韓建友　曹彥平　崔光珍

(北京科技大學(xué)機械工程學(xué)院， 北京 100083)

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給定6R閉鏈的八桿機構(gòu)四位置綜合

韓建友曹彥平崔光珍

(北京科技大學(xué)機械工程學(xué)院， 北京 100083)

在給定6R閉鏈上添加2個RR桿形成32種單自由度八桿機構(gòu)。首先依據(jù)擴展布氏曲線理論求出解曲線，在解曲線上添加2個RR桿得到了所要綜合的八桿機構(gòu)。由于解曲線上的每一點都可以作為添加RR桿的點，因此可以得到無窮多解。通過把解曲線進行變換可以得到表示無窮多解的解平面，稱為解域。根據(jù)閉鏈上添加的兩個RR桿是否相關(guān)，把解域分為2類。采用桿組法對機構(gòu)進行分類并進行運動分析。根據(jù)機構(gòu)是否能順序通過給定閉鏈的4個位置判斷機構(gòu)是否有缺陷，去掉解域中有缺陷的機構(gòu)就得到了機構(gòu)的可行解域。在可行解域中，根據(jù)機構(gòu)的原動件可轉(zhuǎn)動的角度范圍，將原動件為曲柄和非曲柄的機構(gòu)進行區(qū)分。解域綜合方法可使設(shè)計者能更直觀、準(zhǔn)確地選擇滿足要求的機構(gòu)，提高了設(shè)計效率。最后，通過一個八桿機構(gòu)的綜合示例具體說明了該類四位置綜合的過程及結(jié)果。

八桿機構(gòu)； 6R閉鏈； 四位置綜合； 解曲線； 解域

引言

平面四桿機構(gòu)位置綜合問題[1-4]已經(jīng)得到較多研究，四桿機構(gòu)及其演化形式在生產(chǎn)實踐中也得到了廣泛應(yīng)用。但是，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，機構(gòu)綜合研究水平的提高，多桿機構(gòu)的應(yīng)用研究亦日益增多，例如，Watt-Ia型六桿轉(zhuǎn)向機構(gòu)、單自由度的六桿和八桿機構(gòu)手指的應(yīng)用可能性研究[5-7]，以及多桿機構(gòu)膝關(guān)節(jié)、折疊床等研究也取得了成果[8-10]。文獻[11]在3R開鏈上添加RR桿綜合形成單自由度六桿機構(gòu)，通過雅可比矩陣行列式值的符號變化以及運動連續(xù)性進行缺陷判斷。文獻[12]提出了將Stephenson-Ⅲ型六桿機構(gòu)分解為四桿機構(gòu)和一個Ⅱ級桿組，然后求解其運動區(qū)域的方法。文獻[13]在給定4R開鏈上添加3個RR桿，綜合生成八桿機構(gòu)，采用機架轉(zhuǎn)換的方法對機構(gòu)進行運動分析，通過保持二桿組叉積符號不變進行缺陷判斷。SONAWALE等[14]研究了給定6R閉鏈的八桿機構(gòu)五位置綜合的問題。但是，五位置綜合得到的是有限的機構(gòu)解，設(shè)計者的選擇具有局限性，有時得不到所需要的解。本文區(qū)別于文獻[14]，研究給定6R閉鏈的八桿機構(gòu)四位置綜合問題，四位置綜合可以得到無窮多解，為設(shè)計者提供更多選擇。在給定6R閉鏈上添加2個RR桿，綜合生成32種單自由度的八桿機構(gòu)，與給定3R開鏈的六桿機構(gòu)的四位置綜合相比，得到的機構(gòu)種類更多。八桿機構(gòu)與六桿機構(gòu)、四桿機構(gòu)相比能實現(xiàn)更多的運動功能。如，可以給定機架的位置或多個連桿以及連架桿的運動(包括速度、加速度等)。本文在四桿、六桿和部分八桿機構(gòu)解域綜合方法的基礎(chǔ)上，提出給定6R閉鏈的八桿機構(gòu)四位置綜合問題的解域綜合方法，完善多桿機構(gòu)的解域綜合方法，為該類機構(gòu)的應(yīng)用提供一個可行的綜合方法，為設(shè)計者設(shè)計新產(chǎn)品提供更廣闊的機構(gòu)選擇平臺。

