黃　亮　 郭　彤　 徐偉杰

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室,南京210096)

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實(shí)時(shí)混合模擬誤差的理論分析及試驗(yàn)驗(yàn)證

黃亮 郭彤 徐偉杰

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室,南京210096)

為研究實(shí)時(shí)混合模擬中幅值比率誤差和時(shí)滯對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響,選用彈簧作為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究,觀測(cè)和分析了測(cè)量位移與計(jì)算位移之間的微小誤差．假定在試驗(yàn)過程中幅值比率誤差和時(shí)滯處處相等,采用時(shí)滯微分方程建立了實(shí)時(shí)混合模擬的數(shù)學(xué)模型,給出了微時(shí)滯下自由振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的近似解．結(jié)果表明,理論分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較為相似,說明所提數(shù)學(xué)模型具有合理性和準(zhǔn)確性．誤差會(huì)導(dǎo)致作用在試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)上的外力失真,并影響了數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移峰值和穩(wěn)態(tài)振幅．理論分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間的微小差異主要受假設(shè)簡(jiǎn)化、測(cè)量噪聲、累積誤差等因素的影響．

實(shí)時(shí)混合模擬;時(shí)滯微分方程;誤差分析;幅值比率誤差;時(shí)滯

實(shí)時(shí)混合模擬[1]是一種新型抗震試驗(yàn)方法,其核心是將低速的擬動(dòng)力試驗(yàn)快速化、同步化,適用于試驗(yàn)對(duì)象局部不規(guī)則、非線性等復(fù)雜情況．

本文采用實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)方法,研究了以彈簧為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的單自由度體系在簡(jiǎn)諧振動(dòng)和地震作用下的響應(yīng)．采用時(shí)滯微分方程建立了實(shí)時(shí)混合模擬的數(shù)學(xué)模型,給出了微時(shí)滯條件下方程的近似解,并對(duì)誤差進(jìn)行了分析．

1　實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)原理及步驟

實(shí)時(shí)混合模擬是一種數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)加載進(jìn)行同步數(shù)據(jù)交互的聯(lián)機(jī)試驗(yàn)方法,其原理如圖1所示．

圖1　實(shí)時(shí)混合模擬原理示意圖

試驗(yàn)將研究對(duì)象分為數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗(yàn)子結(jié)構(gòu),數(shù)值子結(jié)構(gòu)由有限元數(shù)值模擬,試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)由作動(dòng)器同步施加荷載并測(cè)量反力．試驗(yàn)步驟如下[2]:

① 將研究對(duì)象在空間和時(shí)間上離散,建立結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型和離散運(yùn)動(dòng)方程,即

(1)

④ 重復(fù)步驟②和③,直至試驗(yàn)結(jié)束．

試驗(yàn)流程如圖2所示．圖中,N為試驗(yàn)步數(shù)．

圖2　實(shí)時(shí)混合模擬流程圖

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)作動(dòng)器機(jī)械傳動(dòng)具有滯后性．作動(dòng)器運(yùn)動(dòng)需通過數(shù)電信號(hào)變換、油源增壓、液壓傳導(dǎo)和活塞驅(qū)動(dòng)等步驟,因而不能同步、準(zhǔn)確地抵達(dá)指定位置,由此產(chǎn)生的時(shí)間延遲即為時(shí)滯．作動(dòng)器到達(dá)的實(shí)際位置與指令位置的比值(即測(cè)量位移與計(jì)算位移的比值)為幅值比率誤差．文獻(xiàn)[3]指出時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生負(fù)阻尼效應(yīng),破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性,導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果發(fā)散,影響試驗(yàn)數(shù)據(jù)同步耦合．目前,多采用補(bǔ)償方法(如多項(xiàng)式外推法、倒轉(zhuǎn)補(bǔ)償、自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)?減少誤差的影響．本文主要分析的是時(shí)滯效應(yīng)的影響,故未采用補(bǔ)償方法．

2　單自由度實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)

本試驗(yàn)是以彈簧為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的單自由度體系實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn),目的在于驗(yàn)證幅值比率誤差和時(shí)滯的存在,并采用理論和試驗(yàn)對(duì)比分析方法研究幅值比率誤差和時(shí)滯對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響．

試驗(yàn)中的數(shù)值子結(jié)構(gòu)為一個(gè)單層兩跨平面框架,利用有限元軟件模擬其水平振動(dòng);試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)為獨(dú)立彈簧,可在水平方向拉伸壓縮．由作動(dòng)器對(duì)試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)同步施加外力,通過數(shù)據(jù)交互技術(shù)對(duì)數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的反力進(jìn)行同步耦合．試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D3所示．

