王 喆，曾 俠，劉松濤，宋 濤，梅江平

（1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 辰星（天津）自動化設(shè)備有限公司技術(shù)部，天津 301701）

一種2自由度高速并聯(lián)機(jī)械手的軌跡規(guī)劃方法

王 喆1，曾 俠1，劉松濤2，宋 濤2，梅江平1

（1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 辰星（天津）自動化設(shè)備有限公司技術(shù)部，天津 301701）

以一種平面2自由度高速并聯(lián)機(jī)械手為研究對象，研究其高速搬運(yùn)作業(yè)的操作空間和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃策略．通過關(guān)鍵路徑點(diǎn)設(shè)置，定義針對點(diǎn)到點(diǎn)的典型搬運(yùn)作業(yè)軌跡．針對操作空間，以運(yùn)動學(xué)逆解模型為基礎(chǔ)，利用3-4-5次多項式運(yùn)動規(guī)律，建立關(guān)節(jié)空間運(yùn)動特征（角度、速度和加速度）關(guān)于操作空間運(yùn)動特征的函數(shù)映射．針對關(guān)節(jié)空間，以運(yùn)動學(xué)正解模型為基礎(chǔ)，利用5次非均勻B樣條運(yùn)動規(guī)律，建立操作空間運(yùn)動特征關(guān)于關(guān)節(jié)空間運(yùn)動特征的函數(shù)映射．給定相同的關(guān)鍵路徑點(diǎn)和運(yùn)動時間，以一組參數(shù)為例，對比分析在兩種不同軌跡規(guī)劃方法下末端參考點(diǎn)的運(yùn)動特征，并進(jìn)行對比試驗．結(jié)果表明：基于5次非均勻B樣條運(yùn)動規(guī)律的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃在降低系統(tǒng)功耗和抑制機(jī)構(gòu)殘余振動方面具有顯著優(yōu)勢．

并聯(lián)機(jī)械手；軌跡規(guī)劃；5次非均勻B樣條；殘余振動；系統(tǒng)功耗

近年來為滿足食品、電子、醫(yī)藥和日化等行業(yè)高速搬運(yùn)作業(yè)的需求，一類可以完成高速抓取和放置作業(yè)的并聯(lián)機(jī)械手［1-3］得到學(xué)術(shù)界和工程界的普遍關(guān)注．該類機(jī)械手的伺服驅(qū)動裝置可安裝在固定支架上且運(yùn)動桿件可采用輕質(zhì)細(xì)桿制作而成，故特別適合實(shí)現(xiàn)平面或空間內(nèi)的高速搬運(yùn)作業(yè)．目前，圍繞該類高速并聯(lián)機(jī)械手的研究主要涉及兩方面內(nèi)容：①性能評價［4-5］，研究合理的運(yùn)動學(xué)/動力學(xué)性能指標(biāo)，評價機(jī)構(gòu)運(yùn)動和控制性能的優(yōu)劣；②尺度綜合［6-7］，以所定義的運(yùn)動學(xué)/動力學(xué)性能指標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo)，研究如何獲得最優(yōu)尺度參數(shù)，充分發(fā)揮機(jī)構(gòu)的運(yùn)動性能．顯然，上述研究均僅從描述機(jī)構(gòu)特性的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，未進(jìn)一步探討機(jī)械手在真實(shí)作業(yè)狀態(tài)下性能的優(yōu)劣．考慮到該類機(jī)械手主要用于高速完成點(diǎn)到點(diǎn)的目標(biāo)物搬運(yùn)作業(yè)，其運(yùn)動過程具有高速和高加速特性，因此評價真實(shí)作業(yè)過程中其性能的優(yōu)劣主要有兩方面：①在保證高速和高加速性能的同時，是否可以實(shí)現(xiàn)低功耗；②在高速和高加速運(yùn)動特性下，是否可以有效降低振動，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的點(diǎn)到點(diǎn)定位．在利用運(yùn)動學(xué)/動力學(xué)分析優(yōu)化確定合理的尺度和工作空間參數(shù)后，合理的軌跡規(guī)劃［8］是保證真實(shí)作業(yè)時機(jī)械手性能優(yōu)劣的關(guān)鍵．然而，目前軌跡規(guī)劃多數(shù)在機(jī)械手的操作空間［9-10］完成，即根據(jù)任務(wù)需求，采用S曲線［11］、修正梯形［12］及正弦等運(yùn)動規(guī)律實(shí)現(xiàn)運(yùn)動軌跡規(guī)劃，其缺陷是一般只能實(shí)現(xiàn)2個路徑點(diǎn)之間的軌跡規(guī)劃，如若需要實(shí)現(xiàn)多個路徑點(diǎn)之間的連續(xù)軌跡規(guī)劃，需分段插補(bǔ)，會導(dǎo)致電機(jī)力矩變化不平滑，產(chǎn)生機(jī)構(gòu)振動，影響機(jī)構(gòu)定位精度和使用壽命．為解決操作空間軌跡規(guī)劃存在的問題，文獻(xiàn)［13］提出了基于修正梯形運(yùn)動規(guī)律的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法，其易于實(shí)現(xiàn)對運(yùn)動起點(diǎn)和終點(diǎn)的約束，然而對于有避障需求的軌跡規(guī)劃實(shí)施困難且計算復(fù)雜．文獻(xiàn)［14-15］采用三次樣條曲線的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法，可以滿足多路徑點(diǎn)規(guī)劃的需要，但是其僅能保證位置、速度和加速度連續(xù)，而不能保證加加速度的連續(xù)．因此，針對高速并聯(lián)機(jī)械手的真實(shí)作業(yè)需求，研究在保證其真實(shí)作業(yè)性能的前提下實(shí)現(xiàn)低功耗和低振動的軌跡規(guī)劃方法，對于進(jìn)一步提高機(jī)械手運(yùn)動性能，推廣其在實(shí)際工程中的應(yīng)用具有重要意義．

