王萬(wàn)永，　陳麗娟，　郭　靜

(1.河南工程學(xué)院 理學(xué)院　河南 鄭州 451191； 2.鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部　河南 鄭州 450052)

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基于多尺度方法的1∶3共振雙Hopf分岔分析

王萬(wàn)永1，陳麗娟1，郭靜2

(1.河南工程學(xué)院 理學(xué)院河南 鄭州 451191； 2.鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部河南 鄭州 450052)

利用改進(jìn)的多尺度方法對(duì)一個(gè)電路振子模型1∶3共振附近的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.應(yīng)用該方法得到了系統(tǒng)的復(fù)振幅方程，進(jìn)而得到一個(gè)振幅與相位解耦的三維實(shí)振幅系統(tǒng)，通過(guò)分析實(shí)振幅方程的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性，將系統(tǒng)共振點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分類(lèi)，發(fā)現(xiàn)了雙穩(wěn)態(tài)等動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.

電路振子； 1∶3共振； 多尺度方法； 分岔

0　引言

在非線性動(dòng)力學(xué)的研究中，內(nèi)共振由于能夠反應(yīng)系統(tǒng)線性模態(tài)之間的相互作用，有著非常重要的研究?jī)r(jià)值.文獻(xiàn)[1]通過(guò)研究一個(gè)兩端固支屈曲梁模型的內(nèi)共振，構(gòu)建了該模型在1∶1和1∶3內(nèi)共振情形下的非線性模態(tài).文獻(xiàn)[2]研究了一個(gè)懸索模型的1∶2內(nèi)共振，并討論了三次非線性和高階修正項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)解的影響.文獻(xiàn)[3]研究了一個(gè)極限環(huán)振子系統(tǒng)發(fā)生的1∶3共振雙Hopf分岔，并研究了非線性對(duì)共振附近動(dòng)力學(xué)行為的影響.文獻(xiàn)[4]通過(guò)利用3∶1內(nèi)共振的性質(zhì)設(shè)計(jì)了一個(gè)非線性振動(dòng)吸振器.文獻(xiàn)[5]研究了內(nèi)共振條件下風(fēng)力發(fā)電機(jī)風(fēng)輪葉片的空氣動(dòng)力學(xué)行為.在內(nèi)共振和雙Hopf分岔的研究中，常用的方法有中心流形和規(guī)范型方法、多尺度方法、攝動(dòng)增量法、Liapunov-Schmidt約化和奇異攝動(dòng)法.這些方法都存在一些問(wèn)題，例如中心流形方法計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，奇異性理論更加數(shù)學(xué)化，晦澀難懂，而多尺度方法得到的強(qiáng)共振的實(shí)振幅方程中，平衡點(diǎn)是非孤立的平衡點(diǎn)[6]，因而使穩(wěn)定性分析和分岔分析無(wú)法進(jìn)行.在本文的研究中，將應(yīng)用一種改進(jìn)的多尺度方法，把1∶3共振的規(guī)范型化為一個(gè)三維的實(shí)振幅系統(tǒng)，進(jìn)而可以研究系統(tǒng)在共振點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為.

本文以一個(gè)電路振子模型為例，利用改進(jìn)的多尺度方法研究其1∶3共振點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為.其電路示意圖如圖1所示[7].

其數(shù)學(xué)模型為[7]：

圖1　電路振子Fig.1　The electric oscillator；；

(1)

其中：x1=v1，x2=i1，x3=v2，x4=i2是狀態(tài)變量；η1=1/C1，η2=R，η3=1/L1，ρ1=1/C2，ρ2=1/L2是參數(shù)；α1、α2、α3是輔助參數(shù).非線性電路模型的動(dòng)力學(xué)行為是非線性動(dòng)力學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.目前已有不少的文獻(xiàn)從實(shí)驗(yàn)和理論方面對(duì)其進(jìn)行了研究[8-12]，并發(fā)現(xiàn)了次諧波振蕩、周期解、概周期解、分岔以及混沌等大量的非線性現(xiàn)象[11].本文將應(yīng)用改進(jìn)的多尺度方法對(duì)該電路系統(tǒng)的1∶3共振進(jìn)行研究，計(jì)算其振幅方程并分析共振點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為.

1　振幅方程

λ4+(-α1η1+η2ρ2)λ3+(η1η3+η1ρ2-α1η1η2ρ2+ρ1ρ2)λ3+(η1η2η3ρ2-α1η1ρ1ρ2)λ+η1η3ρ1ρ2=0.

