袁　彬　韓　江　吳路路　田曉青　夏　鏈

合肥工業(yè)大學，合肥，230009

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基于粒子群算法的滾削齒面綜合輪廓誤差預(yù)測模型與試驗研究

袁彬韓江吳路路田曉青夏鏈

合肥工業(yè)大學，合肥，230009

在配備有自主研發(fā)的數(shù)控滾齒系統(tǒng)的精密臥式滾齒機上，運用三因素兩水平響應(yīng)曲面法設(shè)計滾削試驗，研究齒輪滾削加工刀具轉(zhuǎn)速、軸向進給速度、背吃刀量對齒輪齒面輪廓誤差的影響規(guī)律。根據(jù)試驗結(jié)果，分析得出齒輪齒廓總偏差、齒輪螺旋線總偏差、齒距累計總偏差的預(yù)測模型及各工藝影響因素對齒面輪廓誤差的作用顯著程度，并以三個預(yù)測模型的附加權(quán)重值之和達到最小值為目標，建立可以評定多目標誤差的齒面綜合輪廓誤差數(shù)學模型，運用粒子群優(yōu)化算法對齒面綜合輪廓誤差數(shù)學模型進行分析優(yōu)化，尋找最佳滾齒加工工藝參數(shù)。試驗表明，采用粒子群優(yōu)化算法對響應(yīng)曲面法建立的齒面綜合輪廓誤差數(shù)學模型進行優(yōu)化可以作為滾削加工前的工藝參數(shù)選取方案。

粒子群優(yōu)化算法；響應(yīng)曲面法；滾齒加工；輪廓誤差

0　引言

齒輪是用來在動力源與執(zhí)行機構(gòu)之間傳遞運動和動力的機械傳動零件，為了提高傳動精度與效率，除了調(diào)整齒輪安裝布置之外，齒輪加工精度的提升也非常重要。傳統(tǒng)的齒輪加工工藝參數(shù)是根據(jù)長期積累的經(jīng)驗和現(xiàn)行的工藝手冊來制定的，計算過程比較繁瑣。滾齒加工一般可以加工出GB8～9級精度的齒輪，滾齒加工后還需要后續(xù)的熱處理和磨削加工，但是對小模數(shù)齒輪(mn≤1 mm)來說[1]，精加工大多數(shù)采用的是以滾代磨(精滾)的方式，此時對滾削加工的精度要求就更高了，因此，研究最優(yōu)的齒輪滾削加工工藝參數(shù)對提高齒輪的精度和傳動效率意義重大。

由于齒輪滾削加工復雜的工況條件和展成紋理會影響齒輪的精度，因此從加工機理上對齒面輪廓誤差進行研究不容易找到工藝參數(shù)對齒輪精度的影響規(guī)律，而運用合理的試驗設(shè)計方法和先進的智能優(yōu)化算法可以解決此問題。在齒輪加工方面，Silva等[2]使用粒子群優(yōu)化(PSO)算法對珩齒加工的五種加工參數(shù)進行了優(yōu)化，實驗結(jié)果已經(jīng)運用到生產(chǎn)當中；Pathak等[3]采用中心可旋轉(zhuǎn)組合試驗方式將齒輪的精度由DIN9級提高到了DIN7級；Mohanasundararaju[4]利用遺傳算法和響應(yīng)曲面法優(yōu)化了磨齒加工工藝參數(shù)，但所使用的Box-Behenken試驗設(shè)計方法在試驗的序貫性上有缺陷；Raja等[5]通過使用粒子群算法，獲得最優(yōu)的加工參數(shù)，從而獲得了最佳粗糙度和最短加工時間；Pawar等[6]利用非線性粒子群優(yōu)化算法來優(yōu)化磨齒的加工工藝參數(shù)，對熱磨損、砂輪磨損、機床剛性進行分析并建立生產(chǎn)效率、加工成本、表面光潔度的預(yù)測模型；潘永智等[7]通過試驗方差分析確定銑削切削力模型，并利用遺傳算法來優(yōu)選出最佳的刀具幾何參數(shù)與切削參數(shù)；馮勇等[8]基于權(quán)重粒子群優(yōu)化算法對銑削加工熱傳導模型進行試驗研究；雷偉軍等[9]利用改進遺傳算法對義齒加工中多顆牙齒的加工工藝路線進行最優(yōu)規(guī)劃，達到了很好的收斂效果并提高了多模型加工的效率。在控制方面，Timac等[10]通過PSO算法對PID參數(shù)進行最優(yōu)選擇，獲得最佳的控制精度；常智勇等[11]基于自適應(yīng)蟻群算法來優(yōu)化工藝路線，降低了加工成本，提高了加工效率和加工質(zhì)量。上述理論與試驗研究為齒輪滾削工藝的優(yōu)化問題研究提供了理論依據(jù)，具有較強的工程意義。

