo)，差分檢測(cè)后的信號(hào)y（n）可記為

其中，ys（n）為信號(hào)項(xiàng)，yn（n）為噪聲項(xiàng)。

3 香農(nóng)限的計(jì)算

從發(fā)送s（n）到接收y（n），信道傳遞的互信息為

其中，H（·）為信源熵，如下

根據(jù)香農(nóng)定理，信道容量為最大互信息［4］

顯然，信道容量C跟調(diào)制方式有關(guān)，且為信號(hào)能量Es和噪聲功率的函數(shù)。下面的推導(dǎo)中，限定Es=1。于是，對(duì)于碼率為R的編碼，比特能量Eb為

其中，M為調(diào)制階數(shù)。對(duì)于差分BPSK調(diào)制，M=1；對(duì)于差分QPSK調(diào)制，M=2。

香農(nóng)限是指達(dá)到信道容量的無(wú)誤碼傳輸時(shí)，所需要的最小比特能量，通常用來(lái)表示。下面分別計(jì)算差分BPSK調(diào)制和差分QPSK調(diào)制的香農(nóng)限。

3.1 差分BPSK調(diào)制的香農(nóng)限

對(duì)于差分檢測(cè)所得的信號(hào)y（n），其概率密度函數(shù)為［5］

其中，py11（y）為pyn（u）左移到以-1為中心，py12（y）為pyn（u）右移到以+1為中心。因此，已知pyn（u）時(shí)，很容易求得p（y），進(jìn)而求得H（Y）。由于pyn（u）無(wú)法用解析解的形式表達(dá)出來(lái)，因此需采用數(shù)值計(jì)算的方式來(lái)求取H（Y）。

當(dāng)y（n）中信號(hào)項(xiàng)ys（n）已知時(shí)，y（n）的熵和噪聲yn（n）的熵相同，即

因此，已知pyn（u）時(shí)，很容易求得H（Yn），即H（Y|S）。同樣，H（Y|S）的求取需采用數(shù)值計(jì)算的方法。

1） 根據(jù)式（7）和式（9）計(jì)算pz1，2（u）和pz3（u），其中，Es=1，并注意避開(kāi)pz3（0）。

2） 根據(jù)式（13）計(jì)算pyn（u）。

3） 根據(jù)式（16）、式（20）計(jì)算H（Y|S）。

4） 將pyn（u）分別左移-1和右移+1，得到py11（y）和py12（y）。

5） 根據(jù)式（19）得到p（y）。

6） 根據(jù)式（16）求得H（Y）。

7） 根據(jù)C=H（Y）-H（Y|S）求得信道容量C。

根據(jù)以上計(jì)算過(guò)程，很容易計(jì)算出不同噪聲方差下的信道容量C，并畫(huà)出信道容量C和噪聲方差之間的變化曲線。再根據(jù)式（18）和式（2）的關(guān)系，很容易將橫坐標(biāo)2nσ轉(zhuǎn)換為。圖3為碼率為時(shí)信道容量C和的關(guān)系。

圖3碼率差分BPSK調(diào)制時(shí)不同信噪比下的信道容量

根據(jù)此方法，可求出不同碼率下的香農(nóng)限。如表1和圖4所示。

表1 差分BPSK調(diào)制時(shí)不同碼率下的香農(nóng)限

圖4 差分BPSK調(diào)制時(shí)不同碼率下的香農(nóng)限

3.2 差分QPSK調(diào)制的香農(nóng)限

計(jì)算差分QPSK香農(nóng)限的過(guò)程與計(jì)算差分BPSK香農(nóng)限的過(guò)程類似，只不過(guò)噪聲變?yōu)閺?fù)噪聲，實(shí)部虛部的分布分別如式（13）所示，且實(shí)部虛部獨(dú)立。同時(shí)，式（19）變化為

其中，py21（y）、py22（y）、py23（y）、py24（y）分別為復(fù)噪聲平移到以1、、exp（jπ）和為中心。

按照求差分BPSK相同的方法，可以求得差分QPSK調(diào)制時(shí)不同碼率下的香農(nóng)限。圖5為碼率為時(shí)的信道容量，表2和圖6為差分QPSK調(diào)制時(shí)不同碼率下的香農(nóng)限。

圖5碼率差分QPSK調(diào)制時(shí)不同信噪比下的信道容量

表2 差分QPSK調(diào)制時(shí)不同碼率下的香農(nóng)限

圖6 差分QPSK調(diào)制時(shí)不同碼率下的香農(nóng)限

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)采用實(shí)際的編碼來(lái)檢驗(yàn)不同碼率下差分調(diào)制解調(diào)的性能。

4.1 不同碼率咬尾卷積編碼的差分調(diào)制解調(diào)性能

表3 不同碼率的編碼多項(xiàng)式

圖7 不同卷積編碼碼率下差分BPSK調(diào)制解調(diào)的性能

圖8 不同卷積編碼碼率下差分QPSK調(diào)制解調(diào)的性能

4.2 不同碼率Turbo編碼的差分調(diào)制解調(diào)性能

圖9 不同Turbo編碼碼率下差分BPSK調(diào)制解調(diào)的性能

圖10 不同Turbo編碼碼率下差分QPSK調(diào)制解調(diào)的性能

5 結(jié)束語(yǔ)

差分調(diào)制解調(diào)是無(wú)線通信中可靠性和有效性傳輸?shù)囊环N折衷的方法。面向差分調(diào)制解調(diào)的編碼碼率既不宜過(guò)高，也不宜過(guò)低。本文從信息論的角度，求出各種碼率下的香農(nóng)限，得出編碼碼率在時(shí)，差分BPSK和差分QPSK調(diào)制解調(diào)的性能最優(yōu)，并采用不同碼率下的卷積編碼和Turbo編碼，仿真驗(yàn)證了這一結(jié)論。

本文的工作為差分調(diào)制解調(diào)時(shí)編碼碼率的選取提供了指導(dǎo)。但是，由于實(shí)際采用的編碼，性能都和香農(nóng)限有差異，因此針對(duì)實(shí)際的編碼，應(yīng)在碼率附近，仔細(xì)仿真后以最終實(shí)際編碼的性能為準(zhǔn)，選取最優(yōu)的碼率。從這個(gè)意義上說(shuō)，本文的工作為編碼碼率的選取提供了一個(gè)啟發(fā)指導(dǎo)。

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徐亞沖（1984-），男，山東肥城人，碩士，中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所工程師，主要研究方向?yàn)闊o(wú)線通信、衛(wèi)星通信。

胡東偉（1980-），男，湖北麻城人，博士，中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)闊o(wú)線通信理論、集成電路設(shè)計(jì)。

On the coding rate for differential modulation and detections

XU Ya-chong， HU Dong-wei
（The 54th Research Institute of CETC， Shijiazhuang 050081， China）

Differential demodulation is an important method of solving the information transmission which is used in the high dynamic condition of the wireless communication. The coding rate for differential modulation and detections neither be too high， nor be too low. To find the optimal coding rate， the Shannon limit of error free transmissions with different rates for differential BPSK and differential QPSK were derived. Thereafter， the optimal coding rate was obtained from the view point of information theory. Convolutional codes and Turbo codes with different rates were employed， and simulations were conducted for the verification of the result.

differential demodulation， coding rate， convolutional code， Turbo code

TP393

A

10.11959/j.issn.2096-109x.2016.00072

2016-05-07；

2016-07-02。通信作者：徐亞沖，chongge006@163.com