曹永軍陳再勵

（1.廣東省智能制造研究所 廣東省現(xiàn)代控制與光機電技術(shù)公共實驗室 2.華南智能機器人創(chuàng)新研究院）

基于反步法的小型無人直升機位置控制器設(shè)計*

曹永軍1,2陳再勵2

（1.廣東省智能制造研究所 廣東省現(xiàn)代控制與光機電技術(shù)公共實驗室 2.華南智能機器人創(chuàng)新研究院）

針對小型無人直升機的位置控制問題，提出一種基于反步法的控制器設(shè)計方法?；谛⌒蜔o人直升機非線性模型的剛體動力學(xué)，采用反步法得到力和力矩控制量，再通過數(shù)值分析得到最終舵機的控制量。通過李雅普諾夫穩(wěn)定性定理嚴格分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后通過仿真，驗證了控制器具有良好的位置控制性能。

無人直升機；反步法；位置控制

0 引言

小型無人直升機具有垂直起降、定點懸停的飛行特性，受場地限制影響小，且能夠低空、低速在城市樓宇、山川、森林等復(fù)雜地形環(huán)境中飛行，在軍事和民用領(lǐng)域都具有較高的應(yīng)用價值。目前，小型無人直升機自主飛行控制的問題得到了國內(nèi)外研究者的重點關(guān)注。

部分研究者采用強化學(xué)習(xí)等智能控制[1]方法設(shè)計飛行控制器，取得一定成果，但這類方法需要采集大量的飛行數(shù)據(jù)，同時依賴地面操控人員的經(jīng)驗。還有部分研究者基于直升機的線性模型，采用LQG、PID等方法設(shè)計小型無人直升機的姿態(tài)、位置控制器[2]。但小型無人直升機的系統(tǒng)模型是典型的含高階非線性的系統(tǒng)模型，采用基于線性模型的設(shè)計方法，通常需要將其系統(tǒng)模型在平衡點附近進行近似線性化處理，導(dǎo)致控制器性能在飛行狀態(tài)偏離平衡點時受到影響?；谏鲜銮闆r，越來越多的研究者采用非線性方法，基于無人機的非線性模型設(shè)計控制器，比如滑?？刂芠3]、非線性模型預(yù)測控制[4]等。

高精度的位置控制是小型無人直升機自主飛行、軌跡跟蹤的基礎(chǔ)，本文主要介紹基于小型無人直升機非線性模型的位置控制器設(shè)計。非線性控制方法對控制對象的模型精度有很高的要求，因此本文綜合考慮了小型無人直升機的系統(tǒng)模型。通過對小型無人直升機非線性模型的研究，其狀態(tài)方程的上三角特點十分適合采用反步法進行控制器設(shè)計[5]，同時采用反步法設(shè)計的控制器具有較快的響應(yīng)速率。

1 無人直升機系統(tǒng)模型

小型無人直升機是典型的欠驅(qū)動系統(tǒng)，其非線性模型如圖1所示，包括剛體動力學(xué)模型、力和力矩表達式、主旋翼/尾旋翼揮舞動力學(xué)方程、舵機伺服動力學(xué)模型等4部分。

圖1 無人直升機系統(tǒng)模型

小型無人直升機可以視為一個六自由度的剛體，在慣性坐標系下滿足

其中，ξI=（x, y, z）T是慣性系下的位置向量；VI是慣性系下的線速度向量；g是慣性系下的重力加速度；R表示由體坐標系到慣性坐標系的轉(zhuǎn)移矩陣，其表達式為

其中，φ為橫滾角；θ為俯仰角；φ為偏航角。

考慮在體坐標系下的機體線速度和角速度，得到表達式

其中，VB=(u, v, w)T是體坐標系下的線速度向量；ΩB=(p, q, r)T是體坐標系下的角速度向量；J、m分別是小型無人直升機的轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量；FB=［Fx, Fy, Fz］、MB=［Lm,Rm,Nm］是作用在機體質(zhì)心上的合外力和合外力矩；g?是體坐標系下的重力加速度，其表達式為

