宋作軍

淄博職業(yè)學(xué)院，淄博，255314

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汽車半主動懸架的非線性動力學(xué)分析

宋作軍

淄博職業(yè)學(xué)院，淄博，255314

基于彈簧、減振器及輪胎的非線性方程，運用現(xiàn)代非線性動力學(xué)理論，對雙質(zhì)量塊形式的懸架模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。根據(jù)Hurwitz代數(shù)判據(jù)，使用MATLAB軟件計算得到懸架系統(tǒng)的雙Hopf分岔；依據(jù)中心流形理論，將系統(tǒng)降至二維，并利用李雅普諾夫第一運動穩(wěn)定性定理，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，得到簧載質(zhì)量、非簧載質(zhì)量的時域響應(yīng)及相圖，驗證了計算過程及結(jié)果的正確性，為半主動懸架系統(tǒng)的設(shè)計及控制提供了數(shù)據(jù)支持。

半主動懸架；Hurwitz行列式；雙Hopf分岔；非線性的；中心流形理論

0　引言

懸架一般由彈性元件、導(dǎo)向機(jī)構(gòu)及減振器等組成。地面變化對汽車的振動及沖擊，一部分被輪胎吸收，但絕大部分依靠輪胎與車身間的懸架裝置來吸收。

懸架分被動懸架、主動懸架和半主動懸架。被動懸架系統(tǒng)的剛度和阻尼是根據(jù)經(jīng)驗或者優(yōu)化設(shè)計的方法確定的，其性能不會根據(jù)外界條件的改變而改變，也無法進(jìn)行人為調(diào)節(jié)。主動懸架系統(tǒng)是一種剛度和阻尼都能夠根據(jù)工況和路面激勵的變化而自行調(diào)節(jié)到最優(yōu)狀態(tài)的懸架系統(tǒng)。半主動懸架系統(tǒng)是指剛度或阻尼可以根據(jù)需要進(jìn)行控制的懸架系統(tǒng)。

目前，汽車半主動懸架非線性動力學(xué)領(lǐng)域的研究，主要集中在智能材料在半主動懸架上的應(yīng)用方面，其中最具代表性的是磁流變減振器[1-4]。目前，相關(guān)文獻(xiàn)對半主動懸架的非線性研究側(cè)重于籠統(tǒng)的理論分析，僅說明計算方法及系統(tǒng)仿真，沒有具體車輛的詳細(xì)計算及具體結(jié)果，不利于系統(tǒng)的進(jìn)一步研究。本文利用非線性動力學(xué)理論，系統(tǒng)分析了汽車半主動懸架的分岔現(xiàn)象，為系統(tǒng)控制研究提供了有力的技術(shù)支持。

1　汽車半主動懸架的建模和非線性影響因素分析

1.1汽車半主動懸架的建模

以 1/4 汽車懸架為研究對象，建立兩自由度的振動系統(tǒng)，即彈簧質(zhì)量塊模型，如圖1所示。圖中，ms、mu分別為簧載質(zhì)量、非簧載質(zhì)量；zs、zu、zr分別為簧載質(zhì)量垂直位移、非簧載質(zhì)量垂直位移及路面輪廓的垂直位移；fs、fd、ft分別為懸架彈簧的彈力、懸架的阻尼力及車輪的彈力。

圖1　半主動懸架1/4模型

根據(jù)牛頓運動定律，建立如下運動方程：

(1)

1.2非線性影響因素分析

影響?yīng)毩壹艿姆蔷€性因素，主要體現(xiàn)在阻尼非線性、彈簧特性和輪胎特性三個方面。

(1)阻尼非線性方面。減振器的作用是加速車架與車身振動的衰減，改善汽車的行駛平順性。減振器中的活塞隨車架與車橋做往復(fù)相對運動，減振器殼體內(nèi)的油液便反復(fù)地從一個內(nèi)腔通過一些窄小的孔隙流入另一內(nèi)腔。此時，孔壁與油液間的摩擦及液體分子內(nèi)摩擦形成振動的阻尼力。減振器阻尼力的大小隨車架與車橋(或車輪)的相對速度的增減而增減，并且與油液的黏度有關(guān)。

通過對實際轎車前懸架的測量，數(shù)據(jù)擬合得到阻尼減振器的非線性模型[5]：

(2)

式中，c1、c2為阻尼系數(shù)。

(2)彈簧特性方面。根據(jù)文獻(xiàn)[6]，彈簧的彈性力表示為硬彈簧特性，將測量數(shù)據(jù)擬合得到轎車前懸架的彈簧特性為

fs=k0+k1Δx+k2Δx2+k3Δx3

(3)

Δx=zs-zu

式中，k0～k3為彈性系數(shù)。

(3)輪胎特性方面。輪胎的非線性較為復(fù)雜，其彈性力可表示為[6]

ft=kt(zr-zu)+ktt(zr-zu)2

(4)

