嚴(yán)斌，張毅

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

弱非完整系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性與守恒量

嚴(yán)斌1，張毅2*

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

研究弱非完整系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性與守恒量。首先，建立弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)和一次近似系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。其次，給出弱非完整系統(tǒng)的零次近似系統(tǒng)和一次近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性的定義與判據(jù)，并得到零次近似系統(tǒng)和一次近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量的條件及其形式。最后，舉例說(shuō)明其結(jié)果的應(yīng)用。

弱非完整系統(tǒng)；近似系統(tǒng)；Lagrange對(duì)稱性；守恒量

自1918年，Noether[1]揭示了對(duì)稱性與守恒量（第一積分）之間的內(nèi)在關(guān)系后，利用對(duì)稱性方法尋求動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的守恒量，一直是諸多學(xué)者研究的課題?，F(xiàn)今，對(duì)稱性方法主要有：Noether對(duì)稱性[1-3]，Lie對(duì)稱性[4-9]，Mei對(duì)稱性[10-14]等。通過(guò)對(duì)稱性方法不但可以找到更多的守恒量，而且有助于更深入地了解力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。

1966年，Currie和Saletan[15]探討了單自由度力學(xué)系統(tǒng)的等效Lagrange函數(shù)問(wèn)題，并證明其存在守恒量。1981年，Hojman和Harleston[16]將結(jié)果拓展到一般多自由度系統(tǒng)。趙躍宇等[2]將等效Lagrange問(wèn)題，即對(duì)應(yīng)于某一個(gè)Lagrange函數(shù)的運(yùn)動(dòng)微分方程的每一個(gè)解都滿足從另一個(gè)Lagrange函數(shù)得到的運(yùn)動(dòng)微分方程，稱為L(zhǎng)agrange對(duì)稱性。近年來(lái)，對(duì)于完整和非完整力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性與守恒量的研究已取得了一系列重要成果[17-25]。然而，研究還未涉及到弱非完整系統(tǒng)。

弱非完整系統(tǒng)是一類具有一些重要性質(zhì)的特殊動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[26-28]，有別于完整和非完整力學(xué)系統(tǒng)，主要在于其約束方程中含有小參數(shù)μ。文中通過(guò)對(duì)含小參數(shù)μ的項(xiàng)進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的近似系統(tǒng)。不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算，還便于從側(cè)面了解弱非完整系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。研究了弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性及其守恒量，進(jìn)一步完善動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性理論。

1　弱非完整系統(tǒng)的近似系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs（s=1，2，…，n）來(lái)確定，其運(yùn)動(dòng)受有g(shù)個(gè)雙面理想線性弱非完整約束

其中，μ為小參數(shù)。

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

于是，弱非完整系統(tǒng)（2）的零次近似可以寫(xiě)成

一次近似為

式（5）和（6）可稱為弱非完整系統(tǒng)（2）對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)和一次近似系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

2　Lagrange對(duì)稱性的定義與判據(jù)

下面給出弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)、一次近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性的定義與判據(jù)。

根據(jù)Λs對(duì)μ的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（4），給定弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)的兩組動(dòng)力學(xué)函數(shù)L，Qs，Λs0和，令

上標(biāo)“0”代表零次近似。其中，

定義1對(duì)于弱非完整系統(tǒng)（1）和（2）相對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)（5），如果由動(dòng)力學(xué)函數(shù)L，Qs，Λs0確定的運(yùn)動(dòng)微分方程

反之亦然，則相應(yīng)不變性稱為零次近似系統(tǒng)（5）的Lagrange對(duì)稱性。

根據(jù)（8）和（11）式，得

將（12）式代入（7）式，并根據(jù)方程（10）式，有

判據(jù)1對(duì)于弱非完整系統(tǒng)（1）和（2）相對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)（5），如果兩組動(dòng)力學(xué)函數(shù)L，Qs，Λs0和滿足方程（13）式，則該零次近似系統(tǒng)（5）具有Lagrange對(duì)稱性。

類似地，給定弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的一次近似系統(tǒng)的兩組動(dòng)力學(xué)函數(shù)L，Qs，Λs0，Λs1和，令

上標(biāo)“1”代表一次近似。因此，有

定義2對(duì)于弱非完整系統(tǒng)（1）和（2）相對(duì)應(yīng)的一次近似系統(tǒng)（6），如果由動(dòng)力學(xué)函數(shù)L，Qs，Λs0，Λs1確定的運(yùn)動(dòng)微分方程

