陳振強，薛玉君,，余永健，李濟順，馬 偉,

(河南科技大學 a.機電工程學院；b.河南省機械設計及傳動系統(tǒng)重點實驗室，河南 洛陽 471003)

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滾子直徑誤差及排布對軸承徑向跳動的影響*

陳振強a，薛玉君a,b，余永健b，李濟順b，馬 偉a,b

(河南科技大學 a.機電工程學院；b.河南省機械設計及傳動系統(tǒng)重點實驗室，河南 洛陽 471003)

根據圓柱滾子軸承各零件間的運動關系及幾何關系，建立了軸承外圈徑向跳動數(shù)學模型；分析了軸承外圈徑向跳動的算法原理，并對軸承的運動過程進行數(shù)值仿真；在不考慮軸承內、外圈滾道和滾子圓度誤差的情況下，研究了滾子直徑誤差及滾子排布方式對軸承外圈徑向跳動的影響。結果表明：當兩個滾子直徑誤差均為-1.5μm時，有誤差的兩個滾子相鄰排布對軸承外圈的徑向跳動有較大影響。當多個滾子直徑誤差相同且相鄰排布時，軸承外圈的徑向跳動相等。

圓柱滾子軸承；滾子直徑誤差；軸承外圈；徑向跳動

0 引言

軸承元件在制造過程中會形成圓度誤差、粗糙度等幾何誤差。軸承各元件的幾何誤差是影響軸承內外圈徑向跳動的重要因素。

史文祥等[1]和宋飛等[2]在已知圓柱滾子軸承套圈滾道存在圓度誤差的條件下，通過仿真得到其徑向跳動變化曲線，并分析了外圈徑向跳動與外圈滾道圓度誤差諧波階數(shù)、諧波系數(shù)的關系。吳柏華等[3]和李傳順等[4]從深溝球軸承內部幾何關系入手，考慮了滾動體的直徑誤差、內外圈滾道的圓度誤差等，著重分析了滾動體的直徑誤差以及內外圈滾道圓度誤差對深溝球軸承非重復性跳動的影響規(guī)律。王寶坤等[5]在考慮軸承內圈轉動的情況下，討論了滾子直徑誤差對軸承徑向跳動的影響。Noguchi等[6]從理論上研究了波紋度和滾動體的直徑偏差對軸承徑向非重復性跳動的影響規(guī)律。Okamoto[7]通過試驗獲得球軸承外圈形狀精度和球的尺寸差對內圈旋轉時軸心的影響，并論證了跳動的性質。袁幸等[8]研究了軸承鋼球個數(shù)及鋼球誤差對軸承非重復性跳動影響。趙前程等[9-10]在建立軸承模型和表征軸承元件誤差方面都有自己的見解。

滾子直徑和帶誤差滾子的排布方式是影響軸承徑向跳動的關鍵因素，本文以圓柱滾子軸承為研究對象，在不考慮內外圈及滾子的圓度誤差情況下，分析滾子直徑誤差及其滾子的排布方式對軸承外圈徑向跳動的影響，為設計和研發(fā)高精度圓柱滾子軸承提供理論支持。

1 數(shù)學模型的建立

1.1 基本假設

(1)內圈固定，滾子和外圈滾道在徑向平面內做平面內的移動和轉動。各元件之間運動為純滾動，初始運動時滾子與內圈滾道均布接觸，外圈以恒定的角速度旋轉。

(2)不考慮保持架與滾子間的游動間隙，即認為滾子均布于內圈滾道；僅考慮滾子直徑誤差對軸承徑向跳動的影響。

(3)不考慮彈流潤滑、溫度等方面的因素。

1.2 外圈滾道的簡化

為簡化計算，外圈滾道曲線形狀可以用標準圓表示，則滾道曲線在直角坐標系下的參數(shù)方程為:

(1)

式中：de為外圈滾道直徑。

1.3 建立坐標系

為了能方便地描述軸承及其零件的運動，將圓柱滾子軸承放在設定的平面坐標系中進行分析。如圖1所建立的坐標系，最里邊實線圓表示為內圈滾道，其直徑為di，由于內圈滾道為理想圓，其圓心設為整體坐標系坐標原點Ο；水平方向為Χ軸，豎直方向為Υ軸；最外邊實線圓表示為外圈滾道，其基圓直徑de，圓心為O0；小圓表示為各個滾子，為了表示方便進行了編號，初始狀態(tài)其各自圓心坐標為Oi(xi,yi)，圖中標出了7#滾子的圓心O7。

