王孝然, 　申永軍, 　楊紹普

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊　050043)

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單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)下Kelvin模型和Maxwell模型的比較

王孝然, 申永軍, 楊紹普

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊050043)

以Kelvin模型和Maxwell模型為對(duì)象，研究了單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)下2種模型的系統(tǒng)響應(yīng)。首先，將單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)分為簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)、偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)和支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)3種情況，分別在這3種情況下建立了2種模型的運(yùn)動(dòng)微分方程，并得到了系統(tǒng)的解析解。隨后，通過(guò)解析解得到了振幅放大因子和相位差的解析式，研究了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線。通過(guò)比較2種模型的幅頻響應(yīng)曲線，發(fā)現(xiàn)在偏心質(zhì)量和支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)情況下Maxwell模型在小阻尼時(shí)振動(dòng)控制效果遠(yuǎn)優(yōu)于Kelvin模型。

Kelvin模型；Maxwell模型；強(qiáng)迫振動(dòng)；幅頻響應(yīng)曲線

0　引言

系統(tǒng)由外界持續(xù)激振所引起的振動(dòng)，稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。激勵(lì)按來(lái)源可分為2類，一類是力激勵(lì)，它可以是直接作用于機(jī)械運(yùn)動(dòng)部件上的力，也可以是旋轉(zhuǎn)機(jī)械或往復(fù)運(yùn)動(dòng)機(jī)械中不平衡量引起的慣性力；另一類是由于支承運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致的位移激勵(lì)、速度激勵(lì)以及加速度激勵(lì)[1]。

國(guó)內(nèi)外振動(dòng)工程教科書(shū)中講述單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，多采用Kelvin模型，對(duì)Maxwell模型卻鮮有人去研究。而工程實(shí)踐中大量采用粘彈性材料，粘彈性材料不僅具有阻尼性質(zhì)也具有剛度性質(zhì)，其力學(xué)模型用Maxwell模型表示更合適[2]。Asami等將Maxwell模型引入到動(dòng)力吸振器中并對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，發(fā)現(xiàn)在相同質(zhì)量比情況下，該模型具有更好的減振效果[3-4]。文獻(xiàn)[5-6]介紹了Maxwell模型在吸振隔振中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[7-8]研究了抗蛇形減振器，用Maxwell模型能較準(zhǔn)確的作為抗蛇形減振器的簡(jiǎn)化模型。文獻(xiàn)[9]研究了廣義的Maxwell模型，提出了一種模型轉(zhuǎn)換的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[10]采用廣義Maxwell模型來(lái)模擬玻璃模壓過(guò)程中所表現(xiàn)的粘彈性力學(xué)特性。文獻(xiàn)[11]研究了用Maxwell模型來(lái)近似表示粘彈性阻尼器。文獻(xiàn)[12]用Maxwell模型來(lái)描述覆蓋層材料的力學(xué)特性。文獻(xiàn)[13]以黏彈性力學(xué)理論為基礎(chǔ)，選用廣義Maxwell模型作為聚碳酸酯黏彈性的力學(xué)模型。文獻(xiàn)[14]研究了Maxwell模型在完整巖體中的應(yīng)用。

本文主要討論單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)，把Kelvin模型和Maxwell模型進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)偏心質(zhì)量和支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)情況下，Maxwell模型在小阻尼時(shí)振動(dòng)控制效果遠(yuǎn)優(yōu)于Kelvin模型，從而可以為振動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)或修改提供參考依據(jù)。

1　簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

反映系統(tǒng)粘彈性的模型主要有Maxwell模型和Kelvin模型，其本質(zhì)是彈簧和阻尼器的串聯(lián)或者并聯(lián)，如圖1所示。3種典型的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)如圖2～圖4所示，其中圖2為簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)。設(shè)x是質(zhì)量塊的位移，x1(t)是串聯(lián)彈簧和阻尼分割點(diǎn)的位移。kk和ck是Kelvin模型的剛度和阻尼，km和cm是Maxwell模型的剛度和阻尼。質(zhì)量塊上作用有簡(jiǎn)諧激振力P(t)=P0sinωt，其中，P0為激振力幅，ω為激振頻率。根據(jù)牛頓第二定律可以得到圖2(a)的動(dòng)力學(xué)方程