本文以天津大學(xué)發(fā)明的2自由度高速并聯(lián)機(jī)械手［16］（以下簡稱Diamond機(jī)械手）為研究對象，在Adept Motion（bw=305 mm ，hw=25 mm ，符號含義見第3節(jié)）軌跡下最快抓取次數(shù)為120次/min．首先，針對典型的搬運(yùn)作業(yè)需求，設(shè)置關(guān)鍵路徑點(diǎn)，作為軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)．其次，在分析機(jī)械手運(yùn)動學(xué)正逆解模型的基礎(chǔ)上，一方面，利用3-4-5次多項式運(yùn)動規(guī)律，研究操作空間的軌跡規(guī)劃方法；另一方面，利用5次非均勻B樣條運(yùn)動規(guī)律，研究關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法．最后，以一組參數(shù)為例，通過對比兩種軌跡規(guī)劃方法下機(jī)械手關(guān)節(jié)空間和操作空間的運(yùn)動特征，表明在操作空間開展軌跡規(guī)劃存在的缺陷，并通過對比試驗，驗證基于5次非均勻B樣條運(yùn)動規(guī)律的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃在降低功耗和抑制殘留振動方面的顯著作用．

1　系統(tǒng)描述

Diamond機(jī)械手（如圖1所示）主體結(jié)構(gòu)由靜平臺、2條運(yùn)動支鏈和動平臺構(gòu)成．每條運(yùn)動支鏈均由主動臂、從動臂、肘架、姿態(tài)保持短桿和姿態(tài)保持長桿構(gòu)成，各運(yùn)動構(gòu)件間均通過轉(zhuǎn)動副連接．利用由主動臂、靜平臺、肘架和姿態(tài)保持短桿構(gòu)成的一組平行四邊形機(jī)構(gòu)與由從動臂、動平臺、肘架和姿態(tài)保持長桿構(gòu)成的一組平行四邊形機(jī)構(gòu)約束動平臺實(shí)現(xiàn)平面內(nèi)的二維平動．運(yùn)動支鏈中的主動臂與減速器輸出端固定連接，且通過與減速器輸入端固定連接的伺服電機(jī)驅(qū)動，使得2條主動臂均可完成獨(dú)立轉(zhuǎn)動，從而驅(qū)動動平臺在平面內(nèi)運(yùn)動．由于運(yùn)動支鏈中的主動臂和從動臂均可采用輕質(zhì)桿件制作而成，故該機(jī)械手特別適用于完成運(yùn)動平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)高速搬運(yùn)作業(yè)．

圖1 Diamond機(jī)械手三維模型Fig.1 3D model of Diamond manipulator

2　運(yùn)動學(xué)分析

Diamond機(jī)械手僅在平面內(nèi)做二維平動，故可將原系統(tǒng)簡化為圖2所示的平面5桿鉸接機(jī)構(gòu)．其中，動平臺被視為質(zhì)點(diǎn)P，在坐標(biāo)系Oxy下點(diǎn)P的位置矢量r=（xy）T可表示為