圖1 初始狀態(tài)

1.4 軸承各零件的幾何關系

外圈與滾子間的運動幾何關系是：

(2)

式中:φ為外圈轉動的角度；α為外圈轉動一定角度后，滾子所轉動的角度；de為外圈滾道直徑；di為內圈滾道直徑。

第i(i=1,2,…，Z)個滾子的圓心與X軸之間的夾角為：

(3)

其對應的滾子圓心坐標為：

(4)

式中：Dw為滾子直徑；β為第一個滾子與X軸正半軸之間的夾角，仿真中β設定為20°。

2 數(shù)值仿真與模擬

2.1 設定相關參數(shù)

在整體坐標系下，設定外圈的轉動步長為h=360/n，n值當然越大越好，但為了保證計算速度和質量，360≤n≤3600 (n∈Z*)。外圈轉動的角度為φj=jh，(j=1,2,3…)。

2.2 仿真流程

通過建立的數(shù)學模型，對圓柱滾子軸承的運動狀態(tài)進行數(shù)值與模擬，實現(xiàn)的步驟如程序流程圖2所示。

圖2 仿真流程圖

2.3 運動仿真

根據基本假設條件，在不考慮載荷作用的情況下，外圈每轉動一個步長，X軸下方的滾子和外圈滾道都進行以下的動作：

(1)初始狀態(tài)

內外圈滾道與滾子的初始狀態(tài)如圖1所示：內圈滾道為理想圓，滾子均布于內圈滾道上；已知各個滾子的圓心外圈滾道各點在整體坐標系下的坐標。

(2)計算滾子圓心

X軸下方滾子沿其徑向方向移動，直至滾子與外圈接觸。以7#滾子為例，借助于圖1和圖3講述7#滾子的移動過程。

圖3 7#滾子的移動

11等分弧。如圖3所示，點O和點O7連線的延長線與外圈輪廓有交點B，在外圈上以B點為參考點，在該點之前和之后劃出一定弧度，將該弧度k等分，找出(k+1)個節(jié)點，每個節(jié)點坐標已知。

22表示滾子圓心坐標。7#滾子不管滾子怎樣移動，移動后滾子圓心都在直線lOB上，該線的斜率為：k7=y7/x7因此移動后的7#滾子圓心坐標可以表示為(x,k7*x)。

33求得滾子圓心。令每個節(jié)點到(x,k7*x)點之間的距離為Dw/2，這樣可以得到(k+1)個x值，選出這些x值中的最大值，那么這個最大值就是滾子與外圈接觸時滾子圓心的橫坐標，進而求出該滾子此時的坐標。同理，用此法可求得其它滾子圓心，結果如圖4所示。

圖4 X軸下方滾子移動結果

(3)計算外圈圓心位置

將外圈與滾子作為整體向內圈圓心方向移動，移動的結果是至少有兩個滾子與內圈同時接觸。具體算法如下：如圖4，滾子移動后，6#，7#，8#，9#，10#滾子與外圈接觸，其中各自圓心在整體坐標系下的坐標已知。任取兩個滾子與內圈相切則可以得到圓心的坐標有10種組合，但若有其中兩個滾子同在Y軸左則或同在Y軸右則，則軸承處于不穩(wěn)定狀態(tài)，綜合考慮之后7#與8#、7#與9#、7#與10、8#與6#、6#與9#、6#與10#，6種組合能使軸承處于穩(wěn)定狀態(tài)，是否干涉還需進一步判斷。

外圈每轉一個步長都有6種滾子組合與內外圈同時接觸，且這6種組合中，只有1種組合能使軸承處于穩(wěn)定狀態(tài)且與內外圈不發(fā)生干涉的；其余5種組合，雖然能使軸承處于穩(wěn)定狀態(tài)，但會與軸承內圈發(fā)生干涉。

(4)滾子與內外圈有效接觸的判據

2.4 仿真驗證

通過理論計算可以得出外圈的跳動kea，并與仿真值結果相比較。理論計算過程中所用軸承參數(shù)如表1。

表1 軸承零件參數(shù)