圖3　試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛨D

2.1試驗(yàn)設(shè)備

試驗(yàn)于東南大學(xué)九龍湖土木交通實(shí)驗(yàn)室內(nèi)完成,設(shè)備及材料包括反力架、作動(dòng)器和試驗(yàn)彈簧．作動(dòng)器型號(hào)為MTS 244.21,最大輸出荷載為50 kN,最大位移為±250 mm．試驗(yàn)彈簧剛度為3.5 N/mm,伸縮范圍為±30 mm．試驗(yàn)軟件包括有限元軟件OpenSees和數(shù)學(xué)運(yùn)算軟件Matlab．設(shè)備裝置如圖4所示.

2.2試驗(yàn)參數(shù)

2.2.1 參數(shù)設(shè)定

剛性梁質(zhì)量m=3 546.3 kg,阻尼比ξ=0.05．梁剛度遠(yuǎn)大于柱剛度,數(shù)值子結(jié)構(gòu)近似為水平方向的單自由度體系,等效側(cè)向剛度kN=31.5 N/mm．試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的彈簧剛度kE=3.5 N/mm;試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)剛度占整體剛度的比例η=0.1．

系統(tǒng)初始位移和速度均為零, 分別受到4種簡(jiǎn)諧激勵(lì)和3種地震激勵(lì)作用,采樣頻率均為50 Hz．激勵(lì)信號(hào)如表1所示．

(a) 系統(tǒng)示意圖

(b) 試驗(yàn)裝置圖圖4　設(shè)備裝置

表1　激勵(lì)信號(hào)表

2.2.2積分算法

試驗(yàn)采用Matlab軟件中的Simulink模塊進(jìn)行流程控制,控制步長(zhǎng)為1/1 024 s．在有限元軟件OpenSees中選用了α-OS積分算法[4],該算法是一種預(yù)測(cè)-修正算法,通過引入?yún)?shù)α來修正運(yùn)動(dòng)方程,具有自主控制能量耗散的優(yōu)點(diǎn)．

2.3試驗(yàn)結(jié)果及分析

(2)

在正弦波Ω3和NJ波的激勵(lì)下,計(jì)算位移與測(cè)量位移的響應(yīng)圖及追蹤指示誤差TI分析圖見圖5．

表2　頻域分析結(jié)果

由表2還可發(fā)現(xiàn),ENRMS,α,τ三種誤差均隨位移輸入信號(hào)頻率的增加而增大,并具有一定的隨機(jī)性．這是因?yàn)楹琍ID校準(zhǔn)的作動(dòng)器控制軟件對(duì)低頻信號(hào)追蹤較好,而對(duì)于高頻信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)的追蹤表現(xiàn)則一般．試驗(yàn)中,輸入信號(hào)為正弦波Ω4時(shí)誤差最大,此時(shí)ENRMS=1.69%,τ=15.5 ms,α=1.023 9．由此可知,該實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)的同步性較差．

3　含誤差的實(shí)時(shí)混合模擬模型分析

3.1實(shí)時(shí)混合模擬數(shù)學(xué)模型

采用直接平衡法[7],實(shí)時(shí)混合模擬的連續(xù)運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

假設(shè)數(shù)值子結(jié)構(gòu)與試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的反力分別僅與計(jì)算位移和測(cè)量位移相關(guān),即

FN(t)=kNxc(t),FE(t)=kExm(t)

(4)

理想狀況下,試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)與數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移完全相等,即xm(t)=xc(t);而在試驗(yàn)中,試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移與指令信號(hào)之間存在著幅值比率誤差α和時(shí)滯τ．假設(shè)xm(t)與xc(t)之間的幅值比率誤差α和時(shí)滯τ在試驗(yàn)過程中處處相等,即

xm(t)=αxc(t-τ)

(5)

(6)

式(6)為時(shí)滯微分方程．根據(jù)表2中的試驗(yàn)分析結(jié)果及伺服系統(tǒng)的模型分析[8]可知,幅值比率誤差和時(shí)滯的誤差均較小,本文僅考慮微時(shí)滯下時(shí)滯微分方程的解,即α,τ的取值范圍分別為[0.95, 1.05]和[0,0.05] s．

3.2微時(shí)滯自由振動(dòng)方程的近似解

當(dāng)α與τ存在誤差時(shí),式(6)可改寫為

αηω2xc(t-τ)=0

(7)

理想條件下,計(jì)算位移與測(cè)量位移完全同步且相等．設(shè)x(t)為t時(shí)刻的理想位移,則式(6)可表示為

(8)