圖2 Diamond簡圖Fig.2 Schematic of Diamond

將ui=（（sgni）cosθ11sinθ12）T代入式（2），并整理為三角函數(shù)式，得

根據(jù)機(jī)構(gòu)的裝配模式，化簡式（3），可得位置逆解模型為

位置正解模型為

根據(jù)式（4）或式（5）可確定wi，即

將式（1）關(guān)于時間求導(dǎo)，得

式中：v為參考點(diǎn)P的速度矢量，v =（x.y.）T；θ.1i、θ.2i分別為第i條運(yùn)動支鏈中主動臂的角速度和從動臂的角速度．

將式（8）寫成矩陣形式，可得速度逆解模型為

速度正解模型為

將式（7）關(guān)于時間t求導(dǎo)，得

式中a為點(diǎn)P的加速度矢量．

履行與速度分析相仿的手續(xù)，可得加速度逆解模型為

加速度正解模型為

3　軌跡規(guī)劃

軌跡規(guī)劃涉及兩方面內(nèi)容：運(yùn)動路徑規(guī)劃和運(yùn)動規(guī)律優(yōu)選．根據(jù)機(jī)械手的真實(shí)作業(yè)狀態(tài)設(shè)置其末端通過的關(guān)鍵路徑點(diǎn)，是進(jìn)行運(yùn)動路徑規(guī)劃的前提．因Diamond機(jī)械手主要用于完成點(diǎn)到點(diǎn)的搬運(yùn)作業(yè)，設(shè)置路徑關(guān)鍵點(diǎn)時一般有如下考慮：①避開位于路線中的障礙物；②抓放軌跡簡單，易實(shí)現(xiàn)；③無不必要的時間損耗；④相鄰路徑點(diǎn)間過渡平緩，無沖擊．

根據(jù)上述考慮，可設(shè)置圖3所示路徑關(guān)鍵點(diǎn)Pi（i=1～7）．坐標(biāo)系O′ x′ y′位于工作空間中，其中x′軸平行于x軸，y′軸與y軸重合，原點(diǎn)O′在Oxy中的坐標(biāo)為（0，hs-H-h），則圖3所示各關(guān)鍵路徑點(diǎn)在Oxy坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為

圖3 關(guān)鍵路徑點(diǎn)設(shè)置Fig.3 Critical path points of trajectory

3.1操作空間軌跡規(guī)劃

在操作空間中，給定運(yùn)動規(guī)律，從單一運(yùn)動方向出發(fā)，利用運(yùn)動的分解與合成原理，完成軌跡規(guī)劃．圖3所示機(jī)械手的運(yùn)動軌跡由上升段—平移段—下降段構(gòu)成．設(shè)定完成上升段/下降段（即沿y軸提升/下降hw）所需時間為T1，完成平移段（即沿x軸平移bw）所需時間為T2，為了平滑地由上升段/下降段過渡到平移段，具體路徑規(guī)劃策略如表1所示．

考慮機(jī)械手真實(shí)作業(yè)呈現(xiàn)頻繁的加減速狀態(tài)且依據(jù)表1所示路徑規(guī)劃策略，選定操作空間運(yùn)動規(guī)律為3-4-5次多項式，則任意時刻沿任意不相關(guān)方向運(yùn)動滿足關(guān)系

式中：s（t）、v（t）、a（t）分別為t時刻目標(biāo)物在規(guī)劃方向上的位移、速度和加速度；T為完成規(guī)劃方向運(yùn)動所需的時間；amax為運(yùn)動過程中的最大加速度，a=5.7735S/ T2，S為在規(guī)劃方向上的總位移；λ=t/ T ．

表1 路徑規(guī)劃策略-操作空間Tab.1 Path planning strategy-operating space

依據(jù)式（15）和表1，操作空間所規(guī)劃軌跡上各點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向的運(yùn)動特征見表2和表3．將表2和表3中末端軌跡特征通過運(yùn)動學(xué)逆解模型并除以減速機(jī)的減速比即可求得驅(qū)動主動臂所需的伺服的角位移、角速度和角加速度，將其輸入控制系統(tǒng)中，即可驅(qū)動機(jī)械手按照上述運(yùn)動軌跡和運(yùn)動規(guī)律完成所需的點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動．依據(jù)3-4-5次多項式的特征，P2y、P3x、P5x、P6y為

表2 各軌跡點(diǎn)x向運(yùn)動特征Tab.2Movement characteristics of each track point in x direction

表3 各軌跡點(diǎn)y向運(yùn)動特征Tab.3Movement characteristics of each track point in y direction