如圖5a，一個滾子圓心位于Y軸上，此種狀態(tài)下軸承外圈的徑向跳動值最小為：y0min=OO1=de/2-di/2-Dw；如圖5b，兩個滾子關于Y軸對稱，此狀態(tài)下軸承外圈的徑向跳動值最大，O1與外圈有切點C，O0C連線不過O1，圖5c是圖5b中幾點及連線，可得出O1O2邊在△O1O0O2和△O1OO2上的高h1，h2，y0max=OO0=h1-h2，數(shù)據如表2所示。

圖5 滾子位于兩種特殊位置

y0max/μmy0min/μm理論kea/μm仿真kea/μm相對誤差21.554920.51.05491.05460.03%

根據表2可知，仿真結果與理論真值相對誤差僅為0.03%，說明該仿真算法在基本假設的條件下可以正確預測圓柱滾子軸承的外圈徑向跳動。

3 算例及結果分析

為了研究滾子直徑對軸承外圈徑向跳動的影響，測量了某型號軸承的滾子直徑，滾子直徑誤差范圍為-4μm～4μm。在研究多個滾子直徑對軸承外圈徑向跳動的影響時，本文仿真所用軸承參數(shù)如表1，選取的滾子直徑誤差為±1.5μm。

3.1 單個滾子直徑存在誤差對軸承外圈徑向跳動的影響

假設內、外圈滾道和滾子輪廓均為理想圓，在所有滾子中，若其中一個滾子直徑存在誤差，軸承外圈的跳動值如圖6所示。

圖6 不同滾子直徑誤差時的徑向跳動值

如圖6所示，單個滾子直徑發(fā)生變化，當滾子直徑為正誤差時，最大徑向跳動值不變，最小徑向跳動值變小，導致軸承外圈徑向跳動變大；當滾子直徑為負誤差時，最小徑向跳動值不變，最大徑向跳動值變大，導致軸承外圈的徑向跳動值變大。

圖7給出了單個滾子直徑不同誤差下的外圈徑向跳動結果。滾子直徑存在正誤差和負誤差時，軸承外圈的徑向跳動均隨滾子直徑誤差的增大而線性增大。

圖7 不同滾子直徑下的軸承徑向跳動結果

圖8是滾子直徑誤差為正、負誤差時最小和最大徑向跳動值出現(xiàn)的位置，相對于滾子直徑無誤差時的徑向跳動值，圖8a最小徑向跳動值不變，其最大徑向跳動值的增加值小于滾子直徑的誤差，圖8b最小徑向跳動值的增加值近似等于滾子直徑的誤差，其最大徑向跳動值不變。由此可解釋圖7中滾子直徑正誤差條件下的軸承外圈徑向跳動比負誤差條件下的軸承外圈圈徑向跳動大。

圖8 軸承外圈最小和最大徑向跳動值出現(xiàn)位置

3.2 多個滾子直徑存在相同誤差對軸承外圈徑向跳動的影響

假設內、外圈滾道和滾子輪廓均為理想圓，在所有滾子中，若有兩個滾子直徑尺寸存在誤差，各滾子直徑誤差如表3所示，每組有10個滾子直徑誤差，編號1～4組兩個滾子直徑誤差為-1.5μm，可以發(fā)現(xiàn)，若兩個存在誤差的滾子相鄰排布使軸承外圈的最大徑向跳動值增大，而其最小徑向跳動值不發(fā)生變化，導致軸承外圈徑向跳動最大。編號6～9組兩個滾子直徑誤差為1.5μm，軸承外圈的最大和最小徑向跳動值不變，不會影響軸承外圈的徑向跳動。

表3 兩個滾子直徑存在相同誤差

通過以上分析可知，當有兩個滾子直徑誤差為正誤差時，滾子的排布方式對軸承外圈的徑向跳動沒有影響；當有兩個滾子直徑誤差為負誤差時，帶誤差的兩個滾子相鄰排布就會使軸承外圈的徑向跳動值最大。表4給出了兩個以上滾子直徑存在誤差且?guī)д`差滾子相鄰排布時的軸承外圈的徑向跳動，軸承外圈的最大徑向跳動值和最小徑向跳動值基本相同，即軸承外圈的徑向跳動基本相同。因此，這樣的現(xiàn)象可以說明兩個存在誤差的滾子相鄰排布產生的軸承外圈徑向跳動與3～9個存在誤差的滾子相鄰排布產生的軸承外圈徑向跳動相同。

