陳嬌娜，張生瑞，靳引利

(1.長(zhǎng)安大學(xué)　公路學(xué)院，陜西　西安　710064；2.長(zhǎng)安大學(xué)　電子與控制工程學(xué)院，陜西　西安　710064)

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高速公路行程時(shí)間可靠性模型參數(shù)估計(jì)方法比較分析

陳嬌娜1，張生瑞1，靳引利2

(1.長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安710064；2.長(zhǎng)安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院，陜西西安710064)

對(duì)于服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的同一組樣本，不同估計(jì)方法可能會(huì)產(chǎn)生不同的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。針對(duì)這種情況，運(yùn)用高速公路收費(fèi)數(shù)據(jù)分別對(duì)客車(chē)和貨車(chē)的行程時(shí)間分布進(jìn)行了對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合。以誤差平方和、累積分布函數(shù)的誤差平方和、確定系數(shù)、偏度系數(shù)的相對(duì)誤差和峰度系數(shù)的相對(duì)誤差為衡量指標(biāo)，比較最大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)的擬合結(jié)果。結(jié)果表明：最大似然參數(shù)估計(jì)在擬合累積概率分布時(shí)效果更優(yōu)。建立了路段單位距離行程時(shí)間可靠性模型，提出了參數(shù)及閾值標(biāo)定適用的估計(jì)方法。最后，對(duì)陜西省的高速公路網(wǎng)進(jìn)行了實(shí)例分析。分析表明：出行距離對(duì)貨車(chē)和客車(chē)的行程時(shí)間可靠度均有影響，出發(fā)時(shí)段對(duì)客車(chē)的出行延誤影響較貨車(chē)顯著。

交通工程;行程時(shí)間可靠性;最大似然估計(jì);最小二乘估計(jì);對(duì)數(shù)正態(tài)分布

0　引言

高速公路行程時(shí)間可靠性是指在高速公路上給定的起終點(diǎn)之間，出行者能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)順利完成出行的概率[1]。高速公路行程時(shí)間可靠性能有效地衡量高速公路路網(wǎng)的不確定性，是微觀(guān)出行決策的重要考慮因素和評(píng)價(jià)出行服務(wù)水平及道路運(yùn)行效率的關(guān)鍵指標(biāo)[2]。

柏喜紅等[3]從路、人、環(huán)境和技術(shù)4個(gè)方面分析了高速公路行程時(shí)間可靠性的影響因素，并總結(jié)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)、緩沖時(shí)間、行程延誤、行程時(shí)間分布寬度和斜度4個(gè)角度的評(píng)價(jià)指標(biāo)及適用性。降雨[4-5]、霧天[6]、冰雪[7]、交通事故[8]等條件下對(duì)行程時(shí)間可靠性影響的研究相繼開(kāi)展。Bell等[9]認(rèn)為，當(dāng)交通量較大時(shí)，路徑行程時(shí)間服從正態(tài)分布，當(dāng)交通量不大時(shí)，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。Arezoumandi[10]分析了伽馬分布、最大極值分布、log-logistic概率分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布及威布爾分布與 18 h行程時(shí)間數(shù)據(jù)的擬合程度，認(rèn)為可變限速情形下行程時(shí)間的分布服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。陳琨等[11]使用北京市浮動(dòng)車(chē)數(shù)據(jù)，分別用正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布和威布爾分布對(duì)路段行程時(shí)間的概率密度函數(shù)進(jìn)行了曲線(xiàn)擬合，結(jié)果表明對(duì)數(shù)正態(tài)分布的擬合效果最佳。尹志鵬[12]基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，采用標(biāo)準(zhǔn)差、緩沖指數(shù)和擁擠頻率來(lái)評(píng)價(jià)旅行時(shí)間可靠性。浮動(dòng)車(chē)數(shù)據(jù)[13]、車(chē)檢器數(shù)據(jù)[14]和收費(fèi)數(shù)據(jù)[15]被應(yīng)用于高速公路路段行程時(shí)間預(yù)測(cè)研究。