3.2 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

（1）采用累積弦長參數(shù)化方法對時間節(jié)點(diǎn)tj進(jìn)行歸一化，求得5次非均勻B樣條軌跡曲線的定義域節(jié)點(diǎn)向量

其中

（2）由節(jié)點(diǎn)向量U計算求得5次非均勻B樣條基函數(shù)Nf，5（u）（f=0，1，…，n +9），有

（3）由德布爾遞推公式計算5次非均勻B樣條曲線上的位置點(diǎn)p（u），即

式中：dε（ε=0，1，…，n +4）為控制頂點(diǎn)；Nτ，5（u）（τ= 0，1，…，n+4）為5次規(guī)范B樣條基函數(shù)．

將曲線定義域［u5，un+5］內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值依次代入方程，得到滿足插值條件的n+1個方程，即

對于5次非均勻B樣條曲線，還需增加關(guān)節(jié)起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)速度、加速度4個邊界條件給定的附加方程，附加方程通過切矢邊界條件得到，即

聯(lián)立方程（22）和（23）可以求出5次非均勻B樣條的控制頂點(diǎn)dε．

（4）在確定控制頂點(diǎn)dε后，根據(jù)式（19）和（20），則可求出5次非均勻B樣條關(guān)節(jié)插補(bǔ)軌跡任意時刻的位置、速度、加速度，通過運(yùn)動學(xué)正解模型即可求得動平臺參考點(diǎn)P的位移、速度和加速度．此外，為了進(jìn)行操作空間與關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法的對比，依據(jù)圖3關(guān)鍵路徑點(diǎn)設(shè)置與操作空間軌跡的時間規(guī)劃，在相同時間內(nèi)進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，故設(shè)定關(guān)節(jié)角位移-時間序列如表4所示．

表4 關(guān)節(jié)角位移-時間序列設(shè)定Tab.4 Joint angular displacement-time series set

4　實(shí)例分析

設(shè)定機(jī)械手的尺度參數(shù)、工作空間參數(shù)、關(guān)鍵路徑點(diǎn)參數(shù)［17］如表5所示．

表5 機(jī)械手與工作空間尺度參數(shù)Tab.5 Parameters of manipulator and its workspace m

考慮機(jī)械手的一般工作狀態(tài)，設(shè)定T1=0.1s ，T2=0.2 s ．圖4所示為基于3-4-5次多項式操作空間軌跡規(guī)劃與基于5次非均勻B樣條關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃所得末端參考點(diǎn)P的軌跡對比．觀察發(fā)現(xiàn)2種軌跡規(guī)劃方法所得到的軌跡近似，因此2種軌跡規(guī)劃方法均可滿足機(jī)械手點(diǎn)到點(diǎn)的搬運(yùn)作業(yè)需求．

圖4 機(jī)械手動平臺軌跡曲線Fig.4 Trajectory curves of manipulator moving platform

圖5 關(guān)節(jié)角度曲線Fig.5 Curves of joint angle

圖5～圖7所示為2種軌跡規(guī)劃方法下關(guān)節(jié)運(yùn)動特征（角度、速度和加速度）隨時間的變化情況．觀察易知：①基于3-4-5次多項式的操作空間運(yùn)動軌跡規(guī)劃相比于基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃，其速度峰值增大約35%，加速度峰值增大約45%，即在同等慣性條件下，完成同樣運(yùn)動過程，前者所需功耗更高；②基于3-4-5次多項式的操作空間運(yùn)動軌跡規(guī)劃所得關(guān)節(jié)加速度曲線存在尖點(diǎn)，即導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，易導(dǎo)致機(jī)械手運(yùn)動過程中產(chǎn)生振動．基于5次非均勻B樣條軌跡規(guī)劃方法得到的關(guān)節(jié)速度和加速度曲線均可導(dǎo)，理論上能夠降低機(jī)械手運(yùn)動過程中產(chǎn)生的振動．為了驗證上述分析的正確性，基于表5數(shù)據(jù)開發(fā)出了Diamond機(jī)械手物理樣機(jī)（見圖8），用于進(jìn)行力矩試驗和振動試驗．

