張再華，任斌

（蘇州科技學院數(shù)理學院，江蘇蘇州215009）

（2，p）型二步冪零李代數(shù)自同構(gòu)的一個充要條件

張再華，任斌*

（蘇州科技學院數(shù)理學院，江蘇蘇州215009）

刻畫出李代數(shù)的自同構(gòu)是李代數(shù)結(jié)構(gòu)研究的一個重要方面。這一問題在冪零李代數(shù)情形下很難解決，找出自同構(gòu)的各種等價條件是解決這一問題的有效途徑。通過矩陣的巧妙計算，得到了二維中心的二步冪零李代數(shù)自同構(gòu)的一個充要條件。

冪零李代數(shù)；基；自同構(gòu)

自同構(gòu)是李代數(shù)結(jié)構(gòu)理論研究的重要方面。研究者對李代數(shù)的自同構(gòu)做了大量的研究工作[1-5]，復數(shù)域上半單李代數(shù)的自同構(gòu)已經(jīng)很清楚，相比之下，冪零李代數(shù)的自同構(gòu)還遠未搞清。究其原因，主要在于冪零李代數(shù)隨著維數(shù)的升高其結(jié)構(gòu)極端復雜。這也是冪零李代數(shù)自同構(gòu)問題進展極其緩慢的原因。文獻[6]對維數(shù)小于等于4的各種不同構(gòu)類冪零李代數(shù)的自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)進行了研究。二步冪零李代數(shù)是一類重要的冪零李代數(shù)，其結(jié)構(gòu)相對簡單。文中得到了二維中心的二步冪零李代數(shù)自同構(gòu)的一個充要條件。

文中所討論的李代數(shù)N都是復數(shù)域C上有限維冪零李代數(shù)。

1　基本概念和基本結(jié)論

定義1[7]設N是域F上的李代數(shù)。若φ為李代數(shù)N到自身的可逆線性變換，又滿足

則稱φ為N的自同構(gòu)。N的所有自同構(gòu)構(gòu)成一個群，稱為N的自同構(gòu)群，記作Aut（N）。

引理1[8]若N是一個冪零李代數(shù)，則下面兩個命題等價：

（1）{x1，x2，…，xn}是N的一個極小生成元系；

（2）{x1+N2，x2+N2，…，xn+N2}是向量空間N/N2的一個基，這里N2=[N，N]。

引理2設{x1，x2，…，xn}為二步冪零李代數(shù)N的一組基，φ是N上的一個可逆線性變換，則φ是自同構(gòu)當且僅當φ[xj，xk]=[φ（xj），φ（xk）]，1≤j，k≤n。

定義2一個二步冪零李代數(shù)N稱為（2，p）型，如果dim N=p+2，dim N2=2。

設N是一個（2，p）型的二步冪零李代數(shù)，則N有一個極小生成元系{x1，x2，…，xp}。

設{xp+1，xp+2}是N2的基，則有p×p階斜對稱矩陣E，F(xiàn)，使得

即

這里Ip表示p級單位矩陣。

2　主要結(jié)果

[1]BARKER G P.Automorphisms groups of algebras of triangular matrices[J]．Linear Algebra and its Applications，1989，121：207-215．

[2]J?NDRUP S．The group of automorphisms of certain subalgebras of matrix algebras[J]．Journal of Algebra，1991，141：106-114．

[3]COELHO S P．The automorphism group of a structural matrix algebra[J]．Linear Algebra and its Applications，1993，195：35－58．

[4]WANG Dengyin，YU Qiu，ZHAO Yanxia.Automorphisms of the standard borel subgroup of orthogonal group O（2m，R）over commutative rings[J]. Journal of Algebra，2007，317（2）：534－543．

[5]YU Qiu，WANG Dengyin，OU Shikun．Automorphisms of the standard Borel subalgebra of Lie algebras of Cm type over a commutative ring[J]．Linear and Multilinear Algebra，2007，55（6）：545-550．

[6]賴新興，偶世坤，羅淑珍．冪零李代數(shù)的自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)[J].江西理工大學學報，2012，33（1）：83-85.

[7]孟道驥．復半單李代數(shù)引論[M]．北京：北京大學出版社，1998．

[8]SANTHAROUBANE L J.Kac-Moody Lie algebra and the classification of nilpotent Lie algebra of maximal rank[J].Canad J Math，1982，34：1215-1239.

A sufficient and necessary condition for automorphism of two step nilpotent Lie algebras of type（2，p）

ZHANG Zaihua，REN Bin
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

Characterization of automorphism of a Lie algebra is an important aspect in the study of Lie algebraic structure.The problem is very difficult when Lie algebra is nilpotent.The effective way to solve the problem is to find out the equivalent conditions for automorphism.In this paper,by ingenious calculation of matrix,a sufficient and necessary condition for automorphism of two step nilpotent Lie algebras of type（2，p）is obtained.

nilpotent Lie algebra；base；automorphism

O152MR（2000）Subject Classification：17B05；17B30；17B40

A

1672－0687（2016）01－0027－04

責任編輯：謝金春

2013－10－16

國家自然科學基金資助項目（11271056）

張再華（1979-），男，江蘇宿遷人，碩士研究生，研究方向：李代數(shù)。*

任斌（1964－），男，教授，博士，碩士生導師，E－mail：renbin1964@163.com。