雖然在行程時(shí)間分布模型方面的研究不斷深入，但尚未涉及模型參數(shù)估計(jì)方法對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響。Zhou[16]和Taraldsen[17]介紹了對(duì)數(shù)正態(tài)分布的常見(jiàn)估計(jì)方法。于洋[18]認(rèn)為對(duì)于同一組樣本觀(guān)測(cè)值，采用不同估計(jì)方法得到的對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)值是不同的。由于不同參數(shù)標(biāo)定方法的差異，如何選取符合可靠性評(píng)價(jià)適用條件的參數(shù)估計(jì)方法已成為亟待解決的問(wèn)題。

本文分別對(duì)客車(chē)和貨車(chē)的行程時(shí)間分布進(jìn)行擬合，驗(yàn)證高速公路行程時(shí)間的分布模型，并比較最大似然參數(shù)估計(jì)和最小二乘參數(shù)估計(jì)的擬合效果；建立高速公路行程時(shí)間可靠性模型，結(jié)合4類(lèi)可靠性評(píng)價(jià)指標(biāo)特征，提出一種確定可接受的行程時(shí)間閾值的方法；最后，通過(guò)實(shí)際高速公路收費(fèi)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的適用性。

1　高速公路行程時(shí)間可靠性

由文獻(xiàn)[11]可知，路段行程時(shí)間的概率密度函數(shù)可以由對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型來(lái)描述。對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下：

(1)

式中，ti為路段的行程時(shí)間；μi和σi分別為路段行程時(shí)間的期望和標(biāo)準(zhǔn)差。

路段i的行程時(shí)間可靠性模型可以描述為：

式中，Ri,L為在服務(wù)水平L下路段i行程時(shí)間可靠度；ti為路段i的實(shí)際行程時(shí)間；Ti,L為在服務(wù)水平L下路段i行程時(shí)間的閾值。從道路管理者角度出發(fā)，Ti,L是一個(gè)固定值；從道路使用者角度出發(fā)，時(shí)間閾值Ti,L是一個(gè)隨機(jī)變量。

從上述定義可知，求解路段行程時(shí)間可靠性的問(wèn)題，實(shí)際上就是求解路段行程時(shí)間的累計(jì)分布函數(shù)。

2　模型參數(shù)估計(jì)方法比較

2.1數(shù)據(jù)預(yù)處理

考慮高速公路客車(chē)與貨車(chē)限速值的差異，分為客車(chē)和貨車(chē)兩類(lèi)，選取路網(wǎng)中樣本數(shù)據(jù)量較多的區(qū)間作為樣本數(shù)據(jù)集合。樣本區(qū)間及其分布特征分析如表1所示。

表1　選取的樣本數(shù)據(jù)Tab.1　Selected sample data

2.2擬合評(píng)價(jià)指標(biāo)

采用誤差平方和(SSE)、累積分布函數(shù)的誤差平方和(SSEofCDF)、確定系數(shù)(R2)、偏度系數(shù)的相對(duì)誤差(RES)和峰度系數(shù)的相對(duì)誤差(REK)5個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量。SSE與SSEofCDF用于反映擬合估計(jì)值與樣本的接近程度；R2，RES，REK用于說(shuō)明曲線(xiàn)擬合在解釋數(shù)據(jù)的變異性方面是否成功，樣本的分布特征是否得到保留。

SSE為擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)誤差的平方和。SSEofCDF為擬合數(shù)據(jù)的累積分布函數(shù)和原始數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的誤差平方和。SSE和SSEofCDF越接近0，則曲線(xiàn)的擬合效果越好。

確定系數(shù)R2取值范圍為[0,1]，值越接近1，曲線(xiàn)擬合的效果越好。計(jì)算如下：

(3)

偏度系數(shù)的相對(duì)誤差(RES)和峰度系數(shù)的相對(duì)誤差(REK)計(jì)算公式為：

(4)

(5)

對(duì)于容量為n的樣本，偏度系數(shù)和峰度系數(shù)計(jì)算公式為：

(6)

(7)