(2)

為了得到1∶3共振的規(guī)范型方程,將應(yīng)用改進(jìn)的多尺度方法對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行分析.首先按照如下形式攝動(dòng)參數(shù)

(3)

(4)

其多尺度形式的解具有如下形式

y(t)=εy1(T0,T2)+ε2y2(T0,T2)+ε3y3(T0,T2)+O(ε4).

(5)

將式(3)、(5)帶入式(4),并對(duì)式(4)的右端進(jìn)行Taylor展開(kāi),令兩端ε的各次冪的系數(shù)相等,可得

(6)

(7)

(8)

方程(6)的解具有如下形式

y1=A1(T2)p1eiω1T0+A2(T2)p2eiω2T0+c.c.,

(9)

其中：Aj(j=1,2)是復(fù)振幅，為時(shí)間尺度T2的函數(shù)；p1和p2是相應(yīng)于特征值iω1和iω2的右特征向量；c.c. 表示前面各項(xiàng)的復(fù)共軛.將式(9)代入式(7),可求得式(7)的解為

(10)

其中zij是復(fù)系數(shù).

將式(9)、(10)代入式(8),令長(zhǎng)期項(xiàng)的系數(shù)為零,可得到A1和A2關(guān)于時(shí)間尺度T2導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)方程.應(yīng)用左特征向量消去D2A1和D2A2的系數(shù)并吸收參數(shù)ε[13],可得

(11)

Cijk和Ciμμε是復(fù)系數(shù).在式(11)中，A1和A2為復(fù)振幅，為了將式(11)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)振幅方程，通常將A1和A2設(shè)為極坐標(biāo)形式.但是，在強(qiáng)共振條件下，如果將A1和A2設(shè)為極坐標(biāo)形式，將會(huì)得到一個(gè)實(shí)振幅與相位變量耦合的三維系統(tǒng)，其平衡點(diǎn)將是非孤立的平衡點(diǎn)，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性將無(wú)法研究.為了避免這種情況，將復(fù)振幅A1和A2設(shè)為一種混合形式(極坐標(biāo)-笛卡爾形式)[13]，

(12)

將式(12)代入式(11),分離其實(shí)部和虛部,可得到一個(gè)振幅與相位解耦的三維實(shí)振幅方程，如下:

2　動(dòng)力學(xué)行為分析

由前面的分析可知1∶3共振的振幅方程是由3個(gè)變量組成的三維系統(tǒng)，并且含有3個(gè)分岔參數(shù).為了分

圖2　系統(tǒng)(1)在η1-η2平面內(nèi)的動(dòng)力學(xué)行為分類(lèi)圖和相圖Fig.2　The classification of the dynamical behavior and phase portraits of system (1) in the plane of η1-η2

析共振點(diǎn)(η1c，η2c，η3c)附近的動(dòng)力學(xué)行為，可以固定其中一個(gè)分岔參數(shù)，分析系統(tǒng)在二維參數(shù)平面上共振點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為.為此，固定參數(shù)η3，在η1-η2平面內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分類(lèi).根據(jù)實(shí)振幅方程的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及每個(gè)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的不同, 將平面η1-η2分為6個(gè)不同的區(qū)域，如圖2所示.在Ⅰ區(qū)中，其平凡平衡點(diǎn)E0(0,0)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于原系統(tǒng)的原點(diǎn).當(dāng)參數(shù)進(jìn)入Ⅱ區(qū)，一個(gè)穩(wěn)定的單模態(tài)平衡點(diǎn)E1(a10,0)出現(xiàn)，而平凡平衡點(diǎn)E0(0,0)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡點(diǎn).當(dāng)參數(shù)進(jìn)入Ⅲ區(qū)，一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E2(0,a20)出現(xiàn)，而平衡點(diǎn)E1(a10,0)保持其穩(wěn)定性，平衡點(diǎn)E0(0,0)仍然是不穩(wěn)定的.在Ⅳ區(qū)，一個(gè)新的不穩(wěn)定的雙模態(tài)平衡點(diǎn)E3(a12,a22)產(chǎn)生，而平衡點(diǎn)E1(a10,0)和E2(0,a20)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn).在Ⅴ區(qū)，雙模態(tài)平衡點(diǎn)E3(a12,a22)消失，平衡點(diǎn)E1(a10,0)失穩(wěn)，平衡點(diǎn)E2(0,a20)仍然是穩(wěn)定的.在Ⅵ區(qū)，平衡點(diǎn)E2(0,a20)保持穩(wěn)定性，平衡點(diǎn)E1(a10,0)消失.其中單模態(tài)平衡點(diǎn)E1(a10,0)和E2(0,a20)分別相應(yīng)于原系統(tǒng)頻率為ω1和ω2的周期解，雙模態(tài)平衡點(diǎn)E3(a12,a22)則相應(yīng)于原系統(tǒng)的一個(gè)概周期解.

