顏秋林 蘇曉杰 龔駿

過去的幾十年中,對動態(tài)系統(tǒng)濾波問題進行了廣泛的研究.不同于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波,對于輸入中包含未知干擾噪聲的系統(tǒng),H∞濾波應用廣泛,例如在文獻[1?6]中.一方面,馬爾可夫跳變系統(tǒng)已經(jīng)成功地被用來模擬遇到突發(fā)環(huán)境干擾、器件故障或修復以及實際操作中突然發(fā)生變化的系統(tǒng).與此相關的研究成果能夠在相關文獻中查閱.文獻[7]中主要探討二階馬爾可夫跳變系統(tǒng)的廣義H2故障檢測;輸出反饋控制馬爾可夫跳變重復標量非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制在文獻[8]中被關注.文獻[9]研究了帶有時滯的馬爾可夫跳變系統(tǒng)的濾波.另一方面,廣義系統(tǒng)相較于常規(guī)系統(tǒng)能更好地描述物理系統(tǒng)動態(tài)特性,因而它在電子電路、電力系統(tǒng)、經(jīng)濟和其他領域中有著廣泛的應用,過去的幾十年中對廣義系統(tǒng)已經(jīng)引起相當?shù)年P注[10?11].此外模糊廣義系統(tǒng)的非脆弱保成本控制問題在文獻[2]被研究,更多關于廣義系統(tǒng)的研究成果請參考文獻.此外一些基本但重要的廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)成果被提出來在文獻[13?16].然而很少有結果旨在解決帶有時滯的廣義離散馬爾可夫跳變系統(tǒng).

本文目標是考慮帶有時滯的廣義離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)的H∞濾波問題.目的是設計一個濾波器以致濾波誤差系統(tǒng)是帶有H∞性能指標的隨機可容許.首先用嚴格的線性矩陣不等式提出此問題的可解性條件,然后基于此條件,當轉移矩陣率全部已知的情況下,時滯依賴結果被提出.最后通過一個數(shù)值例子來證明此方法的有效性.

1 問題描述

考慮如下這類離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng):

其中,x(k)∈Rn是狀態(tài),y(k)∈Rs是測量輸出信號,z(k)∈Rq是被估計的信號,w(k)∈Rp是擾動輸入并且滿足是未知的但滿足0≤的正整數(shù)常時滯,φ(k)是狀態(tài)的初始值函數(shù),{θ(k),k∈Z+}是一個離散的馬爾可夫鏈,它的取值是一個有限狀態(tài)集合S={1,2,...,N},首先假定系統(tǒng)整個轉移概率矩陣都是已知的,并用Π=[πij]i,j∈S來表示,πij=pr(θ(k+1)=j|θ(k)=i)≥ 0,?i,j∈S,k∈Z+,表示從k時刻所處模態(tài)i轉移至k+1時刻所處模態(tài)j的概率,另外對任何i∈S的情況還滿足特性,矩陣E的秩是滿足rank(E)=r≤n的廣義矩陣,為書寫方便,矩陣A(θ(k)),Ad(θ(k)),Bw(θ(k)),C(θ(k)),Cd(θ(k)),Dw(θ(k)) 和L(θ(k)) 用A(k),Ad(k),Bw(k),C(k),Cd(k),Dw(k)和L(k)來表示,此外它們是已知的并具有合適維度的系統(tǒng)矩陣.

論文目的是為系統(tǒng)式(1)設計線性濾波器,其形式如下:

首先做如下定義:

根據(jù)定義可容易得到如下濾波誤差系統(tǒng):

其中:

在此先引入論文后續(xù)會用的定義和概念.

定義1.給定標量>0,對于離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)如下所示:

①如果矩陣對(E,A(k)),(E,A(k)+Ad(k))對任意θ(k)∈S的情況,它們都是正則性和因果性的,那么系統(tǒng)式(4)在任何常時滯d滿足于0≤d≤d的條件下,都是正則性和因果性的;

②如果存在一個標量 Γ(θ(0),?(·))以致滿足

③如果系統(tǒng)在任何θ(k)∈S的前提下,它既是正則性、因果性,同時又是隨機穩(wěn)定的,那么離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)式(4)是隨機可容許.

定義2.給定一個標量γ>0,對于離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng),如果系統(tǒng)在w(k)≡0的情況下是隨機可容許,并且在零初始條件下對于任何非零的情況下都滿足那么系統(tǒng)是具有H∞性能γ隨機可容許.

文章要處理的H∞濾波問題簡單表述為:對于給定一個標量γ>0和離散廣義時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)式(1),設計一個如式(2)的線性濾波器以致使濾波誤差系統(tǒng)式(3)是帶有H∞性能γ隨機可容許.

為書寫簡單,后續(xù)的推導過程中,對于每一個可能的θ(k)=i,i∈S的取值,矩陣A(θ(k))用Ai來表示,其他情況參照.

引理1.對標量d>0和任意對稱正定矩陣M∈Rn×n,下面不等式總是成立的.

相關文獻中給出了離散廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)隨機可容許的充要條件,它的系統(tǒng)模型如下:

引理2.如果存在對稱正定矩陣Pi和矩陣Si滿足下式

其中R∈Rn×(n?r)是任意列滿秩矩陣并滿足ETR=0,那么系統(tǒng)式(5)是隨機可容許.

2 主要結果

在這一節(jié)中,離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)H∞濾波問題將通過LMI工具來進行研究,首先為系統(tǒng)提出下面時滯有界實引理,它在后面主要結果推導中將會扮演重要角色.

