吳志強(qiáng)，張寶強(qiáng)

（天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072）

基于9階van der Pol方程的三穩(wěn)態(tài)電路設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)

吳志強(qiáng)，張寶強(qiáng)

（天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072）

基于9階van der Pol方程的分岔結(jié)果，設(shè)計(jì)了1個(gè)平衡點(diǎn)和2個(gè)極限環(huán)共存的三穩(wěn)態(tài)電路．利用平均法分析了9階van der Pol方程的分岔性質(zhì)，設(shè)計(jì)了能夠?qū)崿F(xiàn)三穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的無量綱方程的系統(tǒng)參數(shù)．根據(jù)基爾霍夫電路定理，利用運(yùn)算放大器和模擬乘法器等元件，構(gòu)建了9階van der Pol方程的電路原理圖，并通過PSpice仿真和硬件電路試驗(yàn)驗(yàn)證了該電路的可行性和可靠性．試驗(yàn)結(jié)果表明，該電路系統(tǒng)中有1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)與2個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)共存的現(xiàn)象，為研究確定性激勵(lì)以及隨機(jī)激勵(lì)下三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為奠定了基礎(chǔ)．

三穩(wěn)態(tài)電路；van der Pol方程；PSpice仿真

自1927年van der Pol［1］在研究三極管的振蕩效應(yīng)過程中提出了van der Pol方程以來，van der Pol振子作為一種典型的非線性系統(tǒng)，對于人們認(rèn)識Hopf分岔現(xiàn)象以及自激振動(dòng)（蕩）現(xiàn)象發(fā)揮了重要作用，被廣泛用于力學(xué)、物理、工程科學(xué)等領(lǐng)域的系統(tǒng)建模和分析．為探討平衡點(diǎn)附近更大范圍的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為，高階van der Pol方程理論的研究逐步引起人們關(guān)注［2-3］，其中試驗(yàn)驗(yàn)證作為一種重要的手段，一直被學(xué)者們所關(guān)注．

與機(jī)械試驗(yàn)的方法相比，電路試驗(yàn)因所受到的干擾因素少，實(shí)現(xiàn)起來相對簡單快捷，在非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的研究和試驗(yàn)驗(yàn)證方面發(fā)揮了重要作用．比如Chua氏電路的提出和試驗(yàn)，解決了人們關(guān)于混沌現(xiàn)象是否存在于真實(shí)系統(tǒng)的疑問［4］，促進(jìn)了混沌動(dòng)力學(xué)的發(fā)展．

van der Pol電路理論、仿真和試驗(yàn)研究，也一直得到人們的持續(xù)關(guān)注，所考慮非線性項(xiàng)的最高次數(shù)不斷增加．唐志凱等［5］利用運(yùn)算放大器和模擬乘法器等電子元件復(fù)現(xiàn)了van der Pol振子系統(tǒng)，并在PSpice中進(jìn)行了仿真驗(yàn)證；Lu等［6］將憶阻器應(yīng)用到van der Pol振子電路中，并利用Multisim進(jìn)行了仿真驗(yàn)證；Feoktistov等［7-8］利用運(yùn)算放大器和模擬乘法器等元器件搭建了5階非線性的van der Pol電路，開展了理論和試驗(yàn)研究．Datardina等［9］則利用電阻、電感、穩(wěn)壓管等電氣元件搭建了5階非線性電阻，進(jìn)而構(gòu)成了具有雙穩(wěn)態(tài)的5階非線性電路，并研究了耦合的5階van der Pol振子的動(dòng)力學(xué)行為；Palumbo等［10］利用帶有5階多項(xiàng)式表示的壓控電流源的LC振子，實(shí)現(xiàn)了5階非線性電路，給出了仿真軟件Spectrede的仿真結(jié)果；Kojima等［11］則提出了一種7階非線性電阻的電路模型，用于構(gòu)建7階van der Pol振子電路，并研究了通過電感耦合的7階van der Pol振子的動(dòng)力學(xué)行為．

