王　有，羅　忠，曲　濤，王德友，劉永泉

（1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng)110819；2.空軍駐沈陽(yáng)地區(qū)代表室，沈陽(yáng)110031；3.中航工業(yè)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽(yáng)110042）

薄壁構(gòu)件試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膭?dòng)力學(xué)相似設(shè)計(jì)方法

王有1，羅忠1，曲濤2，王德友3，劉永泉3

（1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng)110819；2.空軍駐沈陽(yáng)地區(qū)代表室，沈陽(yáng)110031；3.中航工業(yè)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽(yáng)110042）

針對(duì)由薄壁構(gòu)件相似模型試驗(yàn)結(jié)果預(yù)測(cè)原型動(dòng)力學(xué)特性的問(wèn)題，建立了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型，并基于方程分析法推導(dǎo)了動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系。通過(guò)對(duì)薄殼單元進(jìn)行受力分析，推導(dǎo)得到薄壁構(gòu)件的微分方程，并通過(guò)微分方程得到完全幾何相似模型可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)原型動(dòng)力學(xué)特性的相似關(guān)系。在建立薄壁構(gòu)件結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率的敏感性與相似因子指數(shù)的比值關(guān)系基礎(chǔ)上，提出薄壁構(gòu)件不完全幾何相似模型與原型的動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系（即畸變相似關(guān)系）的確定方法。最后給出基于敏感性分析的薄壁構(gòu)件精確畸變相似關(guān)系設(shè)計(jì)流程，為薄壁構(gòu)件相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計(jì)及動(dòng)力學(xué)特性的預(yù)測(cè)提供參考。

薄壁構(gòu)件；相似設(shè)計(jì)；畸變相似關(guān)系；敏感性；試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

0　引言

薄壁構(gòu)件通常是指厚度與結(jié)構(gòu)件最小平面跨度之比在1/80和1/5之間的彈性結(jié)構(gòu)件［1］。在工程應(yīng)用中，由于薄壁結(jié)構(gòu)件具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、抗彎剛度大等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、海洋機(jī)械、化工機(jī)械等工程領(lǐng)域［2］。在工作過(guò)程中，薄壁構(gòu)件受力情況復(fù)雜且經(jīng)常處于振動(dòng)狀態(tài)，其劇烈振動(dòng)可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)損壞，甚至引起無(wú)法預(yù)料的破壞，因此，對(duì)其進(jìn)行振動(dòng)特性分析具有重要意義［3］。然而在實(shí)際研究中，若直接采用原型進(jìn)行試驗(yàn)就會(huì)受到體積大、試驗(yàn)難度大、成本高等多方面因素的限制。因此，設(shè)計(jì)相似模型預(yù)測(cè)原型的動(dòng)力學(xué)特性具有重要價(jià)值。有很多學(xué)者對(duì)薄壁構(gòu)件的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究：Leissa［4］對(duì)薄殼的振動(dòng)特性進(jìn)行了理論分析，并給出了薄壁殼的振動(dòng)微分方程；Narita［5］通過(guò)采用改進(jìn)的Ritz法研究了簡(jiǎn)支板的固有特性；Irie等［6］分析各類層合殼的動(dòng)力學(xué)特性，并提出了用傳遞矩陣法分析薄殼在任意邊界下的振動(dòng)特性；Zhou等［7］根據(jù)混合能量守恒原理，采用Hamiltonian方法分析了薄圓板和圓環(huán)薄板的固有特性，得到了不同邊界下的頻率方程；對(duì)于薄壁構(gòu)件的相似設(shè)計(jì)方面的研究，Krayterman等［8］采用量綱分析法推導(dǎo)了薄板的相似關(guān)系，考慮了邊界條件對(duì)相似關(guān)系的影響，并對(duì)相似模型設(shè)計(jì)方法的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了討論；Qian等［9］得到了響應(yīng)下層合板的相似關(guān)系，并且相似準(zhǔn)則能準(zhǔn)確描述原型的響應(yīng)；Rezaeepazhand和Simitses［10］通過(guò)相似模型預(yù)測(cè)了層合殼的屈曲和自由振動(dòng)特性；Ungbhakorn和Singhatanadgid［11-12］提出了1種推導(dǎo)相似關(guān)系的新方法，并且呈現(xiàn)了對(duì)稱層合板和層合圓柱殼在考慮載荷影響下的相似關(guān)系；Oshiro和Alves［13］研究了預(yù)測(cè)原型動(dòng)力學(xué)特性的畸變相似關(guān)系，并且分析了受動(dòng)載荷原型的3個(gè)問(wèn)題。

