李紹林，何應(yīng)輝，劉　偉

（紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南蒙自 661199）

具有輸出耦合的Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)輸出反饋牽制控制

李紹林，何應(yīng)輝，劉偉

（紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南蒙自 661199）

文章應(yīng)用自適應(yīng)控制技術(shù)并結(jié)合牽制控制的思想，在節(jié)點(diǎn)部分輸出狀態(tài)的情況下討論具有輸出耦合的無(wú)向Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題。通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)引入控制器，設(shè)計(jì)輸出反饋增益的在線自適應(yīng)更新協(xié)議，無(wú)向Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)能實(shí)現(xiàn)全局漸近輸出同步。最后，利用無(wú)標(biāo)度BA網(wǎng)絡(luò)作為數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了所提出理論結(jié)果的有效性。

同步；自適應(yīng)更新協(xié)議；牽制控制；Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；輸出耦合

0　引言

Lur'e系統(tǒng)是一類非常典型的非線性系統(tǒng)，通常它由一個(gè)線性系統(tǒng)和一個(gè)滿足扇區(qū)條件的非線性反饋系統(tǒng)所構(gòu)成，一些常見的非線性系統(tǒng)如Chua系統(tǒng)、Goodwin模型及超混沌系統(tǒng)等都可以歸結(jié)為L(zhǎng)ur'e的類型. 在理論上，Lur'e系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題一直是研究的熱點(diǎn)之一并產(chǎn)生了一些比較有影響力的結(jié)果［1-3］. Lur'e系統(tǒng)的同步問(wèn)題也廣泛應(yīng)用于諸如保密通信等工程技術(shù)領(lǐng)域［4-5］.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)由大量節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系所構(gòu)成的系統(tǒng)，它在自然和人類日常生活中常用來(lái)作為如生物網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)和物流網(wǎng)等的數(shù)學(xué)模型. 同步現(xiàn)象是動(dòng)態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為之一，已經(jīng)得到國(guó)內(nèi)外不同學(xué)科領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注和研究［6-8］. 由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性之一就是節(jié)點(diǎn)數(shù)目比較多，為網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)施加控制行為既不合理而且也難以實(shí)現(xiàn). 牽制控制［9-12］被廣泛應(yīng)用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究中，其特點(diǎn)在僅控制網(wǎng)絡(luò)中的一小部分節(jié)點(diǎn)就能實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)的同步，因此是一種較為有效而且低成本控制方法.

在大多數(shù)已有的文獻(xiàn)中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步判據(jù)往往是基于節(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)（full states）所給出的.但由于測(cè)量手段和觀測(cè)設(shè)備等人為因素的限制，獲取節(jié)點(diǎn)的全部狀態(tài)是不容易實(shí)現(xiàn)的. 在此情況下，僅利用節(jié)點(diǎn)的部分輸出狀態(tài)來(lái)實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輸出同步［13-15］的控制方法已經(jīng)得到了廣泛的關(guān)注和研究.在文獻(xiàn)［16］中，Liu等人基于輸出反饋控制策略研究了一個(gè)Lur'e動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的牽制同步問(wèn)題，利用LMIs的形式給出了有向和無(wú)向Lur'e網(wǎng)絡(luò)的同步判據(jù). 我們?cè)诖嘶A(chǔ)上，考慮了無(wú)向Lur'e網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)輸出牽制同步問(wèn)題并設(shè)計(jì)了牽制控制器增益的自適應(yīng)更新協(xié)議，該協(xié)議只依賴于牽制節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)誤差從而便于實(shí)際應(yīng)用. 數(shù)值仿真的結(jié)果表明所設(shè)計(jì)自適應(yīng)牽制控制器的有效性，特別指出在網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)連通和Lur'e系統(tǒng)可檢測(cè)的條件下，即使只采用一個(gè)控制器也能實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)同步.

1　預(yù)備知識(shí)與模型描述

1.1符號(hào)說(shuō)明

在本文中，我們使用如下的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)符號(hào).R 代表實(shí)數(shù)集，Rn表示n 維的實(shí)歐式空間.記Rm×n為所有m 行n 列的實(shí)矩陣的全體，In表示n階的單位矩陣.對(duì)于n 階方陣A∈Rn×n記號(hào)AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，A-1表示矩陣A 的逆矩陣.對(duì)于一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣B ，分別記λmax（B）與λmin（B）為矩陣B的最大與最小特征值，記號(hào)B＞0（B＜0）表示對(duì)稱矩陣B 是正定（負(fù)定）矩陣.記號(hào)diag（d1，d2，…，dn）表示主對(duì)角元素為d1，d2，…，dn的對(duì)角矩陣.記號(hào)?表示矩陣運(yùn)算的Kronecker積.

1.2圖論知識(shí)

無(wú)向網(wǎng)絡(luò)中的信息交換可以用一個(gè)加權(quán)圖g=｛V，E，W｝來(lái)表示，這里V=｛1，2，…，N｝是網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的集合；邊集E?V×V ，無(wú)序自然數(shù)對(duì)（i，j）∈E 表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i 與節(jié)點(diǎn)j能夠進(jìn)行信息交換，否則（i，j）?E 表示節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)j無(wú)法進(jìn)行信息交換；加權(quán)聯(lián)接矩陣W 中的元素ij用于衡量節(jié)點(diǎn)i 與節(jié)點(diǎn)j 之間的通信質(zhì)量，定義為

這里，不允許節(jié)點(diǎn)到它自身的通信（即不存在自環(huán)的情形），因此，對(duì)應(yīng)于加權(quán)聯(lián)接矩陣的Laplacian矩陣定義為

1.3基本引理

下面的引理是本文進(jìn)行理論證明所需要的，在此先作一個(gè)簡(jiǎn)要的陳述.