圖1　Maxwell模型和Kelvin模型

圖2　簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

圖3　偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

圖4　支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

(1)

(2)

其中,β為無(wú)量綱放大因子；A0=P0/kk為質(zhì)量塊在激振力幅靜作用下的最大位移。由此可以得到幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線，如圖5和圖6所示。

根據(jù)牛頓第二定律可以得到圖2(b)的動(dòng)力學(xué)方程

(3)

幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線如圖7和圖8所示。

圖5　幅頻響應(yīng)曲線(簡(jiǎn)諧激勵(lì)，Kelvin模型)

圖6　相頻響應(yīng)曲線(簡(jiǎn)諧激勵(lì)，Kelvin模型)

圖7　幅頻響應(yīng)曲線(簡(jiǎn)諧激勵(lì)，Maxwell模型)

從Kelvin模型和Maxwell模型的幅頻響應(yīng)曲線可以看到：

(1)當(dāng)λ?1，即ω?ωn時(shí)，Kelvin模型的β≈1，說(shuō)明激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率ωn很低時(shí)，相應(yīng)的振幅與靜位移大小相當(dāng)；此時(shí)Maxwell模型的β趨近于無(wú)窮大。當(dāng)λ?1，即ω?ωn時(shí)，Kelvin模型和Maxwell模型的β都趨近于0，說(shuō)明激振頻率相對(duì)于固有頻率很高時(shí)，相應(yīng)的振幅很小，這是因?yàn)榧ふ窳Φ姆较蚋淖兊奶?，質(zhì)量塊的位移受慣性的影響來(lái)不及有相應(yīng)的變化。在上述的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)，取不同ξ值時(shí)曲線較為密集，說(shuō)明阻尼的影響并不顯著。因此，在這兩種極端情況中，系統(tǒng)即使按無(wú)阻尼情況考慮也是可以的。

2　偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

如圖3假設(shè)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量為m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度是ω。根據(jù)牛頓第二定律可以得到圖3(a)的動(dòng)力學(xué)方程

(4)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x=Csin(ωt-φ)，其中

寫(xiě)成下列無(wú)量綱形式

由此可得到幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線如圖9和圖10所示。

圖8　相頻響應(yīng)曲線(簡(jiǎn)諧激勵(lì)，Maxwell模型)

圖9　幅頻響應(yīng)曲線(偏心質(zhì)量，Kelvin模型)

圖10　相頻響應(yīng)曲線(偏心質(zhì)量，Kelvin模型)

根據(jù)牛頓第二定律可以得到圖3(b)的動(dòng)力學(xué)方程

(5)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x=Dsin(ωt-φ)，其中

寫(xiě)成下列無(wú)量綱形式

可得到幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線如圖11和圖12所示。

從Kelvin模型和Maxwell模型的幅頻響應(yīng)曲線可以看到：

(1)當(dāng)λ?1，即ω?ωn時(shí)，Kelvin模型和Maxwell模型的振幅都接近于零。當(dāng)λ?1，即ω?ωn時(shí)，Kelvin模型和Maxwell模型的振幅都接近于常數(shù)me/M，而與激勵(lì)頻率及系統(tǒng)阻尼基本無(wú)關(guān)。

(3)通過(guò)比較可以看出在受偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)的情況下，Maxwell模型在小阻尼的情況沒(méi)有出現(xiàn)共振導(dǎo)致振幅過(guò)大的現(xiàn)象。

3　支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

如圖4所示假設(shè)支承運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是xs=asinωt。根據(jù)牛頓第二定律可以得到圖4(a)的動(dòng)力學(xué)方程

(6)