下面給出關于系統(tǒng)帶有H∞性能指標γ隨機可容許的線性矩陣不等式形式的充分條件.為表達方便,先給出一些必要說明:和

定理1.給定標量>0和γ>0,如果存在對稱正定矩陣Pi>0,Q1i>0,Z>0,M>0和矩陣Qi,在任意i∈S的情況下,都滿足線性矩陣不等式(6)和式(7),那么對于離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)式(1)在任何常時滯d滿足0≤d≤的情況下是帶有H∞性能指標 γ隨機容許的.此外R∈ R(n?r)×(n?r)是任意列滿秩矩陣并且滿足ETR=0.

其中:

證明.首先根據(jù)定義1,第1步要證明離散廣義時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)的正則性和因果性.因為rank(E)=r≤n,所以這里必然存在非奇異矩陣M和N滿足下面的式子:

其中X∈ R(n?r)×(n?r)是任意非奇異矩陣,對 Π11i<0分別前乘NT和后乘N,可得意味著A4i在i∈S情況下都是非奇異的,故矩陣對(E,Ai)是正則性和因果性的,根據(jù)Shcur補引理從可以得到由此得Π11i+Π12i+ΠT12i+Π22i<0,從而能夠得到式子:

根據(jù)引理2,式(8)證明了矩陣對(E,Ai+Adi)對任意i∈S是正則性和因果性的.從而根據(jù)定義1,系統(tǒng)在任意常時延d并滿足于0≤d≤情況下都是正則性和因果性的.

接著證明系統(tǒng)隨機穩(wěn)定性,證明前,先給出必要的定義,s(k)=x(k+1)?x(k),現(xiàn)在為系統(tǒng)式(1)選取如下隨機李雅普諾夫函數(shù):

其中:

對李雅普諾夫函數(shù)V(x(k),i)取差分,可以得到如下結果:

通過引理1,可以得到

注意:

然后從式(10)～式(16)可以得到

其中:

利用線性矩陣不等式(6)和式(7),能夠容易得到?V(x(k),i)≤0,因此,存在一個標量γ>0對任意i∈S都有?V(x(k),θ(k))≤γkx(k)k2,因而通過Dynkin公式,能得到對于任何k≥0都有ε{V(x(k),i)}?進而通過對其變形可以容易地得到下式考慮定義 1,系統(tǒng)式 (1)在w(k) ≡ 0的情況下對任意常時滯d滿足于0≤d≤都是隨機穩(wěn)定的.

接下來將為系統(tǒng)式(1)建立起H∞性能指標γ,為了完成這一目的,再次思考上面所選的隨機李雅普諾夫函數(shù)式(9)以及如下性能指標

在零初始條件下,可以容易得到

其中:

因此,通過Schur補引理,從式(6)和式(7)可以得到對所有的k≥0,Jzw(k)≤0是成立的.因此,證明完成.

到現(xiàn)在為止已經(jīng)處理離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)H∞濾波問題,接下來應用定理1到濾波誤差系統(tǒng)中,可以得到如果存在對稱正定矩陣Pi,Q1i,Z,M和矩陣Qi對任意i∈S都滿足線性矩陣不等式(17)和式(18),那么濾波誤差系統(tǒng)對于任意滿足0≤d≤的常時滯d都是帶有H∞性能指標γ的隨機可容許.另外任意列滿秩矩陣R∈R2n×2(n?r)并滿足R=0.

其中:

很容易地可以發(fā)現(xiàn)對于任意i∈S

其中:

式中,?i<0意味著Ψi<0.取Ψi和線性矩陣不等式(18)中的矩陣如下:

現(xiàn)在,假定o→0,同時定義A=YAf,B=YBf和C=Cf.進而可以很容易地得到系統(tǒng)時滯依賴的帶有H∞性能指標γ隨機可容許條件.

定理2.對于給定標量和γ,如果存在對稱正定矩陣和矩陣Q1i,Q2i,Q3i,Q4i,Y1i,Y2i,對于任何i∈S都滿足線性矩陣不等式(19)和式(20),那么離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)式(3)在滿足0≤d≤d的任意常時滯情況下都是帶有H∞性能指標γ隨機可容許.另外任意列滿秩矩陣并滿足

此時所期望的濾波器參數(shù)為:

到此為止,期望的線性濾波器理論推導已經(jīng)完成,下面通過數(shù)值例子來仿真,進一步驗證所得到結論的正確性.

3 仿真結果

在這部分中,通過選取一個數(shù)據(jù)例子用來驗證上一小節(jié)中所提出的結論.現(xiàn)在考慮帶有兩個模態(tài)的離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng),即S={1,2},系統(tǒng)矩陣參數(shù)可以描述為如下:

模態(tài)之間轉移概率矩陣π和系統(tǒng)廣義矩陣E分別取值為

應用定理2,能夠獲得期望濾波器參數(shù)為:

關于期望濾波器為一種可能的馬爾可夫跳變模態(tài)在圖1中所示,其中初始模態(tài)假設為θ(0)=1和時滯d=1.圖2是擾動輸入為w(k)=sin(k)e?0.1k以及初始狀態(tài)為的情況下所期望的濾波器狀態(tài)曲線,誤差估計信號在圖3中所示.

4 結論

論文主要研究離散廣義常時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)H∞濾波問題,使用線性矩陣不等式方法,所得條件用嚴格線性矩陣不等式組形式表達,這樣便于利用標準工具軟件進行求解,所期望的線性濾波器的求解條件是時滯依賴的.最后通過選取一個數(shù)值例子進行仿真,進一步驗證所得結果的正確性.

圖1 系統(tǒng)模態(tài)

圖2 濾波器狀態(tài)

圖3 估計誤差