在齒輪精度的評價體系里，實際生產(chǎn)加工中常用的重要指標有齒輪齒廓總偏差Fα、齒輪螺旋線總偏差Fβ和齒距累計總偏差Fp，這三種誤差對齒面形貌作用顯著，直接影響到齒輪的嚙合性能。在齒輪滾削加工中，用戶可調(diào)整輸入的加工參數(shù)有滾刀主軸轉(zhuǎn)速ns、刀具沿工件軸向進給速度 fz、精切背吃刀量hd，本文通過這三種因素對齒面輪廓誤差產(chǎn)生的影響進行中心可旋轉(zhuǎn)組合響應(yīng)曲面法試驗設(shè)計(CCD)，建立齒面輪廓誤差數(shù)學模型，通過粒子群優(yōu)化算法對齒輪滾削加工的三個工藝參數(shù)與三個常用齒面輪廓誤差的綜合影響進行了試驗研究，對比預(yù)測值與試驗值的吻合度，分析滾削加工參數(shù)對齒面形貌的影響規(guī)律。

1　試驗條件

圖1　YGS3110B數(shù)控滾齒機

圖2　JD45型齒輪測量中心

滾削試驗機床為配備有合肥工業(yè)大學CIMS研究所自主研發(fā)的滾齒加工數(shù)控系統(tǒng)的精密滾齒機YGS3110B(圖1)，齒輪各項誤差測量所用的設(shè)備為哈精達JD45型齒輪測量中心(圖2)，表1列出了數(shù)控滾齒機與齒輪測量中心的技術(shù)參數(shù)，在該機床加工范圍內(nèi)選取滾削試驗工藝參數(shù)。表2列出了加工試驗所用的滾刀的參數(shù)與工件齒輪的參數(shù)。

表1　YGS3110B數(shù)控滾齒機與JD45齒輪測量中心技術(shù)參數(shù)

表2　齒輪和刀具基本參數(shù)

2　齒面輪廓誤差模型

2.1響應(yīng)曲面法基礎(chǔ)模型介紹

響應(yīng)曲面法最初的目的是探究多個輸入變量與化學制程產(chǎn)出值之間的關(guān)系，實質(zhì)上是利用數(shù)學、統(tǒng)計學原理配合相關(guān)試驗設(shè)計方法，探究多個影響因子(x0,x1,…,xn)和響應(yīng)輸出y(x)之間的關(guān)系。響應(yīng)曲面法多被用于生物醫(yī)藥、化工工藝、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等問題的求解與優(yōu)化，工程上常采用這種方法建立預(yù)測模型并進行參數(shù)優(yōu)化研究。

當影響因素與響應(yīng)輸出只存在一階線性關(guān)系時，模型可表示為

y(x)=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk+ε

(1)

當影響因素對響應(yīng)輸出產(chǎn)生一些非線性的影響時，此時就要用到二階模型或者更高階模型，常用的二階模型表示如下：

(2)

式中，y(x)為響應(yīng)輸出目標函數(shù)；k為影響因子的個數(shù)；βi為各因子的影響系數(shù)；xi為各影響因子；ε為附加常量。

因為齒面分為左右齒面，所以在測量齒面輪廓時應(yīng)選擇左右齒面誤差較大值進行分析。由于齒輪的齒形精度、齒向精度、回轉(zhuǎn)精度是實際生產(chǎn)中常用于評定齒輪精度的重要技術(shù)指標，因此本文針對齒輪齒廓總偏差Fα、齒輪螺旋線總偏差Fβ和齒距累計總偏差Fp進行研究。圖3所示為齒向和齒形方向上的誤差，圖中，Lβ為螺旋線計值范圍，b為齒寬，B為計量中點位置，Lα為齒廓計值范圍，LAC為齒廓有效長度。除了上述三個主要測量參數(shù)外，還有齒向形狀誤差ffβ、齒向斜率誤差fHβ、齒形形狀誤差ffα、齒形斜率誤差fHα等。

(a)齒向誤差　　　　　　　　(b)齒形誤差圖3　齒形與齒向誤差

中心復合試驗設(shè)計(CCD)試驗的影響因素有三個，即滾刀主軸轉(zhuǎn)速ns、刀具沿工件軸向進給速度fz、精切背吃刀量hd，即為三因素三響應(yīng)試驗，齒輪齒廓總偏差Fα、齒輪螺旋線總偏差Fβ和齒距累計總偏差Fp的基本模型如下：

