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非線性試驗數(shù)據(jù)的擬合方法

針對目前數(shù)據(jù)擬合在試驗記錄與分析中的應(yīng)用較為廣泛，以最小二乘法為基礎(chǔ)，以MATLAB軟件為輔助工具，研究分段線性函數(shù)的方法在非線性分布數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的應(yīng)用。經(jīng)過擬合得到的分段線性函數(shù)物理意義明確，而且利用分段線性函數(shù)可以簡化計算，使試驗數(shù)據(jù)分析更為簡便、快捷。該數(shù)據(jù)擬合方法與解決問題的思路可為非線性試驗數(shù)據(jù)的擬合提供參考。

非線性數(shù)據(jù)點(diǎn)；分段線性函數(shù)；擬合；MATLAB

許多科學(xué)與工程結(jié)果的產(chǎn)生都來自于對試驗的記錄與分析[1]。試驗記錄的數(shù)據(jù)，通常是指試驗中所得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)，例如在速度與位移的試驗中，所測得的速度與位移的關(guān)系將被表示為一個個的數(shù)據(jù)點(diǎn)。目前，在大多數(shù)情況下，數(shù)據(jù)的測試與儲存都是通過計算機(jī)進(jìn)行的，一旦數(shù)據(jù)已知，科學(xué)、工程從業(yè)者會將其以不同的方式運(yùn)用。通常，數(shù)據(jù)點(diǎn)將會被通過數(shù)學(xué)運(yùn)算變?yōu)橛衅毡樾缘姆匠?，從而得到?shù)據(jù)之間的相互關(guān)系。

在科學(xué)和工程試驗中，所得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)如果大致呈直線分布，這種情況較好處理；但在大多數(shù)情況下，其是非線性分布的，如文獻(xiàn)[2]中懸置的靜剛度隨著載荷的變化而變化，測試到的力—位移數(shù)據(jù)點(diǎn)為非線性分布，則數(shù)據(jù)的處理量較大，計算較為復(fù)雜，且非線性曲線中各個點(diǎn)的物理意義不是很明確。

本文針對將非線性數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分段線性處理的問題，研究采用分段線性函數(shù)，利用最小二乘法[3]，擬合非線性函數(shù)的基本思路。利用MATLAB軟件，研究用分段線性函數(shù)擬合非線性函數(shù)的方法。

1 線性數(shù)據(jù)擬合的2種方法

假設(shè)由試驗得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)為(xi,yi)，i=1,2,…,n，其大致呈線性分布，但不全處于同一條直線上。設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)大致滿足的線性方程(擬合模型)為y=kx+b。由于數(shù)據(jù)點(diǎn)不全處于同一條直線上，在x相同時，y所對應(yīng)值與通過線性方程計算得到的值之間存在一定的殘差，該殘差可用下式表示：

(1)

為后續(xù)求導(dǎo)計算方便，筆者使用殘差的平方和來衡量該殘差，殘差的平方和定義為：

(2)

由極值關(guān)系[4]可知，當(dāng)E取最小值時，E對k和b的導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于0?，F(xiàn)分別對k與b進(jìn)行求導(dǎo)，并令其值等于0。

(3)

(4)

由式3和式4得：

(5)

(6)

求解式5和式6，得到：

(7)

(8)

同樣，可通過矩陣形式來解決該問題。假設(shè)擬合模型經(jīng)過每個數(shù)據(jù)點(diǎn)，則有：

(9)

將上式寫成矩陣形式為：

(10)

式10中，

由式10可知，只有k與b這2個未知數(shù)，卻有n個方程。根據(jù)矩陣與其轉(zhuǎn)置相乘的特點(diǎn)，筆者產(chǎn)生了減少方程數(shù)量的想法。由式10兩邊同乘X的轉(zhuǎn)置矩陣，得：

(11)

則：

(12)

假設(shè)有8個數(shù)據(jù)點(diǎn)(見表1)，應(yīng)用MATLAB軟件求解式12，得到k=2.96，b=1.12；求解式7和式8，同樣得到k=2.96，b=1.12。線性擬合線段和數(shù)據(jù)點(diǎn)的關(guān)系如圖1所示。

表1 數(shù)據(jù)點(diǎn)

圖1 擬合方程與數(shù)據(jù)點(diǎn)(殘差平方和為6.811 2)

2 利用分段線性函數(shù)擬合非線性數(shù)據(jù)的方法

對于呈非線性分布的數(shù)據(jù)來說，用線性方程來

擬合非線性數(shù)據(jù)，得出的結(jié)果，其偏差大。對于非線性數(shù)據(jù)，可視為一段段的線性函數(shù)組合而成，因此，筆者在此研究了利用分段函數(shù)來擬合非線性數(shù)據(jù)。

設(shè)試驗得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)如圖2所示，圖中的x與y表示為(xi,yi)，i=1,2,…，n。