2.3參數(shù)估計(jì)方法擬合結(jié)果

本文采用正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，比較不同分布以及參數(shù)估計(jì)方法與實(shí)際樣本數(shù)據(jù)的近似程度。其中，正態(tài)分布的參數(shù)采用最大似然估計(jì)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)分別采用最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)。由于篇幅所限，僅給出樣本T1和T5行程時(shí)間概率分布及其累積分布曲線(xiàn)的實(shí)際值和擬合值比較圖，如圖1～圖4所示。樣本T1～T8的行程時(shí)間分布擬合評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果如表2所示。

圖1　T1的行程時(shí)間概率分布擬合結(jié)果Fig.1　Fitting result of travel time probability distribution of T1　　注：Empirical為樣本經(jīng)驗(yàn)值；LogNormal-MLE為最大似然估計(jì)對(duì)數(shù)正態(tài)分布；LogNormal-LSE為最小二乘估計(jì)對(duì)數(shù)正態(tài)分布；Normal-MLE為最大似然估計(jì)正態(tài)分布，下同。

圖2　T1的行程時(shí)間累積分布擬合結(jié)果Fig.2　Fitting result of travel time cumulative distribution of T1

圖3　T5的行程時(shí)間概率分布擬合結(jié)果Fig.3　Fitting result of travel time probability distribution of T5

由表2中I和III擬合結(jié)果可得，I的SSE和SSE of CDF較III小，且R2更接近于1。即對(duì)數(shù)正態(tài)分布相比于正態(tài)分布具有更好的擬合效果，與文獻(xiàn)[11]結(jié)論一致。比較I和II的SSE可知，II的SSE小于I，說(shuō)明采用最小二乘參數(shù)估計(jì)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布與經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分布誤差最小。I的SSE of CDF小于或接近II，說(shuō)明采用最大似然估計(jì)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布能較好地?cái)M合行程時(shí)間概率的累積分布。比較I和II的R2可知，II的R2最接近于1，且RES 和REK指標(biāo)最小，說(shuō)明采用最小二乘估計(jì)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布能更好地?cái)M合分布的偏態(tài)性和峰值。

表2　高速公路網(wǎng)行程時(shí)間分布擬合評(píng)價(jià)指標(biāo)Tab.2　Evaluation indexes of travel time distribution fitting for expressway network

注：I為最大似然估計(jì)對(duì)數(shù)正態(tài)分布；II為最小二乘估計(jì)對(duì)數(shù)正態(tài)分布；III為最大似然估計(jì)正態(tài)分布。

圖4　T5的行程時(shí)間累積分布擬合結(jié)果Fig.4　Fitting result of travel time cumulative distribution of T5

綜上所述，采用相同的參數(shù)估計(jì)方法時(shí)，相比于正態(tài)分布，對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合高速公路行程時(shí)間效果更優(yōu)。同時(shí)，最小二乘參數(shù)估計(jì)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布能更好地?cái)M合行程時(shí)間分布的偏態(tài)性和峰值；采用最大似然估計(jì)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布在擬合行程時(shí)間累積概率分布時(shí)效果較優(yōu)。因此，根據(jù)行程時(shí)間可靠性的定義，為盡量減小參數(shù)估計(jì)方法引起的誤差，在計(jì)算可靠度時(shí)應(yīng)使用最大似然參數(shù)估計(jì)；在進(jìn)行基于最大可能準(zhǔn)則行程時(shí)間預(yù)測(cè)時(shí)應(yīng)使用最小二乘參數(shù)估計(jì)。

3　高速公路時(shí)間可靠性模型建立

采用陜西省2015年1月～6月高速公路收費(fèi)數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，分析路網(wǎng)中不同出行距離和不同出發(fā)時(shí)段的行程時(shí)間可靠性。參考文獻(xiàn)[3]，選取變異系數(shù)(CoefficientofVariable，CV)、緩沖指數(shù)(BufferIndex, BI)、行程時(shí)間可靠度(TravelTimeReliability，TTR)、遭遇指數(shù)(MiseryIndex，MI)和不可靠性指數(shù)(UnreliabilityIndex，UI)作為不同角度評(píng)價(jià)高速公路行程時(shí)間可靠性的指標(biāo)。