其中，系數(shù)kt、ktt隨輪胎充氣壓力、溫度、老化程度、激振頻率的變化而變化，而受充氣壓力的影響比較大。

1.3系統(tǒng)表達(dá)式

取狀態(tài)變量：

(5)

c1(x2-x4)+c2(x2-x4)2]

綜合以上各式，得到系統(tǒng)表達(dá)式：

(6)

2　半主動懸架的Hopf分岔分析

2.1Hopf分岔的代數(shù)判據(jù)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，考慮一般的非線性微分方程(式(6))，系統(tǒng)的孤立平衡點為X=X0(μ)，即f(X0(μ),μ)=0。經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，總可以將式(6)的平衡點變換到坐標(biāo)原點。不失一般性，假設(shè)平衡點為坐標(biāo)原點，設(shè)f(X,μ)在點(0,0)的某一鄰域內(nèi)關(guān)于X和μ解析，且當(dāng)μ屬于包含零在內(nèi)的某一區(qū)間時，f(X,μ)≡0。式(6)在平衡點X=0的Jacobian矩陣為

A(μ)=Dx(0,μ)

(7)

根據(jù)經(jīng)典的Hopf分岔定理知[7]：

λ(μ)=α(μ)+iω(μ)

(8)

(2)A(μ0)的其余n-2個特征根具有負(fù)實部。

則式(6)在參數(shù)μ=μ0處發(fā)生Hopf分岔，即在μ=μ0附近存在周期運動解。

將Jacobian矩陣A(μ)的特征方程det(A(μ)-λI)=0展開得

λn+a1(μ)λn-1+a2(μ)λn-2+…+an(μ)=0

(9)

并將ai(μ)簡記為ai，則由式(9)的系數(shù)可構(gòu)造以下Hurwitz行列式：

(10)

根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]中的定理1，式(9)有一對純虛根，且其余n-2個根均具有負(fù)實部的充分必要條件是a1>0,a2>0,…,ai>0，且Δn-1=0，Δi>0 (i=n-3,n-5,…,1)。

2.2Hopf分岔的數(shù)值分析

設(shè)系統(tǒng)的平衡點為Xe=(θ,0,0,0)T，式中θ為方程fs=0的實數(shù)解。進(jìn)行坐標(biāo)平移，得到新坐標(biāo)X′=(x1-θ，x2，x3，x4)T，平移后的新系統(tǒng)的平衡點為X′=(0，0，0，0)T。分離線性與非線性項得

(11)

(12)

d=k1+2k2θ+3k3θ2

(13)

(14)其中，g(X′,μ)在X0的鄰域內(nèi)是X的高階無窮小。

常數(shù)不會影響動力學(xué)系統(tǒng)的行為性質(zhì)，以下只對含有坐標(biāo)變量的部分進(jìn)行分析、變換。

本文用線性系統(tǒng)式研究非線性系統(tǒng)(式(6))臨界分岔位置θ附近以外的穩(wěn)定性情況。

設(shè)A(μ)的特征多項式為如下形式：

λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0

(15)

聯(lián)系式(9)、式(12)得

(16)

根據(jù)式(10)得

(17)

結(jié)合式(16)得

(18)

由各代數(shù)式及參數(shù)的物理意義知：

由Δ3=0知，kt=0或c1=0。

2.3Hopf分岔點的類型判定

Kim等[9]對“現(xiàn)代Elantra”1992款前懸架進(jìn)行了SPMD(suspension parameter measurement device)測量，并對數(shù)據(jù)擬合，得到非線性方程系數(shù)如下：k0=-2316.4,k1=12 394 N/m,k2=-73 696 N/m2,k3=3 170 400 N/m3;c1=1385.4 N·s/m,c2=524.28 N·s2/m2。根據(jù)試驗數(shù)據(jù)，當(dāng)充氣壓力為200 kPa時，某5.60R15子午線輪胎的剛度系數(shù)為kt=195 000 N/m,ktt=3 350 000 N/m2；某車結(jié)構(gòu)參數(shù)為ms=337 kg，mu=55 kg。以此研究為基礎(chǔ)，將各系數(shù)代入式(3)，由fs=0得θ=0.082 74 m，從而得實數(shù)解d=65 303 N/m。

將各參數(shù)及分岔點系數(shù)c1=0代入式(13)、式(14) 得

(19)

(20)

在分岔點處導(dǎo)出算子的特征值、特征向量如下：

(λ1,λ2,λ3,λ4)=

(69.1588i,-69.1588i,11.9852i,-11.9852i)

(21)

即特征值為2對共軛復(fù)數(shù)，故出現(xiàn)雙Hopf分岔?，F(xiàn)以λ3、λ4為例推導(dǎo)。特征值對應(yīng)的特征向量的實部和虛部構(gòu)成的變換方陣T如下：

(22)

設(shè)X′=TY，由式(11)得到如下方程：

(23)

即：

(24)

其中，hi(y)(i=1,2,3,4)包含y1、y2、y3、y4非線性部分。

根據(jù)中心流形定理，設(shè):