圖2 非線性數(shù)據(jù)點(diǎn)

已知數(shù)據(jù)點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)，現(xiàn)用5段分段線性函數(shù)(見圖3)來擬合圖2中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，圖3中的分段函數(shù)為：

(13)

利用求極值的方法來解決該問題為常規(guī)思路，但計算過程復(fù)雜。筆者在此應(yīng)用MATLAB軟件中的fmincon函數(shù)，來求解式13中的變量ki(i=1,2,3,4,5)與a、b、c、d的值。

圖3 5段分段線性函數(shù)

MATLAB工具箱中的fmincon函數(shù)[5]，是一種求解有約束的優(yōu)化問題函數(shù)?，F(xiàn)設(shè)目標(biāo)函數(shù)為各個數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差平方和，由式2和式14，可得到：

(14)

將式14變成MATLAB軟件中的目標(biāo)函數(shù)，該函數(shù)具有ki(i=1,2,3,4,5)與a、b、c、d等9個變量，根據(jù)fmincon函數(shù)的使用要求，還需獲得函數(shù)約束條件，由式14與圖2、圖3，可得到其約束條件為：

(15)

式中，xmax為數(shù)據(jù)點(diǎn)中x的最大值；xmin為數(shù)據(jù)點(diǎn)中x的最小值。

對圖2中的數(shù)據(jù)，根據(jù)MATLAB軟件中的fmincon函數(shù)的語法編寫程序，計算得到的參數(shù)為：k1=2 937,k2=474,k3=54,k4=59,k5=2 213,a=-10.9,b=-9.6,c=8.3,d=9.6。

5段分段線性函數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)的關(guān)系如圖4所示。通過同樣方法，可用3段分段線性函數(shù)對曲線進(jìn)行擬合，也可以用7段乃至更多段進(jìn)行曲線擬合，若用3段分段線性函數(shù)來擬合圖2中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，可得到k1=2 746,k2=76.8,k3=1 861,a=-10.7,b=9.2。3段分段線性函數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)的關(guān)系如圖5所示。

圖4 5段分段線性函數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)的關(guān)系 (殘差平方和為229 330)

圖5 3段分段線性函數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)的關(guān)系 (殘差平方和為697 788)

對比圖4和圖5可知，5段分段線性函數(shù)所得的殘差平方和遠(yuǎn)小于3段分段線性函數(shù)所得的殘差平方和，故運(yùn)用5段分段線性函數(shù)的擬合效果較好。一般來說，在工程應(yīng)用上，5段擬合足夠滿足基本需求。

3 結(jié)語

本文研究了通過線性函數(shù)或分段線性函數(shù)擬合數(shù)據(jù)的方法，推導(dǎo)了用線性函數(shù)擬合線性數(shù)據(jù)點(diǎn)、用分段函數(shù)擬合非線性數(shù)據(jù)點(diǎn)的計算方法。本文的數(shù)據(jù)擬合方法與解決問題的思路，為非線性試驗數(shù)據(jù)的擬合提供了參考。

[1] Amos G, Vish S. Numerical methods for engineers and scientists[M]. America: Wiley, 2011.

[2] 劉祖斌，劉英杰. 發(fā)動機(jī)懸置設(shè)計中的動、靜剛度參數(shù)研究[J].汽車技術(shù)，2008(6)：21-23.

[3] 田垅，劉宗田. 最小二乘法分段直線擬合[J].計算機(jī)科學(xué)，2012(S1)：482-484.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M].6版. 北京：高等教育出版社，2010.

[5] 周智峰，張明. 基于MATLAB的最優(yōu)化問題求解通用程序的實現(xiàn)[J].計算機(jī)科學(xué)，2004(6)：29-32.

責(zé)任編輯 鄭練

李廣龍，魏政君，上官文斌

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510641)

A Method for Fitting Nonlinear Experimental Data

LI Guanglong, WEI Zhengjun, SHANGGUAN Wenbin

(School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)

In the analysis of experiment data, the data fitting is widely applied, but sometimes the fitting process is very complicated. In order to simplify the analysis process, introduce a fitting method for nonlinear data. The method is based on the least squares method to fit the nonlinear dada with piecewise linear functions, and using the MATLAB software as toolbox. The constant in the piecewise linear functions has clear meanings. Use the fitted piecewise linear functions as substitute for nonlinear data, the analysis for the experiment data is more simple and efficient. The data fitting method and the idea of solving the problem are provided， and the results provide a reference for the fitting of nonlinear experimental data.

nonlinear data, piecewise linear functions, fitting, MATLAB

yi=kxi+b i=1,2,…,n

Ei=

李廣龍(1982-)，男，實驗師，主要從事汽車性能測試、汽車實驗臺架設(shè)計等方面的研究。

2016-03-29

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