盡管人們在含高階非線性項(xiàng)的van der Pol系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面做了大量工作，但重點(diǎn)分析平衡點(diǎn)和極限環(huán)共存現(xiàn)象的工作并不多．Zakharova等［8］針對具有雙穩(wěn)態(tài)行為的5階van der Pol電路，分析了隨機(jī)激勵(lì)下的相干共振和隨機(jī)同步現(xiàn)象．而郝穎等［2］在研究多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為時(shí)提到的三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，必須考慮9階非線性項(xiàng)，相關(guān)試驗(yàn)尚鮮見報(bào)道．

為探索高階非線性系統(tǒng)多穩(wěn)態(tài)共存的現(xiàn)象，本文提出了一種9階van der Pol振子電路的設(shè)計(jì)方案，并通過模擬仿真和硬件電路完成了試驗(yàn)驗(yàn)證．

1　9階van der Pol方程的三穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)

無量綱van der Pol方程為

式中：ε為穩(wěn)定系數(shù)；αi（i=1，…，4）為非線性項(xiàng)的系數(shù)．

假設(shè)系統(tǒng)存在解的形式為

式中：y（t）為響應(yīng)的幅值；?=t+θ（t）．

應(yīng)用確定性平均法［12］求得平均方程為方程（4）的零解代表系統(tǒng)（1）（式（1））的平衡點(diǎn)，始終存在；方程（4）的非零解代表極限環(huán)，存在于特定參數(shù)條件下．要實(shí)現(xiàn)平衡點(diǎn)和多極限環(huán)共存，關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇．

綜合考慮平均法的精度和電路試驗(yàn)中元器件參數(shù)選擇的可行性，本文選α1=2.5，α2=4.545，α3=2.5，α4=0.4，則參數(shù)ε變化時(shí)系統(tǒng)分岔圖如圖1所示．圖1中實(shí)線表示穩(wěn)定解（平衡點(diǎn)及極限環(huán)），點(diǎn)劃線表示不穩(wěn)定極限環(huán)，星號線表示數(shù)值計(jì)算結(jié)果．圖2給出不同參數(shù)下系統(tǒng)中共存的吸引子的相圖，不穩(wěn)定極限環(huán)未在圖中畫出．

從圖1中可以看出，參數(shù)ε變化時(shí)系統(tǒng)行為發(fā)生多次分岔．ε∈（-0.19，0］區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)存在1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和1個(gè)穩(wěn)定的幅值較大的極限環(huán)，系統(tǒng)相圖如圖2（a）所示；ε∈［-0.23，-0.19］區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)存在1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和2個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)（其中一個(gè)幅值較大，另一個(gè)幅值較?。到y(tǒng)相圖如圖2（b）所示；ε∈［-0.33，-0.23）區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)存在1個(gè)平衡點(diǎn)和1個(gè)穩(wěn)定的幅值較大的極限環(huán)，系統(tǒng)相圖如圖2（c）所示．當(dāng)選擇系統(tǒng)參數(shù)ε∈［-0.23，-0.19］時(shí)，由于系統(tǒng)中同時(shí)存在3個(gè)穩(wěn)定吸引子，即可實(shí)現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)設(shè)計(jì)．可見，借助分岔分析結(jié)果，可以直觀地進(jìn)行多穩(wěn)態(tài)行為的參數(shù)設(shè)計(jì)．

圖1 系統(tǒng)的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of the system

圖2 系統(tǒng)相圖Fig.2 Phase diagram of the system

圖3 9階van der Pol振子電路原理Fig.3 Circuit diagram of ninth-order van der Pol oscillator circuit

2　三穩(wěn)態(tài)van der Pol電路的設(shè)計(jì)

本文采用線性電阻、線性電容、運(yùn)算放大器（LF412CN）、模擬乘法器（AD633JN）設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)9階van der Pol振子系統(tǒng)電路，其中運(yùn)算放大器用來實(shí)現(xiàn)電路的加、減和積分運(yùn)算，模擬乘法器用來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)，系統(tǒng)的電路原理如圖3所示．

根據(jù)基爾霍夫電壓電流定理，可得系統(tǒng)的電路方程為式中：V1為反相積分器U1輸出的電壓信號，V；V3為可變電阻R15中間端子輸出的電壓值，V；Ri（i=1，2，··，16）為對應(yīng)電阻的阻值，k?；C1、C2分別為2個(gè)電容器的電容值，nF．