(3)

2.2中心復合試驗設(shè)計

CCD屬于兩水平全因子試驗設(shè)計，常用于解決影響因子與響應(yīng)結(jié)果之間的非線性問題，并利用統(tǒng)計學方法預(yù)測響應(yīng)模型。

CCD試驗設(shè)計點的計算根據(jù)以下公式：

N=2k+2k+x0

(4)

其中，N為布置的試驗次數(shù)；2k為k因素下立方點的個數(shù)；2k為分布在軸向上星號點的個數(shù)；x0為實驗中心點的個數(shù)。

因齒輪滾削數(shù)控系統(tǒng)需要輸入三個對齒輪加工精度有影響的工藝參數(shù)，即影響因素個數(shù)k=3，根據(jù)三因素CCD試驗重復性原則，試驗次數(shù)x0選為6，代入式(4)，可求得N=20。

本文所用的CCD試驗分析軟件為Design expert8.0[12]，該軟件是Stat-Ease公司專門為試驗設(shè)計(DOE)發(fā)布的軟件。取星點值α=1.682，表3為根據(jù)CCD試驗規(guī)則所做的試驗水平表。根據(jù)試驗水平表所列的切削參數(shù)編制滾齒加工G代碼，在YGS3110B數(shù)控滾齒機上進行滾削加工試驗，并將試驗結(jié)果記錄在響應(yīng)結(jié)果欄，表4所示為CCD試驗方案及其測量結(jié)果。

表3　CCD試驗因素水平

表4　CCD試驗方案及試驗結(jié)果

2.3模型分析

根據(jù)響應(yīng)曲面法建立的齒面輪廓誤差數(shù)學模型如下：

Fα=23.280-0.030ns+0.027fz-0.132hd-

1.625×10-4nsfz+3.125×10-4nshd-0.028fzhd+

(5)

Fβ=21.321-0.013ns-0.343fz-1.695hd-

5.000×10-5nsfz+2.500×10-4nshd+0.015fzhd+

(6)

Fp=33.988-0.030ns+0.484fz+1.30901hd-

2.500×10-4nsfz-1.13×10-3nshd-0.035fzhd+

(7)

對該數(shù)學模型進行回歸分析，滾刀主軸轉(zhuǎn)速ns、刀具沿工件軸向進給速度fz以及精切背吃刀量hd對應(yīng)的p均小于0.05(p為統(tǒng)計量的臨界值，p<0.05表示所對應(yīng)的影響因素顯著)，表示該三個因素對響應(yīng)影響顯著，可根據(jù)式(5)～式(7)中各個工藝參數(shù)的系數(shù)大小來比較其對響應(yīng)的影響程度大小。為了更好地觀察本試驗條件下各因素對齒面輪廓誤差的影響規(guī)律，圖4～圖6列舉了其中三組零水平下的響應(yīng)面圖，即取任意一個因素為零水平，繪制出剩余因素對響應(yīng)的函數(shù)圖。

圖4　Fα=f(hd,fz)的響應(yīng)曲面(ns=1000 r/min)

圖5　Fβ=f(ns,fz)的響應(yīng)曲面(hd=2 mm)

圖6　Fp=f(ns,fz)的響應(yīng)曲面(hd=2 mm)

圖4為當ns=1000 r/min為零水平時，hd和fz對齒輪齒廓總偏差Fα的響應(yīng)面圖；圖5為當hd=2 mm為零水平時，ns和fz對齒輪螺旋線總偏差Fβ的響應(yīng)面圖；圖6所示為當hd=2 mm為零水平時，ns和fz對齒距累計總偏差Fp的響應(yīng)面圖。三個影響因素對Fα的影響程度從大到小為hd→fz→ns，原因是檢測Fα時，測針繞著齒廓方向運動，加工時由于軸向進給速度最大為15 mm/min，進給速度較慢，與常規(guī)車銑加工不同，滾齒加工中，滾刀與工件屬于展成包絡(luò)關(guān)系，背吃刀量對展成紋理的大小影響非常明顯，因此軸向進給速度影響沒有背吃刀量影響大。三個影響因素對Fβ的影響程度從大到小為fz→ns→hd，根據(jù)展成運動機理，主軸轉(zhuǎn)速與工件齒輪保持一定的轉(zhuǎn)速比，滾齒紋理在齒向方向為連續(xù)條紋狀，而且檢測Fβ時，測針選取分度圓位置時是沿齒向方向運動的，因此展成紋理對齒向的測量影響不大，反而軸向進給速度對齒向進給方向上的誤差波動影響較大。三個影響因素對Fp的影響程度從大到小為ns→(hd，fz)，參與展成運動的滾刀主軸轉(zhuǎn)速和工件齒輪轉(zhuǎn)速對包絡(luò)紋理的產(chǎn)生有直接關(guān)系，主軸轉(zhuǎn)速的快慢影響到每個齒在分度圓上的凹凸程度，也就是齒距誤差的產(chǎn)生根源，而齒輪測量儀的測針繞整個圓周方向測量齒距誤差，因此ns作用顯著，而通過其他兩組零水平模型可以看出，另外兩個因素對齒距累計總偏差的影響大小相近[13-14]。