指標(biāo)計(jì)算方法如下：

(8)

(9)

式中，t95%為某時(shí)段內(nèi)路段上所有行程時(shí)間的95%分位數(shù)。

根據(jù)式(2)，采用基于風(fēng)險(xiǎn)型問(wèn)題決策中的最大可能準(zhǔn)則，定義行程時(shí)間閾值Ti,L為期望行程時(shí)間與可接受的延誤時(shí)間之和。其中，期望行程時(shí)間為統(tǒng)計(jì)擬合分布的最大概率行程時(shí)間，則行程時(shí)間可靠度計(jì)算公式為：

(10)

式中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)；tpmax為某時(shí)段內(nèi)統(tǒng)計(jì)擬合分布的最大概率行程時(shí)間；Δt為可接受的延誤時(shí)間，即緩沖時(shí)間?？山邮艿难诱`時(shí)間為tpmax的 5%，10%，15%或 20%。由2.3節(jié)可知，采用最小二乘估計(jì)對(duì)閾值tpmax進(jìn)行標(biāo)定。

(11)

(12)

式中，λvar為行程時(shí)間分布的寬度；λskew為行程時(shí)間分布的斜度；Lr為路段長(zhǎng)度。

(13)

(14)

式中，t10%，t50%，t90%分別為行程時(shí)間的10%，50%，90%分位數(shù)，t10%

TTR屬于正指標(biāo)，值越大，可靠性水平越高；CV，BI，MI和UI屬于負(fù)指標(biāo)，值越小，可靠性水平越高。CV反映行程時(shí)間的離散程度；BI反映出行者為了以 95%的概率準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的地需要比平均行程時(shí)間多花費(fèi)的時(shí)間；TTR為在可接受的時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率；MI為不期望延誤的嚴(yán)重程度；UI為遇到較差的可靠性狀態(tài)的概率。這些指標(biāo)接近出行者的實(shí)際感受，有助于在不確定性條件下做出合理的出行決策。

以10km為間隔將樣本數(shù)據(jù)分為15組，對(duì)樣本進(jìn)行隨機(jī)抽樣，每組樣本容量為100 000個(gè)，分析0～150km范圍內(nèi)客車(chē)和貨車(chē)不同出行距離的可靠性，評(píng)價(jià)指標(biāo)分析結(jié)果如表3所示。

表3　不同出行距離的單位距離行程時(shí)間可靠性分析Tab.3　Analysis of travel time reliability in unit distance of different travel distances

由表3可知，客車(chē)和貨車(chē)的CV，BI，MI和UI隨出行距離的增加逐漸變小，TTR隨出行距離的增加呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，當(dāng)出行距離大于60km時(shí)，趨近于一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)?？梢?jiàn)，客車(chē)和貨車(chē)的行程延誤受出行距離的影響顯著。與長(zhǎng)距離出行相比，客車(chē)和貨車(chē)在短距離出行時(shí)TTR較低，而CV，BI，MI和UI較高。這說(shuō)明路網(wǎng)在短距離出行時(shí)易遭遇不確定因素，行程時(shí)間波動(dòng)性大，即可靠性水平較低。

以1h為間隔，將樣本數(shù)據(jù)分為24組，每組樣本容量為100 000個(gè)，分析客車(chē)和貨車(chē)不同出發(fā)時(shí)段的可靠性，評(píng)價(jià)指標(biāo)分析結(jié)果如表 4所示。

由表4可知，路網(wǎng)中客車(chē)在時(shí)段08:00—11:00 和16:00—18:00內(nèi)TTR較其他時(shí)段低，且MI和UI較高，說(shuō)明客車(chē)在高峰時(shí)段遭遇不可靠出行的機(jī)率較大，可靠性較非高峰時(shí)段低。對(duì)于貨車(chē)而言，每天不同時(shí)段單位距離的CV，BI，TTR，MI和UI變化較客車(chē)小，說(shuō)明貨車(chē)的行程延誤受出發(fā)時(shí)段的影響不顯著。