把xs=asinωt代入式(6)，得到

(7)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x=Esin(ωt-φ)，從而得到

其中,β為振幅放大因子，可以得到幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線如圖13和圖14所示。

圖11　幅頻響應(yīng)曲線(偏心質(zhì)量，Maxwell模型)

圖12　相頻響應(yīng)曲線(偏心質(zhì)量，Maxwell模型)

圖13　幅頻響應(yīng)曲線(支承運(yùn)動(dòng)，Kelvin模型)

根據(jù)牛頓第二定律可以得到圖4(b)的動(dòng)力學(xué)方程

(8)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x=Fsin(ωt-φ)，從而得到

其中,β為振幅放大因，可以得到幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線如圖15和圖16所示。

圖14　相頻響應(yīng)曲線(支承運(yùn)動(dòng)，Kelvin模型)

圖15　幅頻響應(yīng)曲線(支承運(yùn)動(dòng)，Maxwell模型)

圖16　相頻響應(yīng)曲線(支承運(yùn)動(dòng)，Maxwell模型)

從Kelvin模型和Maxwell模型的幅頻響應(yīng)曲線可以看到：

(1)當(dāng)λ?1,即ω?ωn時(shí)，Kelvin模型和Maxwell模型的振幅放大因子β都接近于1。當(dāng)λ?1,即ω?ωn時(shí)，Kelvin模型和Maxwell模型的振幅放大因子β都接近于0，而與激勵(lì)頻率及系統(tǒng)阻尼基本上無(wú)關(guān)。

(3)通過(guò)比較可以看出,在受支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)的情況下，Maxwell模型在小阻尼的情況沒(méi)有出現(xiàn)共振導(dǎo)致振幅過(guò)大的現(xiàn)象。

4　結(jié)論

本文研究了單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)下的Kelvin模型和Maxwell模型，分別求出了2種模型在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)、偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)和支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)3種情況下的幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線。通過(guò)比較2種模型的幅頻響應(yīng)曲線發(fā)現(xiàn)在偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)和支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)的情況下，Maxwell模型在小阻尼的情況系統(tǒng)響應(yīng)遠(yuǎn)小于Kelvin模型，從而具有較好的振動(dòng)控制效果。

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A Comparison Study on Kelvin and Maxwell Model for aForced Single Degree-of-freedom System

Wang Xiaoran,Shen Yongjun,Yang Shaopu

(Department of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

Considering the Kelvin and Maxwell model as the research objects, the system responses for the two models are studied based on forced vibration of single degree-of-freedom system. First, the forced vibration is divided into three conditions, such as forced vibration under harmonic excitation, eccentric quality and supporting motion. Under the three conditions, the analytical solutions of the two models are obtained based on the established motion differential equation. Then the analytical formula of amplitude magnification factor and phase difference are obtained, and the amplitude-frequency response curve and phase-frequency response curve are drawn out respectively. By comparing the amplitude-frequency response curves of the two models, it could be concluded that the control performance of Maxwell model is much better than that of the Kelvin model in the case of small damping, which is useful to the design and revision of vibration system.

Kelvin model;Maxwell model;forced vibration;amplitude-frequency response curve

2015-06-28責(zé)任編輯:劉憲福DOI:10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2016.03.13

國(guó)家自然科學(xué)基金(11372198)；河北省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)領(lǐng)軍人才計(jì)劃(LJRC018)；河北省高等學(xué)校高層次人才科學(xué)研究項(xiàng)目(GCC2014053)；河北省高層次人才資助項(xiàng)目(A201401001)

王孝然(1989-),男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)控制。E-mail:wangxiaoranedu@126.com

申永軍(1973-)，男，博士，教授，研究方向?yàn)闄C(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析與振動(dòng)控制。E-mail:shenyongjun@126.com

O328

A

2095-0373(2016)03-0070-06

王孝然, 申永軍, 楊紹普.單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)下Kelvin模型和Maxwell模型的比較[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,29(3):70-75.