李　云，呂躍凱

（天津師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

基于光熱頻譜檢測(cè)技術(shù)的非均勻材料導(dǎo)熱系數(shù)二維重構(gòu)算法

李云，呂躍凱

（天津師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

在材料熱學(xué)參數(shù)深度剖面重構(gòu)理論的基礎(chǔ)上，建立了一種基于光熱檢測(cè)技術(shù)的材料參數(shù)分布重構(gòu)算法，用于處理有關(guān)二維非均勻材料熱學(xué)和光學(xué)參數(shù)的反問題，實(shí)現(xiàn)對(duì)存在損傷性裂紋或含有雜質(zhì)的薄板狀樣品的無(wú)損檢測(cè)與評(píng)價(jià).同時(shí)，該算法也是處理三維不均勻固體材料物理參數(shù)重構(gòu)的理論基礎(chǔ).通過模擬光熱信號(hào)對(duì)算法進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果表明：通過3次迭代，重構(gòu)函數(shù)的形態(tài)與原始函數(shù)的形態(tài)吻合良好，這說(shuō)明基于光熱檢測(cè)技術(shù)的反演方法在理論層面上可靠、有效，可用于處理二維板狀非均勻固體樣品的熱學(xué)參數(shù)重構(gòu).

二維重構(gòu)算法；光熱頻譜檢測(cè)技術(shù)；非均勻材料；熱傳導(dǎo)方程；導(dǎo)熱系數(shù)；光熱頻譜；反演；脈沖譜技術(shù)

光聲效應(yīng)自1880年被Bell發(fā)現(xiàn)后受條件所限并沒有得到深入研究和廣泛應(yīng)用，直至20世紀(jì)30年代，隨著光學(xué)、聲學(xué)、計(jì)算機(jī)和電子學(xué)等領(lǐng)域科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，光聲效應(yīng)研究逐漸復(fù)興，并帶動(dòng)了光熱檢測(cè)技術(shù)的發(fā)展.近30年，光聲（photo acoustic，PA）和光熱（photo thermal，PT）檢測(cè)技術(shù)已發(fā)展到相當(dāng)成熟的水平，建立了多種檢測(cè)手段［1-3］，如壓電檢測(cè)、熱電檢測(cè)、米拉基方法、光熱位移技術(shù)、調(diào)制光散射技術(shù)、熱透鏡與熱光柵技術(shù)以及紅外輻射檢測(cè)技術(shù)等.近年來(lái)，在固體材料的無(wú)損檢測(cè)與評(píng)價(jià)領(lǐng)域，利用PA/PT檢測(cè)技術(shù)，通過測(cè)量樣品表面熱信號(hào)或聲信號(hào)確定材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱容系數(shù)、光吸收系數(shù)等熱學(xué)和光學(xué)參數(shù)的反問題已成為研究熱點(diǎn).Mandolin等［4-6］引入一種數(shù)值算法，通過PA/PT調(diào)制信號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)樣品熱導(dǎo)率的深度剖面重構(gòu)，其深度非均勻性可由一個(gè)假設(shè)的函數(shù)描述.Thoen等［7-8］利用非線性最小二乘原理建立了一種反演算法，對(duì)分層均勻樣品的熱導(dǎo)率給予深度剖面重構(gòu).Walther等［9-11］采用多項(xiàng)式擬合方法逼近材料熱導(dǎo)率的深度分布曲線.張淑儀等［12-15］則建立了一種脈沖頻譜技術(shù)（PST）與Newton-like迭代和正則化方法相結(jié)合的算法，在沒有任何先驗(yàn)信息的條件下，利用表面溫度頻譜重建熱參數(shù)的深度剖面.

目前研究比較廣泛且相對(duì)成熟的方法多為一維深度重構(gòu)方法，適用于一維不均勻材料、層壓材料和薄膜材料的分析與評(píng)價(jià)，涉及材料物理參數(shù)高維度重構(gòu)理論與算法的研究非常少.對(duì)于二維或三維參數(shù)分布重構(gòu)問題，由于未知量大且已知信息來(lái)源有限，導(dǎo)致計(jì)算量劇增，且面臨重構(gòu)精度和解的穩(wěn)定性難以保證等諸多困難.

本研究在一維反演理論與算法［16-17］的基礎(chǔ)上，構(gòu)建一種通過檢測(cè)樣品表面的PT信號(hào)，對(duì)樣品熱導(dǎo)率分布進(jìn)行二維重構(gòu)的理論與算法.為實(shí)現(xiàn)此目的，主要在一維反演有關(guān)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行下列改進(jìn)：①將調(diào)制激光束聚焦成狹窄的矩形光源；②使用適當(dāng)?shù)牟罘址椒▽?duì)二維熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行數(shù)值求解；③將PST推廣至二維尺度，并與一種類似Newton迭代的反演算法和正則算法相結(jié)合，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)材料熱學(xué)參數(shù)的二維重構(gòu).