作用在直升機上的外力F和外力矩M表達式為

其中，Tmr、Tt分別表示主旋翼和尾旋翼產(chǎn)生的力；a1、b1是主旋翼的揮舞角度；dL/db1、dL/da1分別是橫滾轉(zhuǎn)矩系數(shù)和俯仰轉(zhuǎn)矩系數(shù)；kx、kz是主旋翼在x軸和z軸方向上相對于直升機重心的距離；lx、lz是尾旋翼在x軸和z軸方向上相對于直升機重心的距離；MQ是主旋翼產(chǎn)生的扭矩。

主旋翼的揮舞角度可用揮舞動力學(xué)模型來描述，表征的是主旋翼槳面揮舞角度與周期距之間關(guān)系，考慮本文研究的無人直升機是帶平衡桿的系統(tǒng)，平衡桿的揮舞動力學(xué)模型也要考慮：

其中，δlon、δlat分別表示直升機的橫向周期距、縱向周期距；c、d是平衡桿的揮舞角度；τf、τs是主、尾旋翼槳葉的揮舞時間常數(shù)；Ac、Alon、Bd、Blat、Clon、Dlat是與直升機結(jié)構(gòu)相關(guān)的參數(shù)。

主旋翼產(chǎn)生的力Tmr與主旋翼總距δcol存在的近似關(guān)系式為

類似可以得到尾旋翼產(chǎn)生的力Tt和尾旋翼總距δped之間的表達關(guān)系式

小型無人直升機周期距、總距與舵機控制量之間的關(guān)系就是舵機的伺服動力學(xué)模型，可以用一階微分方程來描述

其中ulon 、ulat 、ucol 、uped 是相應(yīng)舵機的控制量；τlon、τlat是對應(yīng)時間常數(shù)；Kcol、Kped是對應(yīng)的比例常數(shù)。

2 控制器設(shè)計

控制器系統(tǒng)框圖如圖2所示。先基于小型無人直升機的動力學(xué)方程推導(dǎo)位置控制律，再代入揮舞動力學(xué)及舵機伺服動力學(xué)方程求得最終的控制量表達式。

圖2 控制器系統(tǒng)框圖

滿足正定要求，對其求導(dǎo)可得

其中α是控制器參數(shù)，并且要求α>0。

根據(jù)反步法步驟，考慮直升機的速度穩(wěn)定到期望值，引入第二個李雅普諾夫候選函數(shù)

滿足正定條件，對其求導(dǎo)

將式(4)代入式(3)中，整理化簡第二個李雅普諾夫候選函數(shù)導(dǎo)數(shù)的表達式

再一次應(yīng)用向量積性質(zhì)

最終得到第二個李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)數(shù)

根據(jù)向量積性質(zhì)，引入第二個控制參數(shù)β，并構(gòu)造方程

設(shè)計控制律Fd滿足

將式(5)和(6)代入到式(7)中，可以驗證

將式(6)和(7)代入到式(8)中，得到

根據(jù)反步法步驟，設(shè)定第三個李雅普諾夫候選函數(shù)

滿足正定條件，求導(dǎo)

將式(1)代入到式(9)中，得到

設(shè)計控制律dM滿足

將式(11)代入式(10)中，得到

根據(jù)式(11)，可得到期望的角速度的值

至此，已經(jīng)根據(jù)反步法完成了控制律設(shè)計。下面利用李雅普諾夫穩(wěn)定性第二方法進行系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析驗證。

系統(tǒng)的李雅普諾夫候選函數(shù)為

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。在有限時間內(nèi)，小型無人直升機的位置、速度、角速度都會收斂到期望的狀態(tài)，最終實現(xiàn)穩(wěn)定的位置控制。