選取電容參數(shù)C1=C2=10 nF ，電阻參數(shù)R2=R3= R4=R10=R13=1k?，R1=R5=R11=R12=10k?，R6= R8=100 k?，R7=4 k?，R9=2.2 k?，R14=4 k?，可變電阻R15=20 k?，R16=25 k?，可使系數(shù)α1=2.5，α2=4.545，α3=2.5，α4=0.4，從而實(shí)現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)電路設(shè)計(jì)．需要注意的是，從式（6）可以看出，式（1）中的參數(shù)是由多個(gè)電路元器件參數(shù)組合而成，故存在其他種類的元器件參數(shù)組合也可實(shí)現(xiàn)圖1預(yù)測到的系統(tǒng)三穩(wěn)態(tài)行為．

本文選擇參數(shù)時(shí)，遵循以下原則：①電阻、電容參數(shù)的選擇盡可能統(tǒng)一且為市場上常見的標(biāo)稱值；②電路系統(tǒng)的線性頻率滿足現(xiàn)有測量儀器（如示波器）的正常工作范圍．

3　三穩(wěn)態(tài)van der Pol電路的仿真及試驗(yàn)

為避免試驗(yàn)過程中的彎路且為實(shí)際電路的搭建提供依據(jù)，先進(jìn)行仿真分析．在確定上述電路設(shè)計(jì)正確的基礎(chǔ)上，再搭建實(shí)物電路進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證．

3.1電路仿真及結(jié)果

本文所采用的電子設(shè)計(jì)自動(dòng)化（electronic design automation）軟件為PSpice．PSpice是一款非常出色的EDA軟件，可以最大程度地模擬出真實(shí)電子元器件的性質(zhì)．在PSpice中搭建原理圖并仿真，輸出端V1、V2的仿真結(jié)果如圖4所示．

仿真過程中，調(diào)節(jié)V3=-0.23，V（在三穩(wěn)態(tài)區(qū)間內(nèi)），給定初始條件為0.1V，系統(tǒng)兩狀態(tài)變量的時(shí)間歷程曲線以及相圖如圖4（a）和4（b）所示，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為平衡點(diǎn)；給定初始條件為0.5 V，系統(tǒng)兩狀態(tài)變量的時(shí)間歷程曲線以及相圖如圖4（c）和4（d）所示，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為幅值較小的極限環(huán)；給定初始條件為1.0 V，系統(tǒng)兩狀態(tài)變量的時(shí)間歷程曲線以及相圖如圖4（e）和4（f）所示，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為幅值較大的極限環(huán)．仿真結(jié)果說明該參數(shù)下系統(tǒng)存在3個(gè)吸引子共存的現(xiàn)象，因此也具備了搭建實(shí)際電路的可行性．

圖4 9階van der Pol振子電路仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of ninth-order van der Pol oscillator circuit

3.2硬件電路試驗(yàn)及結(jié)果

考慮到電路實(shí)際運(yùn)行情況與模擬仿真有一定的不同，在圖3所示電路原理基礎(chǔ)上，筆者在Protel中重新繪制了電路原理圖，如圖5所示．

調(diào)節(jié)圖中可變電阻R25的阻值，可得到不同電壓值，通過按鈕開關(guān)S1實(shí)現(xiàn)給定不同的初始條件．此外，R7、R9、R14、R16均為可變電阻，以方便調(diào)節(jié)阻值參數(shù)；其余電路元器件參數(shù)同上，輸出端為V1和V2．圖6為電路板實(shí)物照片．

圖5 9階van der Pol振子電路的Protel原理Fig.5 Protel diagram of ninth-order van der Pol oscillator circuit

圖6 9階van der Pol振子電路實(shí)物Fig.6 Physical picture of ninth-order van der Pol oscillator circuit