1　八桿機構(gòu)構(gòu)成

圖1為6R閉鏈，M為執(zhí)行件。要得到單自由度的八桿機構(gòu)，需要在閉鏈上添加2個RR桿。本文參照文獻[14]添加構(gòu)件，得到32種八桿機構(gòu)。

圖1　6R閉鏈Fig.1　6R loop

依次添加2個RR桿，第2個添加桿與第1個添加桿不相關(guān)時形成17種八桿機構(gòu)，如圖2所示；第2個添加桿與第1個添加桿相關(guān)時得到15種八桿機構(gòu)，如圖3所示。

因此，在閉鏈上添加2個構(gòu)件共得到32種八桿機構(gòu)。

圖2　添加2個不相關(guān)構(gòu)件的八桿機構(gòu)Fig.2　Linkages obtained by adding two independent RR constraints to the 6R loop

圖3　添加2個相關(guān)構(gòu)件的八桿機構(gòu)Fig.3　Linkages obtained by adding a sequence of two RR constraints to 6R loop

2　解域構(gòu)成

本文給定6R閉鏈的4個位置，參照文獻[11]綜合生成2個RR添加桿，采用解曲線分段方法建立解域。解域建立具體步驟為：

(1)計算添加桿上鉸鏈點所在的解曲線

根據(jù)給定閉鏈上各構(gòu)件的4個位置計算得到添加桿7上鉸鏈點a所在的解曲線ab-a，如圖4所示。設(shè)鉸鏈點a的x坐標(biāo)為已知量，令x以一定步長依次取值，得到關(guān)于y的三次方程，根據(jù)求根公式，得到相應(yīng)的解，點(x,y)即為解曲線ab-a上的點，把這些點用直線連接便得到了解曲線ab-a。根據(jù)解曲線方程的定義及推導(dǎo)過程，同時得到了添加桿7上鉸鏈點b所在的解曲線ab-b。同理，可以得到添加桿8上鉸鏈點c、d所在的解曲線cd-c和cd-d，如圖4所示。

圖4　解曲線Fig.4　Solution curves

(2)計算解曲線上可行區(qū)段，并對其進行分段

如果解曲線ab-a上的點在鉸鏈點a的限定范圍內(nèi)，并且與該點對應(yīng)的解曲線ab-b上的點也在其限定范圍內(nèi)，那么該點為可行點。首先根據(jù)鉸鏈點a、b的限定范圍計算得到解曲線ab-a及ab-b可行區(qū)段，然后把可行區(qū)段進行分段，具體見文獻[6]。同樣，計算解曲線cd-c和cd-d上的可行區(qū)段，并對其進行分段。由于解曲線ab-a(cd-c)上的點與解曲線ab-b(cd-d)上的點一一對應(yīng)，所以，以下僅對解曲線ab-a和cd-c進行討論。

(3)建立解域

把解曲線ab-a和cd-c上的可行區(qū)段首先按照區(qū)段排列，然后將各個區(qū)段內(nèi)所有點的x坐標(biāo)按從小到大的順序依次排列分別向橫、縱坐標(biāo)軸映射，建立解域。因此，解域內(nèi)的每一點的橫縱坐標(biāo)值分別代表鉸鏈點a、c的x坐標(biāo)，根據(jù)第一步內(nèi)容得到相應(yīng)y的坐標(biāo)與該點對應(yīng)的鉸鏈點b、d的位置坐標(biāo)。也就是說解域內(nèi)每一點都代表添加的2個構(gòu)件，即選取解域內(nèi)每一點都可以得到一個八桿機構(gòu)。