綜上所述，對(duì)于典型薄壁構(gòu)件，如彈性薄板、薄壁圓柱殼的相似性研究也有很多，然而確定薄壁構(gòu)件精確的畸變相似關(guān)系研究尚不多見(jiàn)。

本文通過(guò)微元法給出了薄壁構(gòu)件統(tǒng)一形式的本構(gòu)方程，并提出了確定薄壁構(gòu)件精確畸變相似關(guān)系的方法，為航空發(fā)動(dòng)機(jī)等重大機(jī)械裝備薄壁構(gòu)件相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計(jì)提供了參考。

1　基本理論

在笛卡爾坐標(biāo)系Oxyz中，建立曲線坐標(biāo)系O'αβγ如圖1所示。α、β沿曲面的曲率線方向，γ與α、β垂直，位移u、v、w分別代表α、β、γ方向的切向位移。dr為曲面上的微段弧長(zhǎng)。E為材料的彈性模量，μ為泊松比，ρ為密度。

圖1　曲線坐標(biāo)系

曲面上的微段弧長(zhǎng)dr可表示為［14］

式中：A、B分別為曲面拉梅參數(shù)，

薄壁構(gòu)件的內(nèi)力與中面位移關(guān)系式為

式中：Rα和Rβ為主曲率分量。

將所有力矩向量分別在α、β、γ方向投影及所有力向量分別對(duì)α、β、γ軸取矩，可得

式中：Qα、Qβ為剪切力，有如下關(guān)系

聯(lián)立式（4）、（5），得到薄壁結(jié)構(gòu)件的本構(gòu)方程

對(duì)于典型薄壁構(gòu)件，如矩形薄板、圓環(huán)薄板、薄壁短圓柱殼等，拉梅參數(shù)為實(shí)常數(shù)。所以在式（6）中，與拉梅參數(shù)A，B對(duì)α，β的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)項(xiàng)可以忽略。

另外，將式（2）、（3）代入式（6），可得薄壁構(gòu)件的本構(gòu)方程

由上式可知，位移u、v、w對(duì)α、β的最高階導(dǎo)數(shù)為4。因此，適用于薄壁構(gòu)件統(tǒng)一的微分方程可歸納為

式中，j代表位移u、v、w；Lj-ki、Lj為相應(yīng)的系數(shù)；t為時(shí)間。

2　相似關(guān)系

2.1完全幾何相似關(guān)系

原型和模型的本構(gòu)方程為

式中：下標(biāo)p代表原型，m代表模型。

位移方程可表示為

式中：ω是固有頻率；J表示模態(tài)函數(shù)U、V、W。

根據(jù)相似理論，原型與模型的本構(gòu)方程中的系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例［15］，即

在完全幾何相似的條件下

因此，薄壁構(gòu)件的完全幾何相似關(guān)系為

2.2畸變相似關(guān)系

通常情況下，直接采用完全幾何相似模型進(jìn)行試驗(yàn)會(huì)受到很多因素限制，例如鼓筒的厚度較小，縮小的完全幾何相似模型可能無(wú)法加工。因此，設(shè)計(jì)薄壁結(jié)構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)畸變模型預(yù)測(cè)原型的固有特性具有重要意義。

在式（12）中，當(dāng)i=0，1，…，4時(shí)，有很多待選的畸變相似關(guān)系

通常在畸變相似關(guān)系中，相似因子λE和λρ的指數(shù)m和n可以通過(guò)本構(gòu)方程推導(dǎo)得到。然而，指數(shù)o、s和q通常是未知的。為了確定薄壁構(gòu)件精確的畸變相似關(guān)系，提出并在理論上證明了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率敏感性值與相似因子指數(shù)的比值關(guān)系。

2.3畸變?cè)O(shè)計(jì)準(zhǔn)則

采用敏感性分析法確定薄壁構(gòu)件精確的畸變相似關(guān)系，所謂敏感性是指對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)特征參數(shù)（特征值λ）對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)p（質(zhì)量、剛度、阻尼、結(jié)構(gòu)參數(shù)）的改變率［16-17］。

首先給出基于敏感性分析確定畸變相似關(guān)系的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：畸變相似關(guān)系中相似因子指數(shù)的比值k1：k2：…：kn可近似為結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率敏感性Φ1：Φ2：…：Φn的比值。即