(25)

(26)

代入分岔穩(wěn)定性指標(biāo)[7]：

(27)解得a=0，此方法無法確定式(11)Hopf分岔性質(zhì)。

因λ1,2=±69.1588i,λ3,4=±11.9852i，根據(jù)李雅普諾夫第一運動穩(wěn)定性定理，原非線形系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性取決于高次項，原點可能穩(wěn)定也可能不穩(wěn)定，為臨界情況。

3　半主動懸架的Hopf分岔仿真

汽車結(jié)構(gòu)的各參數(shù)值如前所述，利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真。時間歷程選擇[0,5]s，運動參數(shù)初始值設(shè)為X=(0.08274 m,0,0,0)T。

簧載質(zhì)量的垂直位移時域響應(yīng)如圖2所示。當(dāng)減振器阻尼系數(shù)c1=1385.4 N·s/m時，系統(tǒng)做減幅振動，如圖2a所示。當(dāng)c1=0時，系統(tǒng)做倍周期振動，如圖2b所示。

(a)c1=1385.4 N·s/m

(b)c1=0圖2　簧載質(zhì)量的垂直位移時域響應(yīng)

非簧載質(zhì)量的垂直位移時域響應(yīng)與之相似，如圖3所示。

(a)c1=1385.4 N·s/m

(b)c1=0圖3　非簧載質(zhì)量的垂直位移時域響應(yīng)

簧載質(zhì)量的相對位移zs-zu與簧載質(zhì)量的垂直速度相圖，如圖4所示。當(dāng)減振器阻尼系數(shù)c1=0時，且減振器阻尼系數(shù)處于Hopf臨界點時，在初始激勵下，簧載質(zhì)量的相對位移zs-zu與簧載質(zhì)量的垂直速度相圖形成一穩(wěn)定的極限環(huán)。

(a)c1=1385.4 N·s/m

(b)c1=0圖4　簧載質(zhì)量的相對位移zs-zu與簧載質(zhì)量的垂直速度相圖

非簧載質(zhì)量的相對位移zu-zr與非簧載質(zhì)量的垂直速度相圖與之相似，如圖5所示。

(a)c1=1385.4 N·s/m

(b)c1=0圖5　非簧載質(zhì)量的相對位移zu-zr與非簧載質(zhì)量的垂直速度相圖

圖4b及圖5b顯示，系統(tǒng)出現(xiàn)二周期極限環(huán)，與系統(tǒng)雙Hopf分岔分析結(jié)果一致。

振動加速度是影響車輛行駛平順性的重要指標(biāo)之一，通過對簧載質(zhì)量的垂直位移二次求導(dǎo)即可得到1/4車輛的振動加速度，其仿真圖與圖2相似。由此可見，分析系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象并仿真，對于研究車輛的平順性具有重要的參考價值。

4　結(jié)語

本文基于汽車半主動懸架系統(tǒng)，在減振器、彈簧及輪胎非線性模型的基礎(chǔ)上，利用Hurwitz代數(shù)判據(jù)，計算得到Hopf分岔。利用中心流形理論將高維4WS汽車系統(tǒng)降到二維，并通過李雅普諾夫第一運動穩(wěn)定性定理判定原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用MATLAB進(jìn)行了數(shù)值仿真。仿真結(jié)果驗證了計算方法的正確性。研究結(jié)果為減振器、彈簧及輪胎參數(shù)的選擇及懸架的優(yōu)化控制提供了理論依據(jù)，同時為輪胎的氣壓維護(hù)及更新提供了數(shù)據(jù)及方法支持。合理選擇各參數(shù)，避免系統(tǒng)Hopf分岔現(xiàn)象的發(fā)生，對迅速減小車輛豎直方向的振幅，提高駕乘人員的舒適性，具有明顯的指導(dǎo)意義。

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(編輯郭偉)

Nonlinear Dynamics Analysis of Car Semi-active Suspensions

Song Zuojun

Zibo Vocational Institute, Zibo, Shandong, 255314

Based on the nonlinear equations of spring, damper and tire, modern nonlinear dynamics theory was applied to analyze the stability of a double-mass suspension model. First of all, based on Hurwitz algebraic criterion, the software of MATLAB was used to calculate, and the double Hopf bifurcation of the suspension system was obtained. Second, the system was reduced to two-dimensional in the light of center manifold theory. The stability of the system was determined using Lyapunov theorem of the first movement stability. At last，the time domain responses and the phase diagrams of spring bearing quality and non spring bearing quality were got, which shows that the processes and results are right, the data was provided for design and control of semi-active suspension systems.

semi-active suspension; Hurwitz determinant; double Hopf bifurcation; nonlinear; center manifold theory

2016-06-28

2011年山東科技發(fā)展計劃資助項目(0076)

U461.1

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.20.024

宋作軍，男，1966年生。淄博職業(yè)學(xué)院汽車工程系副教授。研究方向為汽車非線性動力學(xué)。