(4)解域分類

對于添加2個不相關(guān)構(gòu)件的八桿機構(gòu)，如圖2a所示，計算得到的解曲線ab-a與解曲線cd-c不相關(guān)，對于解域內(nèi)任意一點(ax,cx)，其橫縱坐標(biāo)值相互獨立，如圖5a所示。對于添加2個相關(guān)構(gòu)件的八桿機構(gòu)，如圖3a所示，計算得到的解曲線cd-c與解曲線ab-a相關(guān)。解域內(nèi)任意一個橫坐標(biāo)ax對應(yīng)一條直線x=ax，該直線為鉸鏈點a對應(yīng)的解曲線cd-c上可行區(qū)段內(nèi)所有點的x坐標(biāo)向y軸映射所得，如圖5b所示。在該解域內(nèi)，對于任意一點(ax,cx)，縱坐標(biāo)的值cx依賴于橫坐標(biāo)ax。因此，根據(jù)閉鏈上添加的2個構(gòu)件是否相關(guān)，把解域分為2類。

圖5　解域示意圖Fig.5　Diagram of solution region

3　運動分析方法與缺陷判別

3.1運動分析方法

任何平面機構(gòu)都可以分解為原動件、基本桿組和機架3部分。自由度F=0且不能再分的運動鏈(構(gòu)件組)稱為基本桿組。本文中所有八桿機構(gòu)均以構(gòu)件1為原動件，構(gòu)件6為機架。在機構(gòu)運動分析過程中，根據(jù)機構(gòu)所含基本桿組類型把32種機構(gòu)分為3種類型，如圖2和圖3所示，藍色框內(nèi)機構(gòu)共有4種，每種機構(gòu)包含3個二桿組，把此種機構(gòu)稱為Ⅰ類八桿機構(gòu)；綠色框內(nèi)的機構(gòu)共有8種，每種機構(gòu)包含1個四桿組和1個二桿組，把此種機構(gòu)稱為Ⅱ類八桿機構(gòu)，紅色框內(nèi)機構(gòu)共有20種，每種機構(gòu)包含1個六桿組，把此種機構(gòu)稱為Ⅲ類八桿機構(gòu)。本文中涉及到的基本桿組包括二桿組、四桿組和六桿組，如圖6所示。

圖6　綜合機構(gòu)中包含的基本桿組Fig.6　Assur groups contained in synthetic linkages

桿組具有運動確定性，即桿組的外副若與運動已知的構(gòu)件相連接，則桿組中每一構(gòu)件的運動都是確定的。本文基于桿組法對機構(gòu)進行運動分析。將基本桿組的位置分析過程編為子程序，在對機構(gòu)進行運動分析時，直接調(diào)用該子程序。Ⅰ、Ⅱ類八桿機構(gòu)包含多個桿組，對機構(gòu)運動分析時首先調(diào)用與機架、原動件相連接的桿組，求得該桿組中所有內(nèi)鉸鏈的位置坐標(biāo)，再根據(jù)其他桿組外鉸鏈點的已知性依次調(diào)用。對于Ⅲ類八桿機構(gòu)，直接調(diào)用六桿組子程序即可求得機構(gòu)中所有鉸鏈點的位置坐標(biāo)。二桿組的位置分析可直接調(diào)用已編好的子程序[15]。根據(jù)型轉(zhuǎn)化法[15-16]，復(fù)雜桿組可以轉(zhuǎn)化為多個簡單的構(gòu)件或二桿組。因此，本文通過多次調(diào)用二桿組的標(biāo)準(zhǔn)程序?qū)λ臈U組和六桿組進行位置分析。圖7所示為2個基本桿組的型轉(zhuǎn)化過程，圖7a中A、B、C是與原動件或者機架相連的外鉸鏈點，用實心圓表示，解除外鉸鏈點A，把鉸鏈點D虛擬為已知，于是桿組就分解成了如圖7b所示的簡單桿組，依次調(diào)用二桿組的子程序解得圖7a所示桿組的各個鉸鏈點的位置，最后根據(jù)誤差情況修正鉸鏈點D的虛擬位置坐標(biāo)。圖7c、7d為一個六桿組的型轉(zhuǎn)化過程。同理，可求得其他復(fù)雜桿組的內(nèi)鉸鏈點的位置坐標(biāo)，詳見文獻[17-18]。