1　理論模型與分析

取長(zhǎng)寬分別為2Lx和2Ly的薄板樣品，并假定導(dǎo)熱系數(shù)在薄板上的分布不均勻，但其密度和比熱容的積為常數(shù)，將強(qiáng)度周期調(diào)制的激光束聚焦在寬為2b的線光源上形成一個(gè)狹窄的矩形光斑，薄板樣品全景和剖面示意圖如圖1所示.

材料將吸收的光能轉(zhuǎn)化為熱能，并以波的形式在樣品中傳播.頻域上的熱傳導(dǎo)方程及相應(yīng)的邊界條件為

式（1）中：κ（x，y）為樣品二維熱導(dǎo)率函數(shù)；h（ω）為頻域表面熱源函數(shù).不同于一維熱傳導(dǎo)問題，式（1）通常沒有解析解，只能用數(shù)值方法求解.因此，需要選擇適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格和差分格式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.

假設(shè)Td（y，ωj）（j=1，2，3，…，M）為樣品表面即x=0處檢測(cè)到的溫度頻譜信號(hào)，與表面溫度T（0，y，ωj）成正比.由于通過調(diào)制頻率可以控制熱波的穿透深度，因此表面溫度頻譜Td（y，ωj）中包含樣品不同層次的物理信息.建立適當(dāng)?shù)姆囱菽Ｐ秃退惴捎蓹z測(cè)信號(hào)Td（y，ω）重構(gòu)樣品熱學(xué)參數(shù)的分布形態(tài).為了重構(gòu)熱導(dǎo)率分布函數(shù)κ（x，y），可構(gòu)造1個(gè)Newton-like迭代過程

式（2）中：κl（x，y）為熱導(dǎo)系數(shù)第l次迭代值；Tl（x，y，ω）為相應(yīng)的溫度分布函數(shù).迭代的初始解為1個(gè)根據(jù)先驗(yàn)信息給出的猜測(cè)解κ0（x，y）.將式（2）代入熱傳導(dǎo)方程和相關(guān)的邊界條件，忽略δκl（x，y）和δTl（x，y，ω）的高階項(xiàng)，可分別得到關(guān)于Tl（x，y，ω）和δTl（x，y，ω）的方程

將迭代關(guān)系式（2a）和式（2b）代入式（1）的邊界條件，亦可獲得Tl（x，y，ω）和δTl（x，y，ω）的邊界條件.

應(yīng)用格林函數(shù)理論，可由式（3）及其相應(yīng)的邊界條件式（4）導(dǎo)出第1類弗雷德霍姆積分方程

由于δTl（0，y，ω）=Tl+1（0，y，ω）-Tl（0，y，ω）= Td（y，ω）-Tl（0，y，ω）

則式（5）可近似為

由此可以看出，分布函數(shù)κl（x，y）的反問題變?yōu)榍蠼夥e分方程式（6），以確定每次迭代所需的δκl（x，y）.式（6）中，可選擇一組正交歸一化函數(shù)｛φα（β）（x，y），α= 1，2，…，Nx，β=1，2，…，Ny｝將δκl（x，y）展開為

將式（7）代入式（6），并取調(diào)制頻率為｛ωj，j=1，2，…，M｝，令網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)N=Nx×Ny，將式（6）離散化為一組關(guān)于bα（β）的M×N階線性代數(shù)方程組

式（9）中：Ac為矩陣元素為ajα（β）的復(fù)系數(shù)矩陣，Dc為元素為dj的復(fù)列陣，B為元素為bα（β）的待求列陣.至此，反問題變?yōu)橥ㄟ^求解式（9）確定系數(shù)列陣B，這是典型的利用離散數(shù)據(jù)的線性反問題［12］.原則上可利用奇異值分解（SVD）的方法求出式（9）的解，即將式（9）的系數(shù)矩陣分解為

式（10）中：U和V均為幺正矩陣，Σ為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其元素是矩陣Ac的奇異值.根據(jù)式（10）可將式（9）的解寫為

但在通常情況下式（9）為病態(tài)方程組，Ac的奇異值迅速趨向于零，導(dǎo)致上述形式的解是發(fā)散的，微小的擾動(dòng)將導(dǎo)致解的巨大偏差，因此必須重新考慮解的定義.本研究利用正則法將式（9）的解修正為

式（11）中：S-1=（Σ+μΣ-1）-1，其中μ為拉格朗日乘子，也稱為正則參數(shù)，它對(duì)解的穩(wěn)定性和求解精度具有關(guān)鍵作用.在迭代過程中，每一步都需要選取適當(dāng)?shù)恼齽t參數(shù)求解式（9），依次引入誤差函數(shù)作為選擇正則參數(shù)μ的判據(jù)：

式（12）中：Tl（0，y，ωj，μ）為表面溫度的第l次迭代值，與熱導(dǎo)率κl（x，y）和參數(shù)μ有關(guān).選取μ的準(zhǔn)則是在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)μ值，繪制誤差函數(shù)ET（μ）的曲線，使誤差函數(shù)取最小值的μ即為所需正則參數(shù).選取適當(dāng)?shù)摩炭梢詮氖剑?1）中算出系數(shù)矩陣B，再代入式（7）算出迭代修正值δκl（x，y），進(jìn)而得出熱導(dǎo)率的迭代值κl（x，y）=κ0（x，y）+δκ0（x，y）

由初始猜測(cè)值κ0（x，y）開始反復(fù)迭代，并在每次迭代中取積分不等式

作為評(píng)估迭代精度的標(biāo)準(zhǔn)，直到滿足所需精度為止.