為了驗(yàn)證理論分析的正確性，對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬的結(jié)果如圖3～圖8所示.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)在共振點(diǎn)附近變化時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)兩個(gè)不同頻率的周期解，其頻率比值接近1∶3.同時(shí)在分類(lèi)圖的Ⅳ區(qū)，兩個(gè)不同頻率的周期解同時(shí)出現(xiàn)，系統(tǒng)出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.

圖3?、駞^(qū)內(nèi)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的相圖和時(shí)間歷程圖Fig.3　Phase portrait and time history of the stable equilibrium in region Ⅰ

圖4?、騾^(qū)內(nèi)周期解的相圖和時(shí)間歷程圖Fig.4　Phase portrait and time history of periodic solution in region Ⅱ

圖5?、髤^(qū)周期解的相圖和時(shí)間歷程圖Fig.5　Phase portrait and time history of periodic solution in region Ⅲ

圖6?、魠^(qū)內(nèi)雙穩(wěn)態(tài)的相圖和時(shí)間歷程圖Fig.6　Phase portrait and time history of the bi-stable state in region Ⅳ

圖7　Ⅴ區(qū)內(nèi)周期解的相圖和時(shí)間歷程圖Fig.7　Phase portrait and time history of periodic solution in region Ⅴ

圖8?、鰠^(qū)內(nèi)周期解的相圖和時(shí)間歷程圖Fig.8　Phase portrait and time history of periodic solution in region Ⅵ

3　總結(jié)

本文研究了一個(gè)電路振子模型中發(fā)生的1∶3共振雙Hopf分岔，通過(guò)應(yīng)用改進(jìn)的多尺度方法得到了該1∶3共振的規(guī)范型方程，進(jìn)而分析其共振點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)了周期解、雙穩(wěn)態(tài)等動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)果的正確性.本文在揭示電路振子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的同時(shí)，應(yīng)用了一種研究1∶3共振的新方法，該方法通過(guò)應(yīng)用多尺度方法的過(guò)程，并將1∶3共振的復(fù)振幅設(shè)為一種混合形式，可以得到1∶3共振實(shí)振幅系統(tǒng)，從而能夠研究共振點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為.

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Analysis of 1∶3 Resonant Double Hopf Bifurcation by Using the Method of Multiple Scales

WANG Wanyong1，CHEN Lijuan1，GUO Jing2

(1.CollegeofScience,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China； 2.DepartmentofPublicTeaching,ZhengzhouRailwayVocationalandTechnicalCollege,Zhengzhou450052,China)

The dynamical behavior near a 1∶3 resonance of an electric oscillator was investigated. By using the method of multiple scale, the complex amplitude equations of the system were obtained. Then a three dimension real amplitude system in which the amplitudes decouple from the phases was given. Analyzing the number of equilibrium and its stability of the real amplitude equation, the dynamical behavior around the resonant point was classified. Some interesting dynamical phenomenon were found, for example,the bistability. Numerical simulations for justifying the theoretical analysis were also provided.

electric oscillator; 1∶3 resonance; the method of multiple scale; bifurcation

2016-03-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11302072)；河南省科技廳資助項(xiàng)目(112300410194)；河南教育廳資助項(xiàng)目(12B120004)；鄭州市科技局資助項(xiàng)目(20141391)．

王萬(wàn)永(1982—)，男，河南南陽(yáng)人，講師，主要從事非線性動(dòng)力學(xué)研究，E-mail: wangwanyong630@163.com．

O175.1

A

1671-6841(2016)03-0023-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2016053

引用本文：王萬(wàn)永，陳麗娟，郭靜．基于多尺度方法的1∶3共振雙Hopf分岔分析[J] ．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(3)：23-27．