圖7　基本桿組型轉(zhuǎn)化過程Fig.7　Type conversion process of Assur groups

3.2缺陷判別

以圖8所示的八桿機構(gòu)為例。首先對其進行位置分析，得到位置分析方程和雅可比矩陣。由圖8得到矢量方程

lop+lpq+lqr-len-lnr-loe=0

(1)

loa+lab-loe-len-lnb=0

(2)

loc+lcd-loe-led=0

(3)

將式(1)～(3)分別向x、y坐標(biāo)軸投影，得

l1cosθ1+l2cosθ2+l3cosθ3-l5cosθ5-l4cosθ4-loex=0

(4)

l1sinθ1+l2sinθ2+l3sinθ3-l5sinθ5-l4sinθ4-loey=0

(5)

l6cos(θ1-α1)-l8cos(θ4+β)-l5cosθ5+l7cosθ6-

loex=0

(6)

l6sin(θ1-α1)-l8sin(θ4+β)-l5sinθ5+l7sinθ6-

loey=0

(7)

l9cos(θ1-α2)-l11cos(θ5+γ)+l10cosθ7-loex=0

(8)

l9sin(θ1-α2)-l11sin(θ5+γ)+l10sinθ7-loey=0

(9)

其中

loex=ex-oxloey=ey-oy

式中o(ox,oy)、e(ex,ey)——機構(gòu)的固定鉸鏈點及其坐標(biāo)

將式(4)～(9)分別對θ2、θ3、θ4、θ5、θ6、θ7求導(dǎo)，得到雅可比矩陣行列式

(10)

整理式(10)，得

|A|=l2l3l7l8l10l11sin(θ2-θ3)·

sin(β+θ4-θ6)sin(γ+θ5-θ7)

(11)

當(dāng)|A|=0時，機構(gòu)處于奇異位形。所以，如果機構(gòu)在運動過程中存在奇異位形，那么該機構(gòu)存在缺陷。本文中，機構(gòu)缺陷判斷的過程為：

圖8　八桿機構(gòu)示意圖Fig.8　Parameters for eight-bar linkage

(1)計算給定4個位置的雅可比矩陣行列式，得到|A1|、|A2|、|A3|、|A4|。|Ai|(i=1,2,3,4)的符號如果不相同，機構(gòu)存在運動缺陷；如果相同，則需要根據(jù)下一步運動連續(xù)性進一步判斷機構(gòu)是否存在運動缺陷。

(2)機構(gòu)輸入角度從第1位置開始以一定的步長連續(xù)取值，如果機構(gòu)在到達給定第2個位置之前，|A|的符號發(fā)生變化，則機構(gòu)存在缺陷。如果機構(gòu)在第1位置到第2位置運動過程中，|A|的符號不變，但是當(dāng)機構(gòu)輸入角度等于給定第2位置輸入角度時，機構(gòu)實際到達的位置與給定位置不同，則機構(gòu)也存在缺陷。同樣，可以判斷機構(gòu)從第2位置到第3位置以及從第3位置到第4位置的缺陷情況。

如果機構(gòu)從第1位置到第4位置不存在運動缺陷，則該機構(gòu)為可行機構(gòu)。在可行機構(gòu)中，如果機構(gòu)原動件可轉(zhuǎn)動角度范圍為360°，把該機構(gòu)標(biāo)注為原動件為曲柄的八桿機構(gòu)；如果機構(gòu)原動件可轉(zhuǎn)動角度范圍未滿360°，把該機構(gòu)標(biāo)注為原動件為非曲柄的八桿機構(gòu)。對解域內(nèi)所有的八桿機構(gòu)進行上述缺陷判別，即可得到可行解域。