式中：k1：k2：…：kn分別為相似因子λ1，λ2，…，λn的指數(shù)；Φ1：Φ2：…：Φn分別為各結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性值。

下面證明式（17）成立。

結(jié)構(gòu)參數(shù)α和β在極限范圍內(nèi)（λαt，λβt∈［1-ε，1+ε］，ε為無(wú)窮?。┳兓幕兡Ｐ拖嗨埔蜃臃謩e為

結(jié)構(gòu)參數(shù)α和β的敏感性分別為

因此，可得

將式（18）代入式（20）得到

當(dāng)相似因子在極限范圍內(nèi)變化時(shí)有：λαt→1，λβt→1。此時(shí)

式（22）可寫為

當(dāng)相似比在小范圍內(nèi)變化時(shí)，可得

當(dāng)薄壁結(jié)構(gòu)件的固有特性受多個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)影響時(shí)，與上述過(guò)程同理遞推即可得到式（17）的結(jié)果。因此，式（17）得證。

因此，基于上述設(shè)計(jì)準(zhǔn)則可知薄壁結(jié)構(gòu)件結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率的敏感性與相似因子指數(shù)比值關(guān)系，即：通過(guò)分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率的敏感性，即可確定畸變相似關(guān)系中相似因子未知的指數(shù)，從而得到薄壁構(gòu)件畸變相似模型的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

最后給出適用于薄壁構(gòu)件精確畸變相似關(guān)系的確定步驟：

（1）針對(duì)典型薄壁構(gòu)件，如矩形薄板等，基于本構(gòu)方程推導(dǎo)完全幾何相似關(guān)系。

（2）假設(shè)薄壁構(gòu)件的畸變相似關(guān)系。

（3）通過(guò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率的敏感性分析，根據(jù)薄壁結(jié)構(gòu)件畸變相似關(guān)系的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，最終確定薄壁構(gòu)件畸變相似關(guān)系。

3　結(jié)論

（1）通過(guò)對(duì)薄殼微元的受力分析，推導(dǎo)得到適用于薄壁構(gòu)件統(tǒng)一形式的微分方程式（8）。

（2）根據(jù)薄壁構(gòu)件統(tǒng)一的微分方程，建立了完全幾何相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜏?zhǔn)確預(yù)測(cè)原型動(dòng)力學(xué)特性的動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系式（14）。

（3）提出并在理論上證明了基于薄壁類構(gòu)件結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率的敏感性與相似因子指數(shù)比值關(guān)系式（17），從而得到薄壁構(gòu)件畸變相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

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（編輯：張寶玲）

Dynamic Similitude Design Method of Experimental Models for Thin Walled Structures

WANG You1，LUO Zhong1，QU Tao2，WANG De-you3，LIU Yong-quan3
（1.School of Mechanical Engineering and Automation，Northeastern University，Shenyang 110819；2.Military Representative Office of Air Force in Shenyang，Shenyang 110031；3.AVIC Shenyang Engine Design and Research Institute，Shenyang 110042）

Aiming at the problem that experimental results of elastic thin walled structures similitude models predict dynamic characteristics of the prototype，the unified mathematical model was established and dynamic scaling laws was proposed based on the equation analysis method.The unified governing equation of elastic thin walled structures was firstly obtained by the stress analysis of a shell element，and the scaling law was deduced between the geometrically complete model and the prototype based on the unified governing equation.On the basis of establishing the ratio relationship between indexes of scaling factors and sensitivity results of structural parameters for the natural frequency，and the method of determining the dynamic scaling law（distorted scaling law）was proposed between the geometrically partial similitude models and the prototype.Finally，the design procedure of determining accurate distorted scaling laws was given out based on the sensitivity analysis，which provided the design method of similitude models and the prediction of dynamic characteristics for elastic thin walled structures.

thin walled structures；similitude design；distorted scaling law；sensitivity；test model

V 214

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2016.01.007

2015-06-17基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）（2012CB026005）、教育部基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（N130503001，N140301001）資助

王有（1990），男，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)楸”跇?gòu)件模型試驗(yàn)理論與方法；E-mail：wy515077587@163.com。

引用格式：王有，羅忠，曲濤，等.薄壁構(gòu)件試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膭?dòng)力學(xué)相似設(shè)計(jì)方法［J］.航空發(fā)動(dòng)機(jī)，2016，42（1）：32-36.WANG You，LUO Zhong，QU Tao.Dynamic similitu dedesign method of experimental models for thin walled structures［J］.Aeroengine，2016，42（1）：32-36.