3　PSO優(yōu)化

3.1約束條件建立

針對上述試驗確定的模型，以機床加工工藝參數(shù)選擇范圍作為約束條件對模型進行優(yōu)化，表5所示為三個工藝參數(shù)因素對應(yīng)的優(yōu)化范圍。

表5　工藝參數(shù)優(yōu)化范圍

在上述約束條件下，若分別對齒輪齒廓總偏差、齒輪螺旋線總偏差和齒距累計總偏差的響應(yīng)數(shù)學模型進行優(yōu)化，則可能得出的是不同的加工參數(shù)優(yōu)選值，因為同一組加工參數(shù)使三者同時達到最小值的概率很小，若簡單地將三者相加取最小值，將達不到每種誤差的最優(yōu)匹配值?？梢圆捎酶郊訖?quán)重比值的方法來平衡誤差的大小，考慮以獲取最好的齒面綜合輪廓誤差Fall為目標進行粒子群優(yōu)化。該齒輪為7級精度時其標準的誤差值為Fα=9 μm、Fβ=14 μm、Fp=23 μm，根據(jù)附加權(quán)重比要求，取齒面綜合輪廓誤差為

(8)

將式(5)～式(7)代入式(8)得出目標函數(shù)為

(9)

3.2對模型進行PSO優(yōu)化

作為求解最優(yōu)問題的群體智能算法，粒子群優(yōu)化算法[15]相比較于其他智能算法具有迭代速度快等優(yōu)點。PSO算法分為以下幾個步驟：

(1)初始化一個n維的粒子群。

(2)計算每個粒子的最優(yōu)解，如果計算值比該粒子本身歷史最優(yōu)解pbest更優(yōu)，則選擇該計算值為新的最優(yōu)解pbest。

(3)選取該粒子群全體最優(yōu)解gbest作為新的全體最優(yōu)解。

(4)根據(jù)以下公式更新粒子的位置與速度：

xi(t)=xi(t-1)+vi(t)

(10)

vi(t)=Wvi(t-1)+c1r1(xpbesti-xi(t))+

c2r2(xgbesti-xi(t))

(11)

式中，xi(t)為每個粒子的最新位置；vi(t)為粒子的速度；W為過去一個粒子速度對現(xiàn)在粒子產(chǎn)生的慣性系數(shù)；xpbest為單個粒子的歷史最優(yōu)值；xgbest為整個粒子群的歷史最優(yōu)值；r1、r2為在[0,1]之間隨機取的系數(shù)；c1、c2為每個粒子自我認知能力和社交能力的權(quán)重系數(shù)，一般取c1=c1=2。

(5)終止條件判斷，滿足則停止搜索，篩選出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)到步驟(2)繼續(xù)搜索。

取粒子群數(shù)為30，迭代次數(shù)為500，圖7為多目標PSO算法迭代趨勢圖，在迭代超過20次之后，齒面綜合輪廓誤差趨于穩(wěn)定，為2.33 μm，此時得到的工藝參數(shù)與計算所得到的三個齒面輪廓誤差如表6所示。

圖7　多目標PSO算法迭代曲線

工藝參數(shù)主軸轉(zhuǎn)速ns=1178.2r/min軸向進給速度fz=5.1r/min背吃刀量hd=1mm最優(yōu)結(jié)果齒輪輪廓總偏差Fα=6.62μm齒輪螺旋線總偏差Fβ=11.07μm齒距累計總偏差Fp=18.66μm