2　數(shù)值模擬與分析

為檢驗(yàn)上述反演模型與算法的正確性，模擬2個(gè)具有不同熱導(dǎo)率分布的薄板樣品.模擬頻譜信號(hào)Td（y，ωj）可在不同調(diào)制頻率下通過求解式（1）得出，調(diào)頻數(shù)應(yīng)大于網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù).在數(shù)值模擬中，取樣品單位比熱容ρc=3.446×106J/（deg·m3），樣品的長(zhǎng)和寬分別為2Lx=5.0×10-3m，2Ly=1.0×10-2m，線光源長(zhǎng)度為2b= 5.0×10-3m，調(diào)頻范圍為1.0 Hz～5.0 kHz.

圖2和圖3分別為2個(gè)樣品導(dǎo)熱系數(shù)κ（x，y）的原始分布形態(tài)和重構(gòu)結(jié)果.圖2（a）和圖3（a）為2個(gè)樣品κ（x，y）的原始分布形態(tài)，圖2（b）和圖3（b）分別是經(jīng)過3次迭代后得到的重構(gòu)分布形貌.

圖2　樣品1κ（x，y）的重構(gòu)剖面Fig.2　Reconstructed profile of κ（x，y）of sample1

圖3　樣品2κ（x，y）的重構(gòu)分布形態(tài)Fig.3　Reconstructed profile of κ（x，y）of sample 2

由圖2和圖3可以看出，迭代迅速收斂，只通過3次迭代，重構(gòu)函數(shù)與原始κ（x，y）的形態(tài)吻合良好.數(shù)值模擬的結(jié)果表明，本研究所建構(gòu)的反演模型和算法是可靠和有效的.此方法可用于處理二維板狀非均勻固體樣品的熱學(xué)參數(shù)重構(gòu).

3　結(jié)論

本研究將脈沖頻譜技術(shù)推廣至二維情況，并與一種類似牛頓迭代的方法及正則方法相結(jié)合，建構(gòu)了基于PT檢測(cè)技術(shù)的二維熱傳導(dǎo)的反演模型及算法.通過數(shù)值模擬證實(shí)，該算法具有較高的重構(gòu)精度和全局收斂的優(yōu)點(diǎn).此方法除可用于板狀樣品熱傳導(dǎo)率分布參數(shù)的重建，也可用于其他熱學(xué)或光學(xué)參數(shù)的重構(gòu)，對(duì)于反問題的研究與應(yīng)用具有一定意義.

但該算法具有一定的局限性，如計(jì)程較長(zhǎng)，重構(gòu)的精度仍有改善空間.因此還可采取一些方法加以改進(jìn)，如采取并行計(jì)算以及在二維情況下采用稀疏矩陣進(jìn)行優(yōu)化處理.這些問題的解決對(duì)于將模型和算法推廣到三維反演問題至關(guān)重要.

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（責(zé)任編?？涸颍ㄘ?zé)任編校馬新光）

Two-dimensional reconstruction of thermal conductivity of inhomogeneous materials based on photothermal technique

LI Yun，LYU Yuekai
（College of Physics and Materials Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387）

Developed from the reconstruction theory of thermal conductivity depth profiles，a reconstruction theory of material parameters of the distribution based on photothermal detection technique was presented，which used to deal with twodimensional inhomogeneous materials about thermal or optical parameter inverse problem，and made the nondestructive testing and evaluation for a sample with damage existence of crack or inclusion structures came true.Meanwhile，this method was the theoretical basis to reconstructing physical parameters of three-dimensional inhomogeneous solid state materials.The numerical experiments on simulated photothermal signals show that the form of reconstruct function and original function are in good agreement，which illustrating that the reconstruction is reliable and effective on the level of theory，and can be used to refactoring the thermal parameters of two-dimensional inhomogeneous plate materials.

two dimensional reconstruction；photothermal technique；inhomogeneous materials；heat transfer equation；thermal conductivity；photothermal signals；inverse problem；pulse spectrum technique

O411.3

A

1671-1114（2016）02-0023-05

2015-11-13

李云（1989—），女，碩士研究生.

呂躍凱（1958—），男，教授，主要從事數(shù)學(xué)物理反問題等方面的研究.