蒙特卡洛仿真在概率計(jì)算中的研究

馬德宜1，柳福祥2
（1.三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，湖北宜昌443002；2.三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌443002）

從直觀感受出發(fā)研究了蒙特卡洛仿真在概率計(jì)算中的趣味性、有效性和可行性。采用理論與蒙特卡洛仿真相結(jié)合的方法，提高了理解隨機(jī)變量等核心概念實(shí)質(zhì)的能力，同時(shí)促進(jìn)了概率計(jì)算創(chuàng)新思維能力的提升。以幾何概型、連續(xù)型隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望和獨(dú)立同分布等典型概率計(jì)算問題為例給出了具體的蒙特卡洛仿真算法。

概率計(jì)算；蒙特卡洛；創(chuàng)新思維

創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)是現(xiàn)代教育的核心內(nèi)容之一，如何在概率計(jì)算中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力是概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革的重點(diǎn)內(nèi)容之一［1］。概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革已經(jīng)從多個(gè)角度進(jìn)行了探討［2］，比如數(shù)學(xué)建模思想［3］、蒙特卡洛仿真［4-5］等。為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，結(jié)合實(shí)際課堂教學(xué)科研經(jīng)驗(yàn)，首先基于隨機(jī)變量的理論推導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概率計(jì)算問題的邏輯思維；然后讓學(xué)生自行完成蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)題目的直觀感受，從而促進(jìn)學(xué)生理解隨機(jī)變量的實(shí)質(zhì)，拓展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力；仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)束之后，分小組進(jìn)行討論總結(jié)，從多方面鞏固與強(qiáng)化課堂教學(xué)質(zhì)量。本文中將分別給出幾何概型、連續(xù)型隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望和獨(dú)立同分布等典型概率問題相關(guān)的仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

1　幾何概型

幾何概型與古典概型相對(duì)，將等可能事件的總數(shù)從有限延伸到無限。其主要特點(diǎn)為隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

例1甲乙輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊2艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)的時(shí)刻是等可能的。如果甲船的停泊時(shí)間是1 h，乙船的停泊時(shí)間是2 h，求任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率。

為直觀地理解此類題目，采用蒙特卡洛的方法來模擬。首先產(chǎn)生N組隨機(jī)數(shù)（x，y），其中x，y都服從［0，24］上的均勻分布；其次，統(tǒng)計(jì)這些隨機(jī)數(shù)中滿足條件y-x≥1或x-y≥2的對(duì)數(shù)，記為M；最后計(jì)算概率p=M/N。蒙特卡洛模擬的Matlab偽代碼如下：

為了比較蒙特卡洛模擬結(jié)果與理論概率之間的關(guān)系，通過改變模擬總次數(shù)得到圖1。

圖1　等候碼頭空出概率的估計(jì)值

2　連續(xù)型隨機(jī)變量

在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí)，一般就是求相應(yīng)區(qū)間的定積分，被積函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。

例2一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在8～12時(shí)，他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在7～9時(shí)，設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立。求它們到達(dá)辦公室的時(shí)間差不超過5 min的概率。

解設(shè)X和Y分別是負(fù)責(zé)人和他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間（h），按照題意可知所要求的概率為

為更加直觀地理解此類題目，采用蒙特卡洛的方法來模擬。首先產(chǎn)生N個(gè)服從［8，12］的均勻隨機(jī)數(shù)X，同時(shí)產(chǎn)生N個(gè)服從［7，9］的均勻隨機(jī)數(shù)Y；其次，統(tǒng)計(jì)這些隨機(jī)數(shù)中滿足條件的對(duì)數(shù)，記為M；最后計(jì)算概率p=M/N。蒙特卡洛模擬的Matlab偽代碼如下：

為了比較蒙特卡洛模擬結(jié)果與理論值之間的關(guān)系，通過改變模擬總次數(shù)得到圖2。

圖2　到達(dá)辦公室時(shí)間差的概率

3　數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望是一種隨機(jī)變量的數(shù)字特征。對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言，數(shù)學(xué)期望就是隨機(jī)變量的取值以它們的概率為權(quán)的加權(quán)平均。

例3某車站每天8：00～9：00，9：00～10：00都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，其規(guī)律如表1所示，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。