式(8)在低阻尼體系(ξ<1)下的通解為

(9)

當(dāng)結(jié)構(gòu)處于低阻尼(ξ<1)狀態(tài)時(shí),令xc(t)=exp(λt),則式(7)的特征方程[9-10]可表示為

λ2+2ωξλ+(1-η)ω2+αηω2exp(-λτ)=0

(10)

式中,λ為特征值．式(10)為超越方程,僅有數(shù)值解．

低阻尼體系中,特征值較小,故將exp(-λτ)級(jí)數(shù)展開并保留前2項(xiàng),則式(10)可近似為

λ2+2ωξλ+(1-η)ω2+αηω2(1-λτ)=0

(11)

式(11)的解為

(12)

(13)

當(dāng)α=1,τ=0時(shí),式(13)可退化為式(9)．

3.3微時(shí)滯簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程的解

式(6)中,當(dāng)系統(tǒng)外激勵(lì)p(t)為幅值p0、頻率Ω的正弦簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí),受迫動(dòng)方程在理想條件和誤差條件下可分別表示為

(14)

(15)

式(14)的通解為

x(t)=(AcosωDt+BsinωDt)exp(-ξωt)+

(16)

式中,β=Ω/ω．

設(shè)式(15)的特解為

式中

G=[1-β2-η+αηcos(Ωτ)]2+

[-2ξβ+αηsin(Ωτ)]2

G1sinΩt+G2cosΩt

(17)

式中

A=x(0)-G2

當(dāng)系統(tǒng)外激勵(lì)為隨機(jī)信號(hào)時(shí),可先將隨機(jī)信號(hào)通過傅里葉變換分解為不同頻率的正弦信號(hào),并依次采用式(17)得到各頻率下計(jì)算位移理論解;然后,將各頻率的理論解進(jìn)行疊加,便可求出實(shí)時(shí)混合模擬在隨機(jī)信號(hào)下的響應(yīng)．

3.4幅值比率誤差和時(shí)滯的影響

由式(16)和(17)可知,實(shí)時(shí)混合模擬中α,τ對(duì)數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移峰值和穩(wěn)態(tài)振幅均產(chǎn)生影響,且試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)剛度比例η越大,影響越明顯．

令ρ為在誤差條件和理想條件下數(shù)值子結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)振幅的比值．α,τ對(duì)ρ的影響見圖6．由圖可知,隨著α和τ的增大,ρ也逐漸增大．

圖6　α,τ對(duì)ρ的影響

圖7顯示了誤差條件下數(shù)值子結(jié)構(gòu)位移正、負(fù)峰值與其在理想條件下的差值Δ+p和Δ-p．由圖可知,隨著α和τ的增大,Δ+p逐步增大;隨著α的減小和τ的增大,Δ-p逐步減?。?/p>

(a) 正峰值誤差

(b) 負(fù)峰值誤差圖7　峰值誤差圖

4　誤差影響分析

試驗(yàn)中誤差α和τ影響了試驗(yàn)結(jié)果的可靠性．本節(jié)將理論計(jì)算和數(shù)學(xué)模擬分析結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比．采用Matlab軟件中Simulink模塊進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬,流程圖見圖8．

圖8　Simulink模塊流程圖

表3　計(jì)算位移分析表

表4　測(cè)量位移分析表

圖10　正弦波Ω3激勵(lì)下反力測(cè)量值與模擬值對(duì)比

理想條件下數(shù)值子結(jié)構(gòu)位移x的正、負(fù)峰值分別為4.615和-4.914 mm,穩(wěn)態(tài)振幅為2.024 mm．由表3可知,試驗(yàn)中α和τ使數(shù)值子結(jié)構(gòu)位移峰值略微增大,穩(wěn)態(tài)幅值基本保持不變．由于試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)剛度比率η較小,誤差對(duì)數(shù)值子結(jié)構(gòu)影響較?。囼?yàn)子結(jié)構(gòu)受到α,τ的影響,使作用在試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)上的外力嚴(yán)重失真,影響了試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)材料性能的發(fā)揮,導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的可信度降低．因此,需在實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)中應(yīng)用補(bǔ)償方法來減少時(shí)滯效應(yīng),以提高試驗(yàn)結(jié)果的可靠性．

5　結(jié)語

本文選用彈簧為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu),進(jìn)行了單自由度體系實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn),觀測(cè)到測(cè)量位移與計(jì)算位移之間存在著微小的幅值比率誤差和時(shí)滯．誤差使作用在試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)上的外力失真,同時(shí)影響了數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移峰值和穩(wěn)態(tài)振幅．因此,在實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)中應(yīng)用補(bǔ)償方法是必要的．文中假設(shè)在試驗(yàn)過程中α和τ處處相等,采用時(shí)滯微分方程建立了實(shí)時(shí)混合模擬數(shù)學(xué)模型,并給出了微時(shí)滯下方程的近似解．分析表明,該數(shù)學(xué)模型較為合理,模擬結(jié)果較為準(zhǔn)確．理論分析與試驗(yàn)結(jié)果之間的誤差受假設(shè)簡(jiǎn)化、測(cè)量噪聲、累積誤差等因素的影響.