為了驗證優(yōu)化所得工藝參數(shù)組合對齒輪加工精度提高的效果，使用PSO算法迭代出的滾齒最優(yōu)工藝參數(shù)組合在YGS3110B滾齒機上進行滾齒精度指標驗證試驗。表7所示為對應(yīng)的試驗結(jié)果，可以看出，使用優(yōu)化的滾齒工藝參數(shù)，使齒輪的精度提高到6～7級，與工廠里實際加工所測的8～9級精度相比，降低了齒面綜合誤差，優(yōu)化了齒輪滾削工藝參數(shù)，提高了齒輪的質(zhì)量。

表7　使用優(yōu)化的工藝參數(shù)重復加工結(jié)果

4　試驗結(jié)果

為了直觀地反映響應(yīng)曲面模型的精度，將齒面輪廓誤差模型對試驗預(yù)測的結(jié)果與真實試驗結(jié)果進行對比，圖8～圖10為試驗真實值與模型預(yù)測值對比曲線圖，由圖可知，在本試驗條件下，通過該方法建立的齒面輪廓誤差模型與真實情況吻合度較好，可以作為齒輪加工時工藝參數(shù)選取的參考。

圖8　Fα試驗真實值與預(yù)測值對比曲線

圖9　Fβ試驗真實值與預(yù)測值對比曲線

圖10　Fp試驗真實值與預(yù)測值對比曲線

5　結(jié)語

滾齒加工屬于一種展成法加工齒輪的工藝，齒輪的精度影響因素有很多，本文根據(jù)實際生產(chǎn)中齒輪精度的主要評定指標，設(shè)計了一種基于粒子群算法的響應(yīng)曲面試驗方法，優(yōu)化了齒輪滾削加工工藝，提高了齒輪的精度。

(1)采用響應(yīng)曲面法里的中心復合試驗方法對滾齒加工齒面輪廓誤差進行分析，確定了齒面輪廓誤差數(shù)學模型，通過響應(yīng)曲面模型分析齒面輪廓誤差顯著影響因素順序，對每項輪廓誤差附加權(quán)重系數(shù)確定齒面輪廓誤差綜合模型。

(2)在機床加工工藝參數(shù)可選范圍內(nèi)，以最小齒面綜合輪廓誤差為目標，建立齒面綜合輪廓誤差優(yōu)化模型。

(3)基于粒子群算法對齒面輪廓誤差模型進行迭代優(yōu)化，確定達到最小齒面輪廓誤差的滾削工藝參數(shù)，為齒輪加工工藝優(yōu)化提供了一種可行的優(yōu)化方案。

齒輪加工精度不僅與工藝參數(shù)有關(guān)系，機床的冷卻液類型、導軌潤滑、各軸電機的性能等對齒輪的精度也有很重要的影響，在進行試驗時要進行多組重復試驗以降低偶然因素對齒面輪廓誤差模型的影響。在后續(xù)的研究中可以將電機的參數(shù)性能作為對齒面輪廓誤差的影響因素進行齒輪精度的優(yōu)化試驗，并將優(yōu)化后的結(jié)果編入自主研發(fā)的數(shù)控滾齒系統(tǒng)中，為齒輪加工提供一種有效的工藝解決方案。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

A Prediction Model and Experimental Study of Gear Hobbing Profile Errors Based on Particle Swarm Optimization

Yuan BinHan JiangWu LuluTian XiaoqingXia Lian

Hefei University of Technology,Hefei,230009

A series of 3 factors and 2 levels response surface method experiments were carried out to research the influence rules of processing parameters including the spindle speed, the feed rate in Z direction, and the hobbing depth on the gears’ tooth profile errors on the precision horizontal gear hobbing machine equipped with home-made CNC system. The mathematical models of the total profile deviation, the total helix deviation and the total cumulative pitch deviation were built respectively and the influence degrees of the three gear profile errors were finished based on the statical experimental data analyses. A more appropriate model for gear profile errors was established based on the weighting factor of each deviation. A method of using particle swarm optimization to improve the gear hobbing parameters was applied based on the final mathematical model. The results show that it is feasible to preselect the hobbing parameters based on the particle swarm optimization of the gear profile errors model established by response surface method.

particle swarm optimization； response surface method； gear hobbing； profile error

2015-12-22

國家自然科學基金資助項目(51575154，51505118)

TH161

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.20.002

袁彬，男，1991年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院博士研究生。主要研究方向為智能制造及裝備、數(shù)字化制造、齒輪精密制造技術(shù)。韓江，男，1963年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院教授、博士研究生導師。吳路路，男，1992年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院博士研究生。田曉青，女，1987年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院講師、博士。夏鏈(通信作者)，女，1964年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院教授。