張玉峰　詹振飛　李君明

（重慶大學，重慶　400044）

基于多分辨分析的MEARTH方法及其在汽車安全仿真模型確認中的應用

張玉峰詹振飛李君明

（重慶大學，重慶400044）

針對仿真模型確認中存在的多元和動態(tài)響應問題，提出了一種基于多分辨分析的MEARTH方法，并設(shè)計了一種基于貝葉斯決策理論的分類器來綜合考慮不同響應的模型確認結(jié)果，從而可對多元動態(tài)系統(tǒng)的仿真模型的有效性做出綜合評估。通過對某汽車乘員約束系統(tǒng)進行模型確認表明，利用所提出方法得到的評分比傳統(tǒng)MEARTH方法的評分更穩(wěn)定，可對多元動態(tài)系統(tǒng)仿真模型的有效性做出合理評判。

主題詞：多元動態(tài)系統(tǒng)多分辨分析汽車安全仿真模型確認

1　前言

基于仿真模型的設(shè)計常用于汽車產(chǎn)品開發(fā)，在產(chǎn)品開發(fā)前期必須對模型的有效性和預測能力做出定量評價，而模型確認就是為了評估仿真模型的有效性和預測能力而對其輸出數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)進行對比的一個過程。近年來，開發(fā)定量的模型確認方法引起了不少學者的關(guān)注，如Sendur等［1］提出了AVASIM方法，使用L1范數(shù)的算法來評估仿真模型的有效性和準確性；Pope等［2］提出了基于互相關(guān)系數(shù)的R-平方方法，采用互相關(guān)系數(shù)來表征試驗與仿真的響應；Geers［3］提出了一種綜合了幅度和相位誤差的時間序列對比方法，但沒有考慮形狀誤差；Donnelly和Morgan等［4］提出了正歸積分平方誤差方法，同時考慮了相位、幅度和形狀誤差；Sarin、詹振飛等［5～10］提出了響應誤差評估方法（Error Assessment of Response Time History，EARTH）及對其改進后的MEARTH（Multivariate Error Assessment of Response Time History，MEARTH）方法。然而上述模型確認方法沒有對時間序列信號中的不同成分進行分析，只是對單個響應的仿真時間序列與試驗時間序列的對比，不能直接對面向汽車安全的不確定性多元動態(tài)系統(tǒng)仿真模型進行驗證。本文針對上述問題，首先基于Mallat算法對時間序列進行多分辨分析，將重構(gòu)后的低頻部分和高頻部分進行MEARTH評分，按重要程度加權(quán)組合，并設(shè)計了一種基于貝葉斯決策理論的分類器來綜合考慮不同響應模型的確認結(jié)果，從而對多元動態(tài)系統(tǒng)仿真模型的有效性做出合理的評判。

2　動態(tài)系統(tǒng)仿真模型的誤差量化

本文提出的基于多分辨分析的MEARTH方法的流程如圖1所示。其中，CAE數(shù)據(jù)和試驗測量數(shù)據(jù)是不同時刻下不同響應的觀測值。

圖1　基于多分辨分析的MEARTH方法流程

由于多元動態(tài)系統(tǒng)不同響應的量綱不同，為了消除量綱對誤差量化的影響，首先對仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)進行歸一化處理，化為無量綱量。因不同響應之間存在相關(guān)性，為了減少重復誤差，對歸一化后的數(shù)據(jù)進行主元分析，以達到降維的目的。從幅度誤差、相位誤差和形狀誤差3個方面來對降維后的數(shù)據(jù)進行誤差量化，并對降維后的數(shù)據(jù)進行Mallat分解，對分解后的不同頻率成分按重要程度給予相應的權(quán)值。然后對每個響應的3種誤差進行評分（轉(zhuǎn)化為無量綱評分），并根據(jù)專家經(jīng)驗確定3種誤差的權(quán)值大小，進而得到各響應的評分，最后通過設(shè)計基于貝葉斯決策理論的分類器來綜合考慮各響應的驗證結(jié)果，從而對多元動態(tài)系統(tǒng)仿真模型的有效性做出合理評估。當模型能夠有效反映實際的動態(tài)系統(tǒng)時，則該模型就可用于產(chǎn)品的開發(fā)。反之，則需要對仿真模型的參數(shù)進行調(diào)整優(yōu)化。