References)

[1]Nakashima M, Kato H, Takaoka E. Development of real-time pseudo dynamic testing[J].EarthquakeEngngStructDyn, 1992, 21(1):79-92. DOI:10.1002/eqe.4290210106.

[2]陳永盛, 吳斌, 王貞, 等. 基于Simulink的混合試驗(yàn)系統(tǒng)及其驗(yàn)證[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014, 33(7): 18-23. DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2014.07.004.

Chen Yongsheng, Wu Bin, Wang Zhen, et al. Simulation and validation of a hybrid testing system with Simulink[J].JournalofVibrationandShock， 2014, 33(7): 18-23. DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2014.07.004. (in Chinese)

[3]Horiuchi T, Inoue M, Konno T, et al. Real-time hybrid experimental system with actuator delay compensation and its application to a piping system with energy absorber[J].EarthquakeEngngStructDyn, 1999, 28(10):1121-1141. DOI:10.1002/(sici)1096-9845(199910)28:10<1121::aid-eqe858>3.3.co;2-f.

[4]Chung J, Hulbert G M. A time integration algorithm for structural dynamics with improved numerical dissipation: The generalized-α method[J].JournalofAppliedMechanics, 1993,60(2):371-375. DOI:10.1115/1.2900803.

[5]Guo T, Chen C, Xu W, et al. A frequency response analysis approach for quantitative assessment of actuator tracking for real-time hybrid simulation[J].SmartMaterStruct, 2014, 23(4):045042. DOI:10.1088/0964-1726/23/4/045042.

[6]Mercan O. Analytical and experimental studies on large scale real-time pseudo dynamic testing[D]. Bethlehem, PA, USA: Department of Civil and Environmental Engineering,Lehigh University, 2007.

[7]Clough R W, Penzien J.Dynamicsofstructures[M]. New York: McGraw-Hill, 1975: 9-32.

[8]Carrion J, Spencer B F. Real-time hybrid testing using model-based delay compensation[J].SmartStructuresandSystems, 2006,4(6):809-828. Taibei,China,2006: 299.

[9]內(nèi)藤敏機(jī),原惟行,日野義之, 等. 時(shí)滯微分方程——泛函微分方程引論[M]. 馬萬彪,等譯. 北京:科學(xué)出版社, 2013:21-27.

[10]魏駿杰,王洪濱,蔣衛(wèi)華. 時(shí)滯微分方程的分支理論及應(yīng)用[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2012:22-34.

Theoretical analysis and experimental verification of errors in real-time hybrid simulation

Huang LiangGuo TongXu Weijie

(Key Laboratory of Concrete and Pre-stressed Concrete Structures of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China)

To investigate the influences of the amplitude ratio error and the time delay on the results in real-time hybrid simulation (RTHS), an experiment, taking a spring as the experimental substructure, was conducted and the micro errors between the measured displacements and the calculated displacements were observed and analyzed. Assuming that the amplitude ratio error and the time delay were constant in the experiment, a RTHS mathematical model was developed by using the time delay differential equations, and the approximate solutions of the micro time delay formulas in free and simple harmonic vibration were derived, respectively. The results show that theoretical results and the experimental results are similar, proving the rationality and the accuracy of the mathematical model. The errors distort the force acting on the experimental substructure, and affect the peak displacement and the steady amplitude of the numerical substructure. The micro errors between the theoretical results and the experimental results are affected by simplified assumption, measured noise, accumulative errors and so on.

real-time hybrid simulation; time delay differential equation; error analysis; amplitude ratio error; time delay

10.3969/j.issn.1001-0505.2016.05.025

2015-12-28.作者簡(jiǎn)介: 黃亮(1986—)，男，博士生; 郭彤(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，guotong@seu.edu.cn.

江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目(1105007002).

TU317.2

A

1001-0505(2016)05-1045-06

引用本文: 黃亮,郭彤,徐偉杰.實(shí)時(shí)混合模擬誤差的理論分析及試驗(yàn)驗(yàn)證[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,46(5):1045-1050. DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.05.025.