反之亦然，則相應(yīng)不變性稱為該一次近似系統(tǒng)（6）的Lagrange對(duì)稱性。根據(jù)方程式（15-18），有

于是，有

判據(jù)2對(duì)于弱非完整系統(tǒng)（1）和（2）相對(duì)應(yīng)的一次近似系統(tǒng)（6），如果兩組動(dòng)力學(xué)函數(shù)L，Qs，Λs0，Λs1和滿足方程（19）式，則該一次近似系統(tǒng)（6）具有Lagrange對(duì)稱性。

3　Lagrange對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量

該節(jié)給出由弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)、一次近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量。若給出了關(guān)于μ的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)形式（4），并忽略含μ2的項(xiàng)以及更高階小項(xiàng)。于是，有

定理1對(duì)于弱非完整系統(tǒng)（1）和（2）相對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)（5），如果兩組動(dòng)力學(xué)函數(shù)Qs，Λs0和滿足條件

則該零次近似系統(tǒng)（5）的Lagrange對(duì)稱性導(dǎo)致守恒量

其中，m為任意正整數(shù)。

證明類似于文獻(xiàn)[21]中的推導(dǎo)過(guò)程，可以得到下列關(guān)系式

如果系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)函數(shù)Qs，Λs0和滿足如下條件

則方程（22）式可表示為矩陣形式

于是，有守恒量I

L=tr（Λm）=const.。證畢。

類似地，有

定理2對(duì)于弱非完整系統(tǒng)（1）和（2）相對(duì)應(yīng)的一次近似系統(tǒng)（6），如果兩組動(dòng)力學(xué)函數(shù)Qs，Λs0，Λs1和滿足條件

則該一次近似系統(tǒng)（6）的Lagrange對(duì)稱性導(dǎo)致守恒量（21）。

4　算例

設(shè)一單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，其系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

下面研究弱非完整系統(tǒng)（30）-（32）相對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)、一次近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性及其相應(yīng)的守恒量。

如果取

容易驗(yàn)證，（30）、（37）、（38）和（39）-（41）式滿足關(guān)系式（13），根據(jù)判據(jù)1，相應(yīng)的不變性為零次系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性，又由方程（23）式，可得

根據(jù)（42）式，容易驗(yàn)證函數(shù)組Qs，Λs和滿足條件（20），則由文中的定理1，該系統(tǒng)存在如下守恒量

（43）式稱為弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量。

如果取

易證，（30）、（37）、（38）和（44）-（47）式滿足關(guān)系式（19），據(jù)判據(jù)2，相應(yīng)的不變性為一次近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性，根據(jù)式（23），得

根據(jù)（48）式，容易驗(yàn)證函數(shù)組Qs，Λs0，Λs1和滿足條件（29），則由文中的定理2，該系統(tǒng)存在如下守恒量

（49）式稱為弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的一次近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量。

5　結(jié)語(yǔ)

筆者研究了弱非完整系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的零次近似系統(tǒng)（5）和一次近似系統(tǒng)（6）的Lagrange對(duì)稱性理論，得到了相應(yīng)近似系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性的定義與判據(jù)，并根據(jù)Lagrange對(duì)稱性給出了對(duì)應(yīng)近似系統(tǒng)的守恒量的滿足條件與形式。文中結(jié)果進(jìn)一步完善了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange對(duì)稱性與守恒量理論。

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Lagrange symmetry and conserved quantity for a weakly nonholonomic system

YAN Bin1，ZHANG Yi2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

This paper mainly investigated Lagrange symmetry and conserved quantity for a weakly nonholonomic system.Firstly,we provided the differential equations of motion for the zero-order approximate system and the first-order approximate system corresponding to the weakly nonholonomic system.Secondly,we offered the definitions and criteria of Lagrange symmetry for the zero-order approximate system and the first-order approximate system of the weakly nonholonomic system.Then the conditions under which the Lagrange symmetry leads to a conserved quantity were deduced and the form of the conserved quantity was obtained.Finally,an example was given to illustrate the application of the results.

weakly nonholonomic system；approximate system；Lagrange symmetry；conserved quantity

O316MR（2000）Subject Classification：70H33；70F25

A

1672－0687（2016）01－0017－06

責(zé)任編輯：謝金春

2015－04－07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10972151；11272227）

嚴(yán)斌（1989-），男，江蘇興化人，碩士研究生，研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法。*

張毅（1964-），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，E－mail：zhy@mail.usts.edu.cn。