表1　到站時(shí)刻的規(guī)律

旅客8：20到車站，求候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。

解設(shè)旅客的候車時(shí)間為X（m）。根據(jù)表1的數(shù)據(jù)可得到X的分布律如表2所示。

表2　X的分布律

候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為E（X）=27.22。

為直觀地理解此類題目，采用蒙特卡洛的方法來模擬。首先產(chǎn)生N個(gè)服從［1，6］的均勻隨機(jī)整數(shù)X，同時(shí)產(chǎn)生N個(gè)服從［1，6］的均勻隨機(jī)整數(shù)Y；其次記A=［10 30 30 30 50 50］，B=60+［10 30 30 30 50 50］，如果X（i）==1，則M=M+B（y（i））-20；否則M= M+A（x（i））-20；最后計(jì)算平均數(shù)p=M/N，即候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的近似值。蒙特卡洛模擬的Matlab偽代碼如下：

為了比較蒙特卡洛模擬結(jié)果與理論期望值之間的關(guān)系，通過改變模擬總次數(shù)得到圖3。

圖3　N取值候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望

4　獨(dú)立同分布

對(duì)于離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性，可用分布律來描述。設(shè)（X，Y）是離散型隨機(jī)變量，則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)于（X，Y）的所有可能取的值（xi，yj），i=1，2，…；j=1，2，…

例4一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有10個(gè)車站可以下車。如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)，求E（X）（設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各位旅客是否下車相互獨(dú)立）。

解引入隨機(jī)變量

按題意，任一旅客在第i站不下車的概率為9/10，因此20位旅客都不在第i站下車的概率為，在第i站有人下車的概率為，即

為了更加直觀地理解此類題目，采用蒙特卡洛的方法來模擬。首先產(chǎn)生20 N個(gè)服從［1，10］的均勻隨機(jī)整數(shù)X；其次，統(tǒng)計(jì)每列中包含1-10中數(shù)字的個(gè)數(shù)，再將所有個(gè)數(shù)求和結(jié)果記為M；最后計(jì)算概率p=M/N。蒙特卡洛模擬的Matlab偽代碼如下：

X=randint（20，N，［1，10］）；M=0；

for i=1：N

Temp=每列中含1-10中數(shù)字的個(gè)數(shù)；

M=M+temp；

end

p=M/N%最后的近似次數(shù)

為了比較蒙特卡洛模擬結(jié)果與理論期望值之間的關(guān)系，通過改變模擬總次數(shù)得到圖4。

圖4　N取值停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望

5　結(jié)論

結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，對(duì)幾何概型、連續(xù)型隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望和獨(dú)立同分布等知識(shí)點(diǎn)，從概率理論推導(dǎo)和蒙特卡洛仿真方面，詳細(xì)給出了計(jì)算思路。通過改變模擬總次數(shù)得到蒙特卡洛模擬結(jié)果與理論期望值之間的關(guān)系，當(dāng)N大于20 000次之后，蒙特卡洛模擬的結(jié)果就與理論數(shù)學(xué)期望值非常接近了，其結(jié)果相互佐證。實(shí)際效果表明：學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的這些知識(shí)點(diǎn)的理解更加透徹，提高了他們學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的興趣，為提升他們的創(chuàng)新思維能力提供了一種新的思路。

［1］高晴，徐全智，黃廷祝.概率統(tǒng)計(jì)課程中數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維訓(xùn)練方法及實(shí)踐［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30（3）：51-56.

［2］鐘波，劉瓊蓀，劉朝林，等.深化工科概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力［J］.中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2007（3）：59-61.

［3］覃思義，徐全智，杜鴻飛，等.數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的探索性思考及實(shí)踐［J］.中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2010，1（3）：36-39.

［4］劉東亮，徐浩軍，蔡軍，等.基于Monte Carlo仿真的小概率事件評(píng)估算法穩(wěn)定性研究［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2012，42（10）：68-73.

［5］鄭喜英，孔波.基于Matlab的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，23（1）：56-50.

Research on Monte Carlo Method in Probability Computation

Ma Deyi1，Liu Fuxiang2
（1.College of Hydraulic&Environmental Engineering，Three Gorges University，Yichang 443002，China；2.College of Science，Three Gorges University，Yichang 443002，China）

From the visual sense，Monte Carlo's interesting，validity and practicality in the probability computation were discussed.The ability of comprehending the essence of random variable was improved by combining probability theory with Monte Carlo method.Meanwhile the innovative thinking ability of probability computation was enhanced.The four classical probability computation problems such as geometric probability model，continuous random variable，mathematical expectation and independent identicaldistributewerestudiedthroughMonteCarlomethod.

probability computation；Monte Carlo；innovative thinking

O211

A

1008-5483（2016）03-0077-04

10.3969/j.issn.1008-5483.2016.03.018

2016-04-07

三峽大學(xué)科學(xué)基金（KJ2013B030，KJ2013B031）

馬德宜（1981-），男，湖北鐘祥人，博士，從事概率方面的研究。E-mail：mdysave@163.com