亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        滿足ω(D)≤3的Diophantine方程組x+1=6Dy2,x2-x+1=3z2

        2016-10-26 02:32:21呼家源李小雪

        呼家源 , 李小雪

        (1.河套學(xué)院 理學(xué)系 內(nèi)蒙古 巴彥淖爾 015000; 2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 陜西 西安 710127)

        ?

        滿足ω(D)≤3的Diophantine方程組x+1=6Dy2,x2-x+1=3z2

        呼家源1,李小雪2

        (1.河套學(xué)院 理學(xué)系內(nèi)蒙古 巴彥淖爾 015000; 2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院陜西 西安 710127)

        設(shè)D是無平方因子正整數(shù),ω(D)≤3表示D的不同素因子的個數(shù).主要對方程組x+1=6Dy2,x2-x+1=3z2的解進(jìn)行了研究,并利用二次和四次Diophantine方程的一些性質(zhì),證明了若ω(D)≤3,那么方程組x+1=6Dy2,x2-x+1=3z2只有正整數(shù)解(D,x,y,z)=(182,436 7,2,252 1)和(1 711 759,164 328 863,4,94 875 313).

        Diophantine方程組; 無平方因子正整數(shù); 不同素因子的個數(shù)

        0 引言

        設(shè)N是全體正整數(shù)的集合,D是無平方因子正整數(shù),ω(D)表示D的不同素因子的個數(shù). 由文獻(xiàn)[1]知,若ω(D)=1, 則方程組

        x+1=6Dy2,x2-x+1=3z2,x,y,z∈N

        (1)

        無解(x,y,z). 文獻(xiàn)[2]證明了,若ω(D)=2且D的每一個素因子p滿足p≡1(mod 6),則式(1)無解(x,y,z). 文獻(xiàn)[3-4]也進(jìn)行了相關(guān)的研究. 本文利用二次和四次Diophantine方程的性質(zhì), 證明了一個一般結(jié)論如下。

        定理若ω(D)≤3ω(D)≤3, 則式(1)只有解(D,x,y,z)=(182,4 367,2,2 521)和(1 711 759,164 328 863,4,94 875 313).

        1 若干引理

        引理1對任意正整數(shù)n,設(shè)

        (2)

        1) (u,v)=(un,vn)(n=1,2,…)是方程

        u2-3v2=1,u,v∈N

        (3)

        的全部解.

        2)v2n=2unvn.

        證明因?yàn)?是非平方數(shù), (u1,v1)=(2,1)是文獻(xiàn)(5)中(2.3)的基本解,式(3)的解(u,v)可表示為

        (4)

        因此, 由式(2)、(4), (u,v)=(un,vn),(n=1,2…)是式(3)的全部解. 引理中的1)成立.

        gcd(un,vn)=1.

        (5)

        (6)

        且un≡2(mod 4). 因此, 由式(5)可得(un,vn)≡(0,1)(mod 2).引理中的3)成立.

        (7)

        可得

        (8)

        因此, 由式(7)、(8),有

        (9)

        引理2對任意非負(fù)整數(shù)m,設(shè)

        (10)

        則(U,V)=(U2m+1,V2m+1)(m=0,1,…)是方程

        U2-3V2=-1,U,V∈N

        (11)

        的全部解.

        證明因?yàn)?是非平方數(shù), (U1,V1)=(1,1)是式(11)的基本解[5],由文獻(xiàn)[5]可得本引理.

        引理3對任意非負(fù)整數(shù)m, 有v2m+1=U2m+1V2m+1.

        引理4[5]方程

        4X4-3Y2=1,X,Y∈N

        (12)

        僅有解(X,Y)=(1,1).

        引理5[6]方程

        X4-3Y2=1,X,Y∈N

        (13)

        無解(X,Y).

        引理6[7]方程

        X2-3Y4=1,X,Y∈N

        (14)

        只有解(X,Y)=(2,1)和(7,2).

        引理7[5]方程

        X4-3Y2=-2,X2-3Y4=-2,X,Y∈N

        (15)

        僅有解(X,Y)=(1,1).

        2 定理的證明

        設(shè)D是無平方因子正整數(shù), 且ω(D)≤3.設(shè)(x,y,z)是式(1)的解.則有

        4z2-3(4Dy2-1)2=1.

        (16)

        由式(16)知式(3)有解

        (u,v)=(2z,4Dy2-1),

        (17)

        (2z,4Dy2-1)=(u2n+1,v2n+1),n∈N.

        (18)

        因?yàn)镈>1,ω(D)≤3,若n≤12,則由式(18)可得(D,x,y,z)=(182,4 367,2,2 521)和(1 711 759,164 328 863,4,94 875 313).

        考慮n>12的情況. 由式(2)、(8)和(18),有

        (19)

        n=2r+1,r∈N,r≥6.

        (20)

        將式(20)代入式(19), 由引理1的2), 有v2r+2=2ur+1vr+1和

        Dy2=u2r+1ur+1vr+1.