4　綜合示例

綜合如圖8所示的八桿機構(gòu)類型。已知6R閉鏈的4個位置參數(shù)如表1所示，鉸鏈點a、b、c、d的坐標(biāo)限定范圍如表2所示，圖9為表1、表2給定參數(shù)的示意圖。表1中L為桿長，Pi表示機構(gòu)所處的第i個位置。表2中Ai、Bi、Ci、Di(i=1,2)分別表示圖9中限定框A、B、C、D左下角和右上角坐標(biāo)。桿ab上鉸鏈點a、b的位置坐標(biāo)和桿cd上鉸鏈點c、d的位置坐標(biāo)為綜合示例待求參數(shù)。

根據(jù)表1給定參數(shù)，按照第2節(jié)綜合方法，綜合生成添加桿7，得到如圖10所示解曲線ab-a與ab-b，同樣，綜合生成桿8時，得到如圖11所示解曲線cd-c與cd-d。根據(jù)表2鉸鏈點的限定范圍，計算得到解曲線ab-a的有效區(qū)段aⅠ∈[0.2,11.4]、aⅡ∈[41.6,70.6]。同樣，計算得到解曲線cd-c的有效區(qū)段cⅠ∈[45.8,49.8]、cⅡ∈[18.8,49.8]，分別將解曲線ab-a和cd-c上的有效區(qū)段Ⅰ、Ⅱ向橫縱坐標(biāo)軸投影，建立解域。根據(jù)第3節(jié)對解域內(nèi)機構(gòu)進行運動缺陷判別，由于圖8所示八桿機構(gòu)由3個二桿組構(gòu)成，所以可以通過保持二桿組叉積符號不變進行缺陷分析。

表1　給定閉鏈的4個位置參數(shù)Tab.1　Four positional parameters of 6R loop

表2　鉸鏈點a,b,c,d的限定范圍Tab.2　Ranges of joints a,b,c,d

圖9　給定閉鏈的4個位置Fig.9　Four positions of 6R loop

圖10　解曲線ab-a和ab-bFig.10　Solution curves of ab-a and ab-b

最終，得到圖12所示的解域圖。選取解域內(nèi)每一點都可以得到一個八桿機構(gòu)。在解域內(nèi)任取點K1(10.0,44.8)，可得與之對應(yīng)的機構(gòu)，如圖13a所示，取點K2(50.2,40.8)，可得如圖13b所示的對應(yīng)機構(gòu)。點K1、K2對應(yīng)的鉸鏈點a、b、c、d如表3所示。

圖11　解曲線cd-c和cd-dFig.11　Solution curves of cd-c and cd-d

圖12　解域圖Fig.12　Solution region

圖13　綜合得到的機構(gòu)Fig.13　Synthesized linkages

鉸鏈點K1K2a(10.0,95.918)(50.2,75.765)b(167.102,169.510)(371.242,159.892)c(44.8,63.401)(40.8,50.728)d(361.830,131.931)(361.672,107.134)

本文的研究內(nèi)容為應(yīng)用基礎(chǔ)理論與方法的研究。這些理論和方法的研究成果解決了給定閉鏈運動的八桿機構(gòu)的設(shè)計問題，因此，可應(yīng)用于已知如圖1所示的閉鏈上一個構(gòu)件或者多個構(gòu)件的若干位置及其他構(gòu)件桿長和角度設(shè)計一個橫向和縱向運動范圍較大，機架位置也給定的八桿機構(gòu)。例如，折疊床(主要給定構(gòu)件3和構(gòu)件4的4個位置、其他構(gòu)件桿長及角度可以給定,也可以計算得到)、振動篩(主要給定構(gòu)件3的4個位置、其他構(gòu)件桿長及角度)以及給定平面四自由度4R機械手機構(gòu)的4個位置用單自由度八桿機構(gòu)實現(xiàn)的設(shè)計問題。此外，還有一些潛在的其他應(yīng)用場合。隨著八桿機構(gòu)的設(shè)計理論與方法的日益成熟，該類機構(gòu)將在某些工程中的機構(gòu)設(shè)計問題中得到推廣和應(yīng)用。本文重點研究普遍適用的設(shè)計理論與方法，沒有給出具體應(yīng)用實例。