4　結(jié)論

為消除不同車(chē)型速度差對(duì)可靠性計(jì)算結(jié)果的影響，將貨車(chē)和客車(chē)分別進(jìn)行分布擬合，驗(yàn)證了高速公路網(wǎng)中單位距離的行程時(shí)間服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。選取誤差平方和(SSE)、累積分布函數(shù)的誤差平方和(SSE of CDF)、確定系數(shù)(R2)、偏度系數(shù)的相對(duì)誤差(RES)和峰度系數(shù)的相對(duì)誤差(REK)5個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量，比較了不同參數(shù)估計(jì)的擬合效果，給出了不同參數(shù)估計(jì)方法的適用情況。結(jié)果表明，基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布的路徑行程時(shí)間可靠性模型能夠準(zhǔn)確估算路徑的行程時(shí)間可靠度；最大似然估計(jì)在擬合單位距離行程時(shí)間累積概率分布時(shí)誤差較?。蛔钚《斯烙?jì)在擬合單位距離行程時(shí)間的偏態(tài)性和峰值時(shí)誤差更小。

表4　不同出發(fā)時(shí)段的單位距離行程時(shí)間可靠性分析Tab.4　Analysis of travel time reliability in unit distance of different departure time

可接受行程時(shí)間閾值會(huì)影響可靠性評(píng)價(jià)結(jié)果。本研究提出了面向出行者的行程時(shí)間閾值選取方法，將模型應(yīng)用于陜西省高速公路網(wǎng)，對(duì)行程時(shí)間可靠性進(jìn)行了評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)結(jié)果表明，出行距離對(duì)貨車(chē)和客車(chē)的行程時(shí)間可靠度均有影響，出發(fā)時(shí)段對(duì)客車(chē)的出行延誤影響比貨車(chē)大。如何運(yùn)用CV，BI，TTR，MI和UI指標(biāo)來(lái)綜合評(píng)價(jià)該路段或該時(shí)段的服務(wù)水平和運(yùn)行質(zhì)量是需要進(jìn)一步解決的問(wèn)題。

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Comparative Analysis of Parameter Evaluation Methods for Expressway Travel Time Reliability Model

CHEN Jiao-na1, ZHANG Sheng-rui1, JIN Yin-li2

(1.School of Highway, Chang’an University, Xi’an Shaanxi 710064, China;2. School of Electrical and Control Engineering, Chang’an University, Xi’an Shaanxi 710064, China)

Different parameter estimation results will be produced with different estimation methods to the same sample which obeys the lognormal distribution. In view of this, massive historical data of expressway toll is used for fitting the lognormal distribution of travel time of both cars and trucks. The fitting result of maximum likelihood estimation (MLE) is compared with that of the least square estimation (LSE) by 5 indexes, including the sum of squared error (SSE), the sum of squared error of cumulative distribution function (SSEofCDF), the determination coefficient (R2), the relative error of skewness (RES) coefficient and the relative error of kurtosis (REK) coefficient. The experimental result shows that the MLE produces more efficient than the LSE for fitting the cumulative probability distribution. The unit-distance travel time reliability model of the section is established, and the estimation methods of parameter and appropriate threshold calibration are given. Finally, the case analysis of the Shaanxi expressway network is conducted. The result shows that the travel time reliability of both cars and trucks are affected by both travel distance, departure time period has more significant impact on cars’ travel delay than trucks’ travel delay.

traffic engineering; travel time reliability; maximum likelihood estimation; least square estimation; lognormal distribution

2015-11-26

陜西省科技攻關(guān)項(xiàng)目(2012k06137)；陜西省交通運(yùn)輸廳科研項(xiàng)目(14-40X)

陳嬌娜(1989-)，女，云南大理人，博士研究生.(chenjn@chd.edu.cn)

10.3969/j.issn.1002-0268.2016.10.018

U491

A

1002-0268(2016)10-0118-07