引理1［17］設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么任取則有

引理2［18］設(shè)矩陣，則下列線性矩陣不等式（LMI）

成立，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件其中一個(gè)成立：

引理3［19］如果是不可約矩陣，滿足如下條件：

引理4［20］對(duì)于具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣及數(shù)，有如下關(guān)于Kronecker積的等式成立：

1.4模型描述

對(duì)于Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1），考慮其孤立節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為

定義 Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1）與孤立節(jié)點(diǎn)（2）全局漸近同步，是指在任意初始條件下都成立

當(dāng)系統(tǒng)（1）本身無(wú)法實(shí)現(xiàn)與孤立節(jié)點(diǎn)（2）全局漸近同步時(shí)，對(duì)系統(tǒng)施加控制是一種最為常用的手段. 為此，對(duì)系統(tǒng)（1）引入控制輸入，即考慮如下的受控系統(tǒng)：

在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的數(shù)目往往是非常多，受控制成本的限制，對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都施加控制是不現(xiàn)實(shí)和無(wú)法實(shí)施的，為此我們引入牽制控制（Pinning Control）的策略，也就是說(shuō)在網(wǎng)絡(luò)中一小部分節(jié)點(diǎn)上施加控制. 記

分別為全部和牽制的節(jié)點(diǎn)集合. 在本文中，我們?cè)O(shè)計(jì)如下的牽制時(shí)變輸出反饋控制器

這里，特別指出正定矩陣P將用于受控系統(tǒng)（3）中輸出反饋增益矩陣Γ的設(shè)計(jì).

此外，由（2），（3）和（4）式可得如下的同步誤差系統(tǒng)

根據(jù)以上討論，受控系統(tǒng)（3）與孤立節(jié)點(diǎn)（2）全局漸近同步問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)（8）在平凡零解的全局漸近穩(wěn)定問(wèn)題.

2　牽制策略下無(wú)向Lur'e網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步協(xié)議

利用上述正定矩陣P ，構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

則有

綜上所述，誤差系統(tǒng)（10）能實(shí)現(xiàn)全局漸近穩(wěn)定，從而受控系統(tǒng)（3）在所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)更新協(xié)議（9）下與孤立節(jié)點(diǎn)（2）達(dá)到全局漸近同步，控制器的時(shí)變反饋增益將漸近穩(wěn)定于某一確定數(shù)值，定理得證.

3　數(shù)值仿真

在本節(jié)中，通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)值仿真實(shí)例來(lái)說(shuō)明所提出理論結(jié)果的有效性?？紤]如下由100個(gè)節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成，形如（3）式的一個(gè)Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型：

圖1　單個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)的混沌狀態(tài)

圖2　由100個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)

圖3　網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)誤差ei1（t ）

圖4　網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)誤差ei1（t ）

圖5　網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)誤差ei1（t ）

圖6　隨機(jī)選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的控制器增益ei1（t ）

4　結(jié)論

在本文中，我們考慮了無(wú)向Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)輸出同步問(wèn)題. 根據(jù)牽制控制的思想，僅將控制器配置在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中的一小部分上以實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輸出同步. 在實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)同步的過(guò)程中，我們利用牽制時(shí)變輸出反饋控制器代替?zhèn)鹘y(tǒng)的反饋控制器并設(shè)計(jì)了相應(yīng)反饋增益的在線自適應(yīng)更新協(xié)議，由系統(tǒng)同步誤差所決定的反饋控制增益可以有效地避免人為選取，從而能達(dá)到有效地降低控制成本. 通過(guò)Lyapunov函數(shù)方法和LaSalle不變集原理，我們從理論上嚴(yán)格證明了所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)方案的合理性，在無(wú)標(biāo)度BA網(wǎng)絡(luò)上數(shù)值仿真則說(shuō)明了理論結(jié)果有效性.在自然環(huán)境下，時(shí)滯以及噪聲的干擾對(duì)于一個(gè)網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)是不可避免的，在Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中考慮上述因素所帶來(lái)的影響則會(huì)是一個(gè)非常有意義的研究主題，這也是我們將來(lái)致力于考慮的研究?jī)?nèi)容.

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［責(zé)任編輯 張燦邦］

Pinning Control for Lur'e Complex Network with Output Coupling via Adaptive Output Feedback Technique

LI Shao-lin，HE Ying-hui，LIU Wei
（Department of Mathematics and Applied Mathematics，Honghe University，Mengzi 661199，Yunnan，China）

Using adaptive technique and pinning control，the synchronization of undirected Lur'e network with output coupling is investigated，in which only part of nodes' states are known. For the purpose of synchronize all nodes to homogeneous state，an adaptive online update protocol that is dependent on output feedback is designed and applied to a fraction of nodes in Lur'e complex network. Finally，based on scale-free BA network，a numerical simulation is provided to demonstrate the effectiveness of the theoretical result.

Synchronization； Adaptive update protocol； Pinning control； Lur'e complex network； Output coupling

O29

A

1008-9128（2016）05-0060-06

10.13963/j.cnki.hhuxb.2016.05.017

2015-09-10

紅河學(xué)院校級(jí)科研基金項(xiàng)目（XJ15SX03）

李紹林（1977-），男，云南石屏人，副教授，碩士，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。