在電路試驗(yàn)中，取ε=-0.24 V ，即調(diào)節(jié)可變電阻R15的阻值使V3=-0.24，V，分別給定不同大小的初始條件，系統(tǒng)2個(gè)輸出端的V1和V2的信號由示波器采集，試驗(yàn)結(jié)果如圖7所示．圖7（a）和7（b）表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)為平衡點(diǎn)，穩(wěn)定時(shí)兩狀態(tài)變量響應(yīng)為0；圖7（c）和7（d）表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)為幅值較?。s1.2，V）的極限環(huán)，穩(wěn)定時(shí)兩狀態(tài)變量響應(yīng)為正弦曲線；圖7（e）和7（f）表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)為幅值較大（約3.8，V）的極限環(huán)，由于此時(shí)系統(tǒng)的非線性變強(qiáng)，響應(yīng)波形發(fā)生畸變．需要說明的是，由于電路瞬態(tài)過程時(shí)間很短，圖7中試驗(yàn)結(jié)果只給出響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)以后的結(jié)果，與圖4中給出的仿真結(jié)果是一致的．

比較圖4、圖7和圖1可知：首先，PSpice對本文所給出的電路具有很高的仿真精度，仿真波形與試驗(yàn)所得波形吻合度非常高；其次，與理論結(jié)果相比較，波形畸變后幅值相差較大．原因可能有兩個(gè)方面：①用平均法近似求解時(shí)，僅僅考慮了基頻分量，而圖4（e）、圖7（e）波形畸變后，高頻成分不再是小量，不可忽略不計(jì)；②理論推導(dǎo)過程中，對模擬乘法器以及運(yùn)算放大器的輸入輸出采用理想函數(shù)，忽略了實(shí)際元器件特性的限制．

后續(xù)多穩(wěn)態(tài)電路改進(jìn)設(shè)計(jì)時(shí)，擬通過降低極限環(huán)最大幅值來提高理論和試驗(yàn)結(jié)果吻合程度．

圖7 9階van der Pol振子電路試驗(yàn)結(jié)果Fig.7Experimental results of ninth-order van der Pol oscillator circuit

4　結(jié) 語

本文利用運(yùn)算放大器和模擬乘法器等電子元器件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了一種9階van der Pol振子非線性電路．首先，利用平均法設(shè)計(jì)了系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)三穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的無量綱方程的參數(shù)；其次，依據(jù)該參數(shù)，利用PSpice對所設(shè)計(jì)的電路進(jìn)行了模擬仿真分析；最后，在上述基礎(chǔ)上搭建了硬件電路并完成了試驗(yàn)驗(yàn)證.通過調(diào)節(jié)分岔參數(shù)以及給定不同的初始條件，仿真和試驗(yàn)都得到了不同穩(wěn)態(tài)下該系統(tǒng)中2個(gè)狀態(tài)變量的波形及其相圖的軌跡，直觀地展示了高階非線性系統(tǒng)中3個(gè)吸引子共存的現(xiàn)象，所用方法對更高維非線性系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)有參考價(jià)值，并為下一步開展隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為的試驗(yàn)研究奠定了基礎(chǔ)．

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（責(zé)任編輯：金順愛）

Design and Implementation of Tri-Stable Circuit Based on the Ninth-Order van der Pol Equation

Wu Zhiqiang，Zhang Baoqiang
（School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

A kind of tri-stable circuit with one stable equilibrium point and two stable limit cycles was designed based on the bifurcation analysis of the ninth-order van der Pol equation．By using the averaging method，the bifurcation properties of the ninth-order van der Pol equation were analyzed，and the dimensionless equation parameters which could achieve the tri-stable phenomena were designed．According to Kirchhoff laws，the circuit diagram of the ninthorder van der Pol equation was constructed with such elements as operational amplifiers，analog multiplier，etc．The feasibility and reliability of the circuit were verified by PSpice simulation and hardware experiments．The results show that the proposed circuit system does have one stable equilibrium point and two stable limit cycles，which lays a foundation for further study on the dynamic behaviors of tri-stable system under deterministic excitation and random excitation.

tri-stable circuit；van der Pol equation；PSpice simulation

O322

A

0493-2137（2016）07-0709-07

10.11784/tdxbz201507003

2015-07-01；

2015-08-13.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11372211）.

吳志強(qiáng)（1968— ），男，博士，教授.

吳志強(qiáng)，zhiqwu@tju.edu.cn.

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-09-01. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20150901.0843.002.html.