圖6 關(guān)節(jié)速度曲線Fig.6 Curves of joint velocity

圖7 關(guān)節(jié)加速度曲線Fig.7 Curves of joint acceleration

圖8 Diamond試驗樣機(jī)Fig.8 Diamond experiment prototype

首先，沿機(jī)械手坐標(biāo)系，在其動平臺上固定x向、y向和z向加速度傳感器，利用LMS振動測試儀采集加速度傳感器信號，利用NI數(shù)據(jù)采集卡由伺服驅(qū)動器采集各關(guān)節(jié)電機(jī)力矩信號．依據(jù)表1所示仿真軌跡參數(shù)設(shè)定，分別利用上述兩種軌跡規(guī)劃方法進(jìn)行試驗，得到伺服電機(jī)力矩曲線和x向、y向、z向加速度傳感器數(shù)據(jù)曲線，分別見圖9和圖10，圖10中左側(cè)虛線為機(jī)械手運(yùn)動開始時刻，右側(cè)虛線為運(yùn)動結(jié)束時刻．觀察圖9和圖10，可得結(jié)論如下．

（1） 完成相同的運(yùn)動，基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃方法所需驅(qū)動力矩值更小，便于在電機(jī)選型時選用額定力矩較低的電機(jī)，降低功耗且節(jié)省成本，與運(yùn)動學(xué)分析所得結(jié)論相吻合．

（2） 基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃方法，運(yùn)動過程中的末端各向加速度峰值和振動均更低．

圖9 關(guān)節(jié)實(shí)際力矩曲線Fig.9 Curves of joint actual torque

（3） 基于Diamond機(jī)械手z向相對于x向和y向剛度明顯偏低，因此z向殘余振動對機(jī)械手殘余振動的影響遠(yuǎn)大于x向和y向．基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃方法，圖10（a）、圖10（b）分別顯示x向、y向殘余振動降低，圖10（c）顯示z向殘余振動降低了37%，．所以該方法在控制機(jī)械手殘余振動方面具有明顯優(yōu)勢．

圖10 各運(yùn)動方向加速度曲線Fig.10 Acceleration curves in each moving direction

5　結(jié) 論

（1） 針對點(diǎn)到點(diǎn)的高速搬運(yùn)作業(yè)，設(shè)定了同時適用于操作空間和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的關(guān)鍵路徑點(diǎn)，將該類機(jī)械手在不同空間的軌跡規(guī)劃統(tǒng)一在了同一框架下．

（2） 以關(guān)鍵路徑點(diǎn)為基礎(chǔ)，系統(tǒng)研究了該類機(jī)械手操作空間軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的策略和實(shí)施方法．針對操作空間，提出了一種基于3-4-5次多項式運(yùn)動規(guī)律的軌跡規(guī)劃方法；針對關(guān)節(jié)空間，提出了一種基于5次非均勻B樣條運(yùn)動規(guī)律的軌跡規(guī)劃實(shí)施方法．

（3） 通過對比分析和試驗表明：基于5次非均勻B樣條的軌跡規(guī)劃方法在降低機(jī)械手系統(tǒng)功耗、過程及殘余振動方面具有顯著優(yōu)勢．

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（責(zé)任編輯：金順愛）

Trajectory Planning Method for a 2-DOF High-Speed Parallel Manipulator

Wang Zhe1，Zeng Xia1，Liu Songtao2，Song Tao2，Mei Jiangping1
（1．School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2．Technical Department，Chenxing（Tianjin）Automation Equipment Limited Company，Tianjin 301701，China）

Taking a 2-DOF translational parallel manipulator as the research object，a space trajectory planning strategy for operating and joint spaces was presented in high-speed handling operations．The typical point-to-point handling operation trajectory was defined through the setting of critical path points．Based on the establishment of the robot inverse kinematics model in operating space，the function mapping of motion characteristics（angle，velocity and acceleration）from operating space to joint space was obtained according to the 3-4-5 polynomial motion law．On the basis of forward kinematics model in joint space，the function mapping of motion characteristics from joint space to operating space was obtained according to quintic non-uniform B-spline motion law．The movement characteristics of the end reference point in two different trajectory planning methods were analyzed under the same critical path points and time．In addition，the comparison experiment was carried out．The result shows that the trajectory planning of joint space based on quintic non-uniform B-spline motion law has significant advantages in reducing the system power consumption and restraining mechanism residual vibration．

parallel manipulator；trajectory planning；quintic non-uniform B-spline；residual vibration；system power consumption

TH112；TP242

A

0493-2137（2016）07-0687-08

10.11784/tdxbz201507100

2015-07-30；

2015-11-03.

國家自然科學(xué)基金資助項目（51475320）；天津市人才引進(jìn)與科技合作項目（13RCHZGX01118）.

王 喆（1969— ），男，博士，副教授，wzwhm@126.com.

劉松濤，st2060@126.com.

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-11-11. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20151111.1736.004.html.