孔　波，　常曉鵬

(1.河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院　河南 鄭州 450046； 2.河南教育學(xué)院 信息技術(shù)系　河南 鄭州 450046)

?

環(huán)Fp+uFp上的循環(huán)碼

孔波1，常曉鵬2

(1.河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院河南 鄭州 450046； 2.河南教育學(xué)院 信息技術(shù)系河南 鄭州 450046)

研究了環(huán)Fp+uFp上循環(huán)碼的結(jié)構(gòu), 這里p為素?cái)?shù),u2=u, 證明了該環(huán)上的循環(huán)碼可由Fp+uFp上的一個(gè)多項(xiàng)式生成，并給出了其上循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式.

循環(huán)碼; 主理想; Gray映射; 自正交碼

0　引言

1　基礎(chǔ)知識(shí)

有限交換環(huán)R上如果只有一個(gè)元素I生成，則I稱(chēng)為主理想. 如果環(huán)R的所有理想都是主理想, 則稱(chēng)R為主理想環(huán). 如果R有唯一的極大理想R稱(chēng)為局部環(huán).如果R的所有理想按包含關(guān)系形成一條鏈,則稱(chēng)R為鏈環(huán).R上長(zhǎng)為n的線性碼C是Rn的一個(gè)R子模.

令R=Fp+uFp,這里u2=u. 已知Fp+uFp是特征為p的有限交換環(huán), 該環(huán)有p2個(gè)元素.

引理1環(huán)R中有(p-1)2個(gè)單位元.

證明環(huán)R的任意元素r可以表示為r=a+bu, 由環(huán)的特征為p及u2=u, 可得rp=r. 則r(rp-1-1)=0,r∈R. 由此可得, 對(duì)任意的r∈R除了滿(mǎn)足rp-1=1的都是零因子. 由rp-1=ap-1+u(a+b)p-1-uap-1=1. 可得ap-1=1,(a+b)p-1=1, 只要滿(mǎn)足a≠0,a+b≠0即可.所以在R中滿(mǎn)足a≠0,a+b≠0的有(p-1)2個(gè)元素, 可得環(huán)R中有(p-1)2個(gè)單位元.

環(huán)R是一個(gè)半局部環(huán),R有兩個(gè)極大理想

〈u〉={0,u,2u,…,(p-1)u}，〈1-u〉={0,1-u,2-2u,…,p-1-(p-1)u},

每個(gè)極大理想有p個(gè)元素, 所以R/〈u〉與R/〈1-u〉都同構(gòu)與Fp，R是一個(gè)主理想環(huán)，但不是有限鏈環(huán).

設(shè)σ表示Rn上的一個(gè)循環(huán)移位, 即對(duì)任意的(c0,c1,…,cn-1)∈Rn,σ(c0,c1,…,cn-1)=(cn-1,c0,…,cn-2). 設(shè)C為R上的長(zhǎng)為n的線性碼,對(duì)任意的 (c0,c1,…,cn-1)∈C, 均有σ(c0,c1,…,cn-1)=(cn-1,c0,…,cn-2)∈C, 稱(chēng)C為環(huán)R上長(zhǎng)為n的循環(huán)碼.

2　Gray映射

定理2若C是R上長(zhǎng)為n的(n,k,dL)線性碼. 則φ(C)是Fp上的(2n,k,dH)線性碼, 且dH=dL.

證明設(shè)ri=ai+ubi∈R,i=1,2,k∈Fp. 則

φ(r1+r2)=φ(a1+a2+u(b1+b2))=(a1+a2,a1+a2+b1+b2)=(a1,a1+b1)+(a2,a2+b2)=

φ(r1)+φ(r2)φ(kr1)=φ(ka1+kub1)=(ka1,ka1+kb1)=k(a1,a1+b1)=kφ(r1)，

定理3設(shè)C是R上長(zhǎng)為n的線性碼. 則

這里gi為Ci的生成多項(xiàng)式,i=1,2.

證明對(duì)任意的(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tn)∈φ(C), 令ri=si(1-u)+tiu. 由φ是雙射可知r=(r1,r2,…,rn)∈C. 由C1,C2的定義可知(s1,s2,…,sn)∈C1, (t1,t2,…,tn)∈C2, 所以(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tn)∈C1?C2, 即φ(C)?C1?C2.

反之, 若(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tn)∈C1?C2, 其中：(s1,s2,…,sn)∈C1； (t1,t2,…,tn)∈C2.存在x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈C滿(mǎn)足xi=si+umi,yi=ti+(1-u)ni, 其中：mi，ni∈Fp，i=1,2,…,n. 由C是線性的可知r=(1-u)x+uy∈C, 因此φ(r)=(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tn), 所以C1?C2?φ(C), 可得φ(C)=C1?C2, 由φ是雙射,可知

這里gi為Ci的生成多項(xiàng)式,i=1,2.

引理2設(shè)C是R上長(zhǎng)為n的線性碼,C⊥為C的對(duì)偶碼,則φ(C⊥)=φ(C)⊥，若C是自對(duì)偶的,則φ(C)也是自對(duì)偶的.

證明先證φ(C⊥)?φ(C)⊥, 設(shè)x,y∈C,其中：

x=(a1+b1u,a2+b2u,…,an+bnu)；y=(c1+d1u,c2+d2u,…,cn+dnu)；ai,bi,ci,di∈Fp.

可得

3　環(huán)R上的循環(huán)碼

引理3如果C=(1-u)C1⊕(u)C2為R上的線性碼, 則C為R上的循環(huán)碼當(dāng)且僅當(dāng)C1,C2為Fp上的循環(huán)碼.

證明設(shè)(x1,x2,…,xn)∈C1, (y1,y2,…,yn)∈C2, 則

((1-u)x1+uy1,(1-u)x2+uy2,…,(1-u)xn+uyn)∈C.