表4 不同個數(shù)滾子直徑存在相同誤差

4 結論

(1)單個滾子直徑發(fā)生變化，當滾子直徑為正誤差時，最大徑向跳動值不變，最小徑向跳動值變小，導致軸承外圈徑向跳動變大；當滾子直徑為負誤差時，最小徑向跳動值不變，最大徑向跳動值變大，導致軸承外圈的徑向跳動值變大。

(2) 滾子直徑存在正誤差和負誤差時，軸承外圈的徑向跳動均隨滾子直徑誤差的增大而線性增大。

(3)兩個滾子直徑誤差為1.5μm時，滾子的排布方式對軸承的徑向跳動無影響；當兩個滾子直徑誤差為-1.5μm時，有誤差的兩個滾子相鄰排布會產生軸承外圈的最大徑向跳動。兩個存在誤差的滾子相鄰排布產生的徑向跳動與3～9個存在誤差的滾子相鄰排布產生的徑向跳動值相同。

[1] 史文祥,李濟順,劉永剛.圓柱滾子軸承旋轉精度的預測仿真[J]. 機械科學與技術,2012,31(4):612-615.

[2] 宋飛,李濟順,劉永剛. 圓柱滾子軸承滾道圓度誤差對旋轉精度的影響[J]. 軸承,2011(5):1-4.

[3] 吳柏華,毛范海,董惠敏. 深溝球軸承元件幾何誤差對回轉精度的影響[J]. 組合機床與自動化加工技術,2015(1):22-25.

[4] 李傳順,毛范海. 深溝球軸承元件幾何誤差對非重復性跳動影響[J]. 組合機床與自動化加工技術,2013(11):9-13.

[5] 王寶坤,毛范海,孫守林,等. 圓柱滾子軸承零件幾何誤差對載荷分布的影響[J]. 軸承,2014(2):30-35.

[6] Shoji Noguchi, Kyosuke Ono. Reduction of NRRO in ball bearings for HDD spindle motors [J]. Precision Engineering, 2004, 284:.

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[8] 袁幸,朱永生,洪軍,等. 精密球軸承不可重復跳動影響主軸動特性的預測[J]. 吉林大學學報(工學版),2012,42(2): 382-387.

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(編輯 李秀敏)

Effect of Rollers Diameter Error and Rollers Distribution on the Radial Runout of Bearing

CHEN Zhen-qianga, XUE Yu-juna,b,YU Yong-jianb, LI Ji-shunb, MA Weia,b

(a.College of Mechatronics Engineering;b. Henan Key Laboratory for Machinery Design and Transmission System, Henan University of Science and Technology, Luoyang Henan 471003,China)

According to the movement relationships and geometric relationships of cylindrical roller bearing parts, the mathematical model of the radial runout of bearing outer ring is established. The principle of algorithm for the radial runout of bearing outer ring is analyzed. Numerical simulation of the motion process of bearing is carried out. The effect of rollers diameter error and rollers distribution on the radial runout of bearing outer ring is researched, in which the inner ring and outer ring raceway roundness error as well as rollers roundness error are not taken into account. It is found that adjacent arrangement of two rollers with diameter errors has major effect on the radial runout of bearing outer ring when the diameter error of these two rollers is -1.5μm. The radial runout of bearing outer ring shows equal value, when multiple rollers have the same diameter error and are distributed in adjacent arrangement.

cylindrical roller bearing; rollers’ diameter error; outer ring raceway ; radial runout

1001-2265(2016)10-0078-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.10.021

2015-12-20；

2016-01-20

國家自然科學基金項目(51375148)；河南省基礎與前沿技術研究計劃(142300413217)；河南省高?？萍紕?chuàng)新團隊支持(15IRTSTHN008)

陳振強(1987—)，男，河南鄧州人，河南科技大學碩士研究生，主要從事軸承的研究，(E-mail)czq_007@126.com；通訊作者：薛玉君(1971—)，男，河南焦作人，河南科技大學教授，博士生導師，博士，研究方向為機械產品數(shù)字化設計與性能分析，(E-mail)xue_yujun@163.com。

TH133.33；TG506

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