5　結(jié)論

(1)通過對此類綜合所得的構(gòu)型進行分析，得到了32種八桿機構(gòu)構(gòu)型(全部八桿機構(gòu)構(gòu)型共有153種)。

(2)通過對32種機構(gòu)構(gòu)型進行分析，給出了全部機構(gòu)解域的建立方法和建立過程，并得到了全部解域共分成2類的結(jié)論。

(3)給出了桿組構(gòu)型分類方法。綜合出的32種八桿機構(gòu)共含有2種四桿組和7種六桿組(見圖6，153種八桿機構(gòu)中共含有10種六桿組)。同時，引入了高級桿組降級為二級桿組的迭代位置分析方法，對各類桿組都只調(diào)用二級桿組的求解程序，完成了對機構(gòu)進行位置分析和缺陷判定的自動求解過程。

(4)對各種構(gòu)型，在其運動分析自動完成的基礎(chǔ)上，仍先根據(jù)雅可比矩陣對給定四位置點進行分支與回路缺陷判定。去除雅可比矩陣行列式值變號的部分，對保留部分進行運動分析檢查，直至得到可行域，并根據(jù)構(gòu)型有無曲柄對可行域分類。

(5)給出的機構(gòu)綜合示例表明，本文給出的方法是行之有效的。所編制的給定閉鏈4個位置的八桿機構(gòu)綜合程序具有通用性，易于掌握。上述結(jié)果補充和完善了八桿機構(gòu)的綜合理論與方法，對機構(gòu)的綜合及應(yīng)用研究具有一定的推進作用。

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Synthesis of Eight-bar Linkage for Specified 6R Loop through Four Positions

Han JianyouCao YanpingCui Guangzhen

(SchoolofMechanicalEngineering，UniversityofScienceandTechnologyBeijing，Beijing100083，China)

There are 32 ways in which the two RR constraints are added to the 6R loop to form 1-DOF eight-bar linkage. First, the solution curve was obtained based on expanding burmester curve theory. Then the eight-bar linkage can be synthesized by adding two RR constraints on the solution curves. Each point on the solution curve can be viewed as the added RR constraint, so infinitely many solutions can be got. The solution curve can be converted into the solution plane which presents infinitely many solutions. The solution plane was called solution region. The solution region was divided into two categories according to whether the two added RR constraints were related. The linkages were classified by the method of Assur group. The motion of eight-bar linkage was analyzed by the iterative position analysis method which relegated the four-bar Assur groups or six-bar Assur groups to several two-bar Assur groups. Whether a linkage could be defected depends on if it can sequently move through the four positions of 6R loop. After the defect linkages were removed, the feasible solution region can be got. In the solution region, the feasible linkage can be classified into two types, the crank and the non-crank, according to the rotatable angle range of the driving link. The solution region synthesis theory makes designers choose the feasible linkage directly and accurately, so the design efficiency was improved. In addition, eight-bar linkage can achieve more movement function compared with six-bar linkage and four-bar linkage. The synthesis of eight-bar linkage for 6R loop through four positions makes the solution region synthesis theory more perfectly, provides more choices for designer and lays the foundation for the application of eight-bar linkage in practice. Finally, an example of eight-bar linkage specifies the four positions synthesis.

eight-bar linkage; 6R loop； four positions synthesis; solution curve; solution region

10.6041/j.issn.1000-1298.2016.09.051

2016-04-12

2016-06-20

國家自然科學(xué)基金項目(51275034)

韓建友(1956—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事機構(gòu)分析與綜合理論、機構(gòu)動力平衡等研究，E-mail: jyhan@ustb.edu.cn

TH112.1

A

1000-1298(2016)09-0382-07