        (21)

        由引理1的3)和引理3,有u4s+1≡u2s+1≡2(mod 4)和v2s+1=U2s+1V2s+1.因此,由式(20)和(21),可得

        (22)

        D=D1D2D3D4;y=2t1t2t3t4,Di,ti∈N,i=1,2,3,4.

        (23)

        r=2s+1,s∈N,s≥3.

        (24)

        由式(21)和式(24),有

        (25)

        D=D1D2D3D4;y=2t1t2t3t4,Di,ti∈N,i=1,2,3,4.

        (26)

        因?yàn)閟≥3, 利用引理4~引理7, 由式(26)可得Di>1(i=1,2,3,4)和ω(D)≥4,矛盾.

        綜上, 定理得證.

        [1]田曉霞. 關(guān)于不定方程組x+1=6py2,x2-x+1=3z2[J]. 四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009, 22(1): 30-31.

        [2]杜先存, 孫映成, 萬飛. 關(guān)于不定方程組x±1=6pqu2,x2?x+1=3v2的整數(shù)解 [J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版), 2014, 46(1): 25-27.

        [3]曹珍富. 丟番圖方程引論[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 1989.

        [4]柯召, 孫琦. 關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2[J]. 中國科學(xué), 1981, 24(12): 1453-1457.

        [5]GAO Z F. Introduction to Diophantine Equations [M]. Harbin: Harbin Institute of Technology Press, 1989.

        [6]LJUNGGREN W. Some remarks on the Diophantine equationsx2-dy4=1andx4-dy2=1 [J]. J London Math Soc, 1966, 41(3): 542-544.

        [7]LJUNGGREN W. Einige Eigenschaften der Einheiten reeller quadratischer und rein-biquadratischer Zahlk?rpermit anwendung aufdie losung einer klasse unbestimmter gleichungen uierten grades [J]. Oslo Vid Akad Skrifter, 1936, 1(12): 1-70.

        (責(zé)任編輯:方惠敏)

        The Diophantine Systemx+1=6Dy2andx2-x+1=3z2withω(D)≤3

        HU Jiayuan1,LI Xiaoxue2

        (1.DepartmentofScience,HetaoCollege,Bayannur015000,China;2.SchoolofMathematics,NorthwestUniversity,Xi’an710127,China)

        LetDbe a positive integer with square free, and letω(D) denote the number of distinct prime divisors ofD. Using some properties of quadratic and quartic Diophantine equations, it was proved that ifω(D)≤3, then the equation systemx+1=6Dy2andx2-x+1=3z2had only the positive integer solutions (D,x,y,z)=(182,4 367,2,2 521) and (1 711 759,164 328 863,4,94 875 313).

        Diophantine system; positive integer with square free; number of distinct prime divisors

        2016-02-04

        國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371291);陜西省自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2013JZ001);河套學(xué)院自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(HYZQ201412).

        呼家源(1986—), 女, 內(nèi)蒙古巴彥淖爾人, 講師, 主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究, E-mail: hujiayuan1986@163.com.通訊作者:李小雪(1988—), 女, 陜西渭南人, 博士研究生, 主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究, E-mail: lxx20072012@163.com.

        O156.7

        A

        1671-6841(2016)03-0043-04

        10.13705/j.issn.1671-6841.2016031

        引用本文:呼家源,李小雪.滿足ω(D)≤3的Diophantine方程組x+1=6Dy2,x2-x+1=3z2[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2016,48(3):43-46.

        亚洲精品无码专区在线| 亚洲色图偷拍自拍在线| 女优av一区二区三区| 久久超碰97人人做人人爱| 国产自精品| 青青草久热手机在线视频观看| 加勒比婷婷色综合久久| 人妻av无码一区二区三区| 国产成人www免费人成看片| 丰满人妻AV无码一区二区三区 | 777米奇色狠狠俺去啦| 亚洲成a人v欧美综合天堂麻豆| 92精品国产自产在线观看48页 | 91爱爱视频| 亚洲综合中文一区二区| 国产av无码专区亚洲a∨毛片| 无码精品人妻一区二区三区人妻斩| 婷婷色综合成人成人网小说| 手机免费在线观看日韩av| 性色av一二三天美传媒| 97夜夜澡人人爽人人喊中国片| 欧美精品一区二区精品久久| 亚洲av一二三四五区在线| 人人妻人人做人人爽| 无遮挡边吃摸边吃奶边做| h动漫尤物视频| 亚洲视频免费在线观看| 专干老肥熟女视频网站300部| 亚洲国产成人久久一区www妖精| 亚洲国产成人av第一二三区| 亚洲一区二区三区中国| 极品粉嫩小泬无遮挡20p| 精品少妇一区一区三区| 日本一区二区三区清视频| 人妻少妇出轨中文字幕| 欧美日韩人妻| 蜜桃av噜噜噜一区二区三区| 亚洲国产亚综合在线区| 亚洲色无码播放| 精品国产亚洲av麻豆尤物| 麻神在线观看免费观看|