由C為R上的循環(huán)碼可得 ((1-u)xn+uyn,(1-u)x1+uy1,…,(1-u)xn-1+uyn-1)∈C,

即

((1-u)xn+uyn,(1-u)x1+uy1,…,(1-u)xn-1+uyn-1)=

(1-u)(xn,x1,…,xn-1)+u(yn,y1,…,yn-1)∈C,

所以(xn,x1,…,xn-1)∈C1, (yn,y1,…,yn-1)∈C2,C1,C2均為Fp上的循環(huán)碼.反過(guò)來(lái), 若C1,C2均為Fp上的循環(huán)碼, 設(shè)(x1,x2,…,xn)∈C1, (y1,y2,…,yn)∈C2, 則

((1-u)x1+uy1,(1-u)x2+uy2,…,(1-u)xn+uyn)∈C.

由C1,C2均為Fp上的循環(huán)碼可知(xn,x1,…,xn-1)∈C1, (yn,y1,…,yn-1)∈C2, 可得

((1-u)xn+uyn,(1-u)x1+uy1,…,(1-u)xn-1+uyn-1)=

(1-u)(xn,x1,…,xn-1)+u(yn,y1,…,yn-1)∈(1-u)C1⊕(u)C2=C.

所以C為R上的循環(huán)碼.

推論2如果C=(1-u)C1⊕(u)C2是R的循環(huán)碼, 則C⊥也是R上的循環(huán)碼.

定理4如果C=(1-u)C1⊕(u)C2是R上的循環(huán)碼自對(duì)偶碼, 當(dāng)且僅當(dāng)C1,C2為Fp上的循環(huán)碼自對(duì)偶碼.

定理5如果C=(1-u)C1⊕(u)C2是R上長(zhǎng)為n的循環(huán)碼 , 則存在g(x)∈R[x]且g(x)|xn-1, 使得C=〈g(x)〉.

證明若C=(1-u)C1⊕(u)C2是R上長(zhǎng)為n的循環(huán)碼. 設(shè)gi為Ci的生成多項(xiàng)式,i=1,2.則

C=〈(1-u)g1(x),ug2(x)〉.

令C′=〈(1-u)g1(x)+ug2(x)〉，易得C′?C.由

(1-u)[(1-u)g1(x)+ug2(x)]=(1-u)g1(x),

u[(1-u)g1(x)+ug2(x)]=(u)g2(x)，

xn-1=[(1-u)g1(x)+ug2(x)][(1-u)f1(x)+uf2(x)].

所以xn-1=g(x)[(1-u)f1(x)+uf2(x)], 定理得證.

4　結(jié)論

本文根據(jù)Gray映射建立Fp+uFp(u2=u) 上的循環(huán)碼與Fp上準(zhǔn)循環(huán)碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,證明了環(huán)Fp+uFp上的循環(huán)碼是主理想生成的.

[1]CENGELLENMIS Y. On the cyclic codes overF3+vF3[J]. International journal of algebra, 2010, 4(6): 253-259.

[2]SHI M, YANG S, ZHU S. Good p-ary quasi-cyclic codes from cyclic codes overFp+vFp[J]. Journal of systems science and complexity, 2012, 25(2): 375-384.

[3]丁健, 李紅菊, 左學(xué)武, 等. 環(huán)F2+uF2+u2F2上的常循環(huán)碼[J]. 電子學(xué)報(bào), 2015,43(1):145-150.

[4]余海峰, 朱士信, 張霞. 環(huán)F2+uF2+vF2+uvF2上的1+uv-常循環(huán)碼[J]. 電子與信息學(xué)報(bào),2014, 36(6):1419-1422.

[5]周穎，李敏，魏俊潮. Abel環(huán)的一些刻畫(huà)(Ⅱ) [J]. 揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2015,18(1):1-8.

[6]CENGELLENMIS Y, DOUGHERTY S T. Cyclic codes overAk[C] // Proceedings of ACCT 2012. Pomorie, Bulgaria, 2012.

[7]LIU X S, XU X F. Cyclic and negacyclic codes of length 2psoverFpm+uFpm[J]. Acta mathematica scientia,2014, 34(3): 829-839.

[8]DERTLI A, CENGELLENMIS Y, EREN S. On quantum codes obtained from cyclic codes over A2[J]. International journal of quantum information, 2015, 13(3): 1550031.

[9]常曉鵬, 孔波, 鄭喜英. 環(huán)Fpm+uFpm+…+uk-1Fpm上常循環(huán)碼的等價(jià)性[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版), 2014, 46(2): 16-20.

[10]鄭喜英, 孔波, 劉潔，等. 環(huán)Fpm+uFpm+vFpm+uvFpm上長(zhǎng)為2ps的λu-1常循環(huán)碼[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版), 2015, 47(2): 27-32.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

Cyclic Codes over RingFp+uFp

KONG Bo1，CHANG Xiaopeng2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China;2.DepartmentofInformationTechnology,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China)

The structure of cyclic codes over ringFp+uFpwas studied, whereu2=u. It was proved that the cyclic codes over the ring were generated by one polynomial over the ringFp+uFp. And the generator polynomial of the cyclic codes was given.

cyclic codes; principal ideal; Gray map; self-orthogonal codes

2016-01-25

河南省基礎(chǔ)與前沿基金資助項(xiàng)目(162300410083);河南教育學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)科資助項(xiàng)目.

孔波(1980—)，男，河南周口人，講師，主要從事代數(shù)與編碼研究，E-mail:kongbo666@163.com．

O157.4

A

1671-6841(2016)03-0028-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016017

引用本文:孔波，常曉鵬．環(huán)Fp+uFp上的循環(huán)碼[J] ．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(3)：28-31．