2.1主元分析

令T=［t1，L，tm］T為n×m維的試驗數(shù)據(jù)，其中為降維后的數(shù)據(jù)，維數(shù)為n×p（p≤m），，即降維后的主元。降維后的數(shù)據(jù)應至少保留原來數(shù)據(jù)95%的信息，可由協(xié)方差矩陣的特征值確定：

權(quán)重矩陣W的維數(shù)為m×p，由特征向量λ1…，λp組成。原數(shù)據(jù)與降維數(shù)據(jù)之間的關(guān)系可表示為：

式（2）描述了T與ΦT之間的關(guān)系，參數(shù)向量μT由T數(shù)組的m個均值組成，亦即μT=（1/N）。因此ΦT可表示為：

2.2多分辨分析

多分辨分析是小波理論中的重要部分，20世紀80年代末，Mallat在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨分析的概念，并提出了正交小波構(gòu)造和變換的快速算法，即Mallat算法。該算法將試驗數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)分解到不同分辨率的空間上，比較它們在不同空間上的吻合程度，并按重要程度進行加權(quán)組合。

2.3誤差分析

因互相關(guān)系數(shù)與相位誤差存在一定的關(guān)系，相位誤差越小，互相關(guān)系數(shù)越大，所以采用互相關(guān)系數(shù)來處理和分析試驗與模型仿真兩個時間序列之間的相位誤差，試驗數(shù)據(jù)與模型仿真結(jié)果的互相關(guān)系數(shù)為：

式中，pi、s（ii=1，2，3，…，n）分別為試驗和仿真模型曲線上第i點數(shù)據(jù)；pˉ、sˉ分別為試驗和模型仿真相應的數(shù)據(jù)均值；n為數(shù)據(jù)點數(shù)量。

移動時間序列，計算新的互相關(guān)系數(shù)，直到互相關(guān)系數(shù)達到最大，用此時移動的步數(shù)nph來表示相位誤差eph。

為避免相位誤差對計算幅度誤差和形狀誤差的影響，采用時移序列代替原序列，時移后的試驗和仿真的時間序列為Pts和Sts。因為試驗數(shù)據(jù)和模型仿真數(shù)據(jù)的波峰、波谷很難嚴格對齊，給后續(xù)幅度誤差和形狀誤差的計算帶來很大干擾，因此利用動態(tài)時間規(guī)整技術(shù)（Dynamic Time Warping，DTW）對試驗和模型仿真時間序列進行規(guī)整，規(guī)整后的試驗和模型仿真時間序列為Pts+w和Sts+w。消除相位誤差和規(guī)整后，幅度誤差為：

采用斜率來量化形狀誤差，可以避免幅度誤差對計算形狀誤差產(chǎn)生的影響，形狀誤差計算式為：

式中，Pts+d+w和Sts+d+w為經(jīng)過時移和規(guī)整后的試驗和模型仿真曲線斜率。

2.4誤差評分

計算出某一響應的幅度誤差、相位誤差和形狀誤差后，為統(tǒng)一3種誤差的量綱，可參考文獻［4］和文獻［5］中的誤差評分方法得到3種誤差的0～100%無量綱評分，其計算式為：

式中，E為誤差評分；e*為可接受的誤差上限；e為量化誤差。

2.5計算總誤差

得到響應的相位誤差、幅度誤差和形狀誤差評分后，需要根據(jù)3種誤差的評分計算出總的誤差評分。因為對仿真模型的相位誤差、幅度誤差和形狀誤差要求不同，需要根據(jù)專家經(jīng)驗確定3種誤差的權(quán)值（ωph、ωma和ωsh）大小，然后計算總誤差評分，計算式為：E=ωphEps+ωmaEma+ωshEsh（8）式中，Eph、Ema、Esh分別為3種誤差的評分。

3　分類器設(shè)計

分類是數(shù)據(jù)挖掘的一種非常重要的方法，分類的概念是指在已有數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上確定一個分類函數(shù)或構(gòu)造出一個分類模型（即分類器Classifier）。分類器是數(shù)據(jù)挖掘中對樣本進行分類的方法的統(tǒng)稱，分類的方法眾多，其中貝葉斯分類器是根據(jù)待分類數(shù)據(jù)后驗概率的大小進行分類的，后驗概率［6］計算式為：