基于反步法完成了控制律（FBMB）的設(shè)計后，根據(jù)小型無人直升機力和力矩表達式、主旋翼平衡桿揮舞動力學(xué)模型，采用高斯牛頓的方法計算出Tmr、Tt、a1、b1代入到舵機伺服動力學(xué)方程，最終得到輸出給無人直升機執(zhí)行機構(gòu)舵機的控制量ucol、uped、ulat、ulon，實現(xiàn)對小型無人直升機系統(tǒng)的位置控制。

3 仿真與分析

根據(jù)本文提出的位置控制器設(shè)計方法，利用Matlab/Simulink仿真軟件搭建仿真實驗平臺，對位置控制的性能進行仿真驗證。在仿真中，小型無人直升機的初始位置設(shè)定在（-5 m，-4.8 m，5 m），期望位置被設(shè)定在原點，仿真時間設(shè)為10 s。仿真中使用的小型無人直升機為HILOBO EAGLE航模直升機，具體參數(shù)如表1所示。

表1 HILOBO EAGLE-2參數(shù)

選取不同的控制器參數(shù)，對比不同參數(shù)對位置控制器性能的影響，仿真結(jié)果如圖3所示。從仿真結(jié)果可以看到，參數(shù)主要影響系統(tǒng)的收斂時間和收斂過程中的超調(diào)量。小型無人直升機快速收斂到平衡點位置，收斂時間低于5 s，滿足快速響應(yīng)的要求。

可以看到當控制器參數(shù)α較小時，系統(tǒng)收斂時間較慢及出現(xiàn)超調(diào)；當?shù)诙€控制參數(shù)β較大時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)果效果相對變差。綜合考慮，控制參數(shù)選取α=2.5，β=3時，位置控制器的控制性能較好，并給出此參數(shù)下速度、角速度和舵機控制量的仿真輸出結(jié)果，如圖4所示?？梢钥吹剿俣?、角速度和舵機控制量都會進行相應(yīng)的正確反應(yīng)，并且快速回歸到無人直升機懸停時的平衡點狀態(tài)。其中，主旋翼總距穩(wěn)定在7deg左右，為主旋翼產(chǎn)生升力克服直升機重力的值。

圖3 不同參數(shù)下位置控制器性能

圖4 (a) 速度輸出量

圖4 控制參數(shù)α=2.5β=3.0下系統(tǒng)狀態(tài)量輸出

4 結(jié)論

本文提出一種基于反步法的小型無人直升機位置控制器設(shè)計方法。對無人直升機非線性模型采用反步法設(shè)計得到控制律，并通過理論分析和仿真實驗驗證了所設(shè)計的控制器具有漸進穩(wěn)定性和較好的響應(yīng)速率。本文提出的方法可以在李雅普諾夫重新設(shè)計的框架下進行進一步的擴展，實現(xiàn)軌跡跟蹤和抗風(fēng)干擾等控制應(yīng)用。在接下來的工作中會進一步考慮無人直升機模型中的不確定性并引入外界環(huán)境風(fēng)干擾的影響。通過對該算法進行擴展來實現(xiàn)在小型無人直升機系統(tǒng)中的實際應(yīng)用。

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The Position Control of Small Unmanned Aerial Vehicle Based on Backstepping

Cao Yongjun1,2Chen Zaili2
（1.Guangdong Institute of Intelligent Manufacturing Guangdong modern control and optical electrical and Mechanical Technology Public Laboratory 2.South China Robotics Innovation Research Institute）

This paper presents the design and verification of a backstepping based position controller on a small unmanned aerial vehicle (UAV). In this paper, the backstepping method is employed to design the force/moment, and the final servo controller can be derived by the numerical analysis method. The system proved to be asymptotical stable by Lyapunov method. Simulation results can illustrate the position control performance.

Unmanned Aerial Vehicle; Back Stepping; Position Control

曹永軍，男，1981年生，碩士，高級工程師，主要研究方向：智能控制與系統(tǒng)、機器視覺等。E-mail:cyjauto@163.com

廣東省科技計劃項目(2015B010917001)；佛山市科技創(chuàng)新專項資金（2013HK100113）。

陳再勵，男，1989年生，碩士，工程師，主要研究方向：無人機控制等。