經(jīng)最終化簡后的判別函數(shù)為：

式（10）中，均值向量μi和協(xié)方差矩陣∑是未知的，可根據(jù)對仿真模型的要求生成訓練數(shù)據(jù)對分類器進行訓練來確定μi和∑的值。

4　案例分析

為驗證本文所提出方法的可行性，利用該方法對某汽車乘員約束系統(tǒng)進行模型確認，并與傳統(tǒng)的MEARTH方法得到的結(jié)果進行了對比。該乘員約束系統(tǒng)模型包含9個響應，每個響應的試驗數(shù)據(jù)和模型仿真數(shù)據(jù)都是由203個點組成的時間序列。通過改變試驗條件，共得到6組試驗數(shù)據(jù)和模型數(shù)據(jù)。

選取其中1組數(shù)據(jù)進行分析，首先對該組數(shù)據(jù)的9個響應進行歸一化處理，然后對處理后的數(shù)據(jù)進行主元分析，結(jié)果如圖2所示。因前3個主元的貢獻率達到95.18%，所以可以將原來的9維數(shù)據(jù)減少到3維，3個主元的試驗和仿真曲線如圖3所示。

圖2　主元分析結(jié)果

圖3　3個主元的時間序列曲線

傳統(tǒng)MEARTH方法分析的是時間序列響應本身，而時間序列是由不同頻率成分組成的，不同的頻率成分重要程度不同，所以需要通過Mallat算法對不同頻率成分進行分解和重構(gòu)，將低頻部分重構(gòu)為近似信號，高頻部分重構(gòu)為細節(jié)信號。近似信號可以反映原信號的大致輪廓，細節(jié)信號是對信號細節(jié)的反映。在汽車的被動安全仿真中，近似信號的重要程度要高于細節(jié)信號，所以在對近似信號和細節(jié)信號進行評分時，兩種信號按不同權(quán)值進行組合。圖4為第1主元經(jīng)Mallat分解重構(gòu)后的信號，由圖4可看出，近似信號因缺少高頻部分，所以曲線顯得更加光滑，而細節(jié)信號由高頻成分組成，顯得非常不規(guī)律。因為信號主要以低頻成分為主（圖5），所以本文只考慮近似信號。

圖4　第1主元Mallat分解后的近似信號與細節(jié)信號

圖5　第1主元的傅里葉變化

從幅度誤差、相位誤差和形狀誤差3個方面來量化仿真模型的誤差。該乘員約束系統(tǒng)仿真模型的各主元的3種誤差值見表1。

表1　各主元的3種誤差值

在得到各主元的3種誤差后，依據(jù)式（7）計算3種誤差的0～100%無量綱評分，再結(jié)合專家提供的3種誤差的權(quán)重系數(shù)計算每個主元的誤差綜合評分。各主元的3種誤差的無量綱評分及各主元的綜合評分如表2所列。

表2　3個主元的量化誤差和評分%

結(jié)合圖3、表1和表2可知，第1主元通過仿真得到的時間曲線與試驗得到的時間曲線吻合較好，因而對應的幅度誤差、相位誤差和形狀誤差較小，3種誤差的無量綱評分和綜合評分較高。而主元3經(jīng)仿真得到的時間曲線與試驗得到的時間曲線吻合較差，因而對應的幅度誤差、相位誤差和形狀誤差較大，3種誤差的無量綱評分和綜合評分較低。由此表明，本文所用的誤差評估方法能對仿真模型的輸出做出客觀的評估。

該組數(shù)據(jù)通過基于多分辨分析的MEARTH方法計算得到的評分為77.95%，6組數(shù)據(jù)的評分以及每組對應的傳統(tǒng)MEARTH方法評分如表3所列。因為忽略了高頻噪聲，所以本文所提出方法計算得到的評分要略高于傳統(tǒng)MEARTH方法的評分，計算得到的評分方差比傳統(tǒng)MEARTH方法的評分方差小18%，證明利用本文所提出方法對模型進行評分更穩(wěn)定，更能反映模型的本質(zhì)，比傳統(tǒng)MEARTH方法受試驗條件變化的影響小。

表3　基于多分辨分析的MEARTH方法與傳統(tǒng)MEARTH方法的評分結(jié)果對比

得到模型的評分后，通過貝葉斯分類器來對模型是否可以接受進行判斷。根據(jù)專家經(jīng)驗設(shè)置分類器的正類和反類的均值和方差，通過正態(tài)隨機分布生成訓練數(shù)據(jù)，用訓練數(shù)據(jù)訓練分類器，將仿真模型的各響應的綜合評分載入到訓練好的分類器中，從而判斷該組數(shù)據(jù)所屬的類別，即可判斷模型的有效性。最終該汽車乘員約束系統(tǒng)模型被歸為正類，即該約束條件下仿真模型能以足夠的精度代表實際系統(tǒng)。

5　結(jié)束語

本文針對模型確認中的多元和動態(tài)響應等問題，在傳統(tǒng)MEARTH方法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于多分辨分析的MEARTH方法，并設(shè)計了一種基于貝葉斯決策理論的分類器來綜合考慮不同響應的模型確認結(jié)果，從而可對多元動態(tài)系統(tǒng)仿真模型的有效性做出綜合評估。通過對某汽車乘員約束系統(tǒng)進行模型確認表明，利用本文所提出方法得到的評分比傳統(tǒng)MEARTH方法的評分更穩(wěn)定，可對多元動態(tài)系統(tǒng)仿真模型的有效性做出合理評判。

1Sendur P，Stein J L，Peng H，et al.A model accuracy and validation algorithm，in ASME 2002 International Mechanical Engineering Congress and Exposition，IMECE 2002，2002，pp.573～583.

2Pope N D，Bailey C G.Quantitative comparison of FDS and parametric fire curves with post-flashover compartment fire test data，F(xiàn)ire Safety Journal，2006，41（3）：99～110.

3Geers T L.OBJECTIVE ERROR MEASURE FOR THE COMPARISONOFCALCULATEDANDMEASURED TRANSIENT RESPONSE HISTORIES，in 54th Symposium on Shock and Vibration.，Pasadena，CA，USA，1984，pp.99～107.

4Jiang X，Yang R J，Barbat S，et al.Weerappuli，"Bayesian probabilistic PCA approach for model validation of dynamic systems.SAE International Journal of Materials and Manufacturing，vol.2，pp.555～563，2009.

5Sarin H，Kokkolaras M，Hulbert G，et al.A comprehensive metric for comparing time histories in validation of simulation models with emphasis on vehicle safety applications，in 2008 ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference，DETC 2008，August 3，2008-August 6，2008，New York City，NY，United states，2009，pp.1275～1286.

6Sarin H，Kokkolaras M，Hulbert G，et al.Comparing time histories for validation of simulation models：Error measures and metrics，Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control，Transactions of the ASME，vol.132，2010.

7詹振飛.面向汽車安全的不確定性多元動態(tài)系統(tǒng)模型驗證理論和應用研究：［博士論文］.上海：上海交通大學，2011.

8鄭凱，胡潔，詹振飛，等.動態(tài)系統(tǒng)模型驗證的多元響應分析.上海交通大學學報，2015，49（2）：191～195.

9Zhan Z F，Hu J，F(xiàn)u Y，et al.Multivariate error assessment of response time histories method for dynamic systems，Journal of Zhejiang University：Science A，vol.13，pp.121～131，2012.

10Yang J，Zhan Z，Chen C，et al.Development of a Comprehensive Validation Method for Dynamic Systems and Its Application on Vehicle Design.SAE International Journal of Materials and Manufacturing，vo l.8，2015.

（責任編輯文楫）

修改稿收到日期為2016年7月31日。

Multiresolution Analysis Based MEARTH Method and Its Application in Automotive Safety Simulation Model Validation

Zhang Yufeng，Zhan Zhenfei，Li Junming
（Chongqing University，Chongqing 400044）

For multivariate and dynamic response in the simulation model validation，a multiresolution analysisbased MEARTH method was proposed，and a classifier based on Bayesian decision theory was designed to consider the validation result of different responses synthetically，thus make a comprehensive evaluation to validity of simulation system of the multivariate dynamic system.The model validation of a vehicle occupant restraint system showed that，rating made by the proposed method is more stable than that made by MEARTH method，and can make a rational judgment of the validity of the multivariate dynamic simulation system.

Multivariate dynamic system,Multiresolution analysis,Automobile safety simulation,Model validation

U461.91

A

1000-3703（2016）09-0013-05