李　娟，范梓淼，周菊玲

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017）

廣義指數(shù)分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)

李娟，范梓淼，周菊玲*

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017）

文章在總體服從廣義指數(shù)分布時(shí)，抽取樣本X1，X2…，Xn，設(shè)X（1），X（2），…，X（n）為其順序統(tǒng)計(jì)量，研究了（X（1），X（2），…，X（n））的聯(lián)合概率密度函數(shù)；X（1）和X（n）的密度函數(shù)。進(jìn)而得到了X（1）和X（n）的數(shù)學(xué)期望和方差，證明X（1），X（2）-X（1），…，X（n）-X（n-1）不獨(dú)立且不同分布。

廣義指數(shù)分布；順序統(tǒng)計(jì)量；數(shù)學(xué)期望；方差

順序統(tǒng)計(jì)量是概率統(tǒng)計(jì)中一類很重要的隨機(jī)變量，它的分布在隨機(jī)過程特別是泊松過程和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中都有著諸多的應(yīng)用。本文運(yùn)用下面的原理構(gòu)成理論基礎(chǔ)：設(shè)n個(gè)電路元件的工作壽命為X1，X2，…，Xn。若將它們組成一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)，且系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)n個(gè)元件均正常工作，于是該系統(tǒng)能正常工作的壽命為若將它們組成一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，且系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)元件正常工作，于是該系統(tǒng)能正常工作的壽命為由于GE（廣義指數(shù)分布）對于偏斜的壽命數(shù)據(jù)有很好的分析效果，而且還可以作為Gamma分布和Weibull分布的替代分布，因而在壽命試驗(yàn)和可靠性工程中有著重要的應(yīng)用，也是統(tǒng)計(jì)學(xué)家和實(shí)際工作者十分關(guān)心的一個(gè)問題，因此對廣義指數(shù)分布的研究有著十分重要的實(shí)際意義［15］。文章考慮廣義指數(shù)分布：當(dāng)Xk服從參數(shù)為θ和λ的廣義指數(shù)分布，其中θ（θ＞0）為形狀參數(shù)，λ（λ＞0）為尺度參數(shù)，即廣義指數(shù)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

條件下順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)。

引理1［16-18］：設(shè)｛Xk:1≤k≤n｝獨(dú)立同分布，有相同的分布函數(shù)F（x）和密度函數(shù)f（x），X（1），X（2），…，X（n）為其順序統(tǒng)計(jì)量，則

（2）X（k）的密度函數(shù)為

1　主要結(jié)果及結(jié)論

定理1：設(shè)｛Xk: 1≤k≤n｝獨(dú)立同分布，Xk服從參數(shù)為θ（θ＞0）和λ（λ＞0）的廣義指數(shù)分布，則：

（1）（X（1），X（2），…，X（n））的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

（2）X（1）的密度函數(shù)為

（3）X（n）的密度函數(shù)為

證明：由引理1及廣義指數(shù)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)可得。

注：X（n）=max｛X1，X2…，Xn｝仍然服從兩參數(shù)分別為nθ和λ的廣義指數(shù)分布。X（1）=｛X1，X2…，Xn｝不服從廣義指數(shù)分布，但是其概率密度函數(shù)可表示為n個(gè)不同的廣義指數(shù)分布密度函數(shù)的線性組合。事實(shí)上，其概率密度函數(shù)的非零部分為

其中上式第二個(gè)等號是由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)得到的。由此可見，f1（x）概率密度函數(shù)可表示為兩參數(shù)分別為（i+1） θ（0≤i≤n-1）和λ的n個(gè)不同廣義指數(shù)分布密度函數(shù)的線性組合。

定理2：設(shè)｛Xk: 1≤k≤n｝相互獨(dú)立同分布，且Xk服從兩參數(shù)分別為θ（θ＞0）和λ（λ＞0）的廣義指數(shù)分布，X（1）=｛X1X，2…，Xn｝，X（n）=max｛X1，X2…，Xn｝則

證明不妨設(shè)Y1=X（1），Y2=X（2）-X（1），令y1=x1，y2=x2-x1，則x1=y1，x2=y1+y2，其雅可比行列式|J|=1，從而由定理1中的（1）知（Y1，Y2）的聯(lián)合密度函數(shù)為

另一方面，根據(jù)定理1可得y1的密度函數(shù)為

顯然g（y1，y2）≠g1（y1）g2（y2），故X（1），X（2）-X（1）不獨(dú)立且不同分布。

同理可證如下定理：

2　結(jié)語

［1］匡能輝.拉普拉斯分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，27（3）：34-37.

［2］匡能輝.三參數(shù)Pareto分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，43（2）：10-15.

［3］匡能輝.關(guān)于Gamma分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013（3）：166-168.

［4］匡能輝.關(guān)于瑞利分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，28（2）：11-15.

［5］匡能輝.關(guān)于χ2分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，32（4）：396-400.

［6］匡能輝.關(guān)于帕累托分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，23（4）：18-21.

［7］匡能輝.關(guān)于兩參數(shù)瑞利分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，32（6）：678-651.

［8］姜培華，范國良.關(guān)于三參數(shù)威布爾分布順序統(tǒng)計(jì)量的概率分布性質(zhì)探討［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2015，27（6）：27-30.

［9］姜培華.關(guān)于威布爾分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，18（1）：47-50.

［10］姜培華.自由分布順序統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)的概率分布［J］.池州學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，25（3）：9-11.

［11］姜培華.艾拉姆咖分布順序統(tǒng)計(jì)量的概率分布及漸進(jìn)性質(zhì)［J］.南通大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，14（2）：64-68.

［12］姜培華.雙參數(shù)指數(shù)分布順序統(tǒng)計(jì)量的概率分布性質(zhì)［J］.哈爾濱師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，29（5）：25-28.

［13］賀嘉，杜超雄.關(guān)于指數(shù)分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.湖南科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，26（3）：125-128.

［14］王曉紅，姜澤.關(guān)于冪分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)［J］.吉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（4）：108-110.

［15］郭環(huán).兩參數(shù)廣義指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)與數(shù)值模擬［J］.華中科技大學(xué)碩士論文，2013.

［16］茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論［M］.高等教育出版社，2006：14-15.

［17］何朝兵，田彥偉.順序統(tǒng)計(jì)量的分布［J］.成都大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，27（2）：116-119.

［18］王偉.關(guān)于順序統(tǒng)計(jì)量分布的一種證明［J］.長春大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，12（6）：20-21.

Generalized Exponential Distribution Properties of Order Statistic

LI Juan， FAN Zi-miao，ZhouJu-ling
（School of Mathematical Science，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830017，China）

In this article，we extract the sampleX1，X2…，Xnwhen general obey generalized exponential distribution，X（1），X（2），…，X（n）are their order statistics.The joint probability density function of（X（1），X（2），…，X（n））and the density functions of X（1）andX（n）are researched.Therefore the representation formulas of the mathematical expectation and variance of X（1）andX（n）are obtained And proving thatX（1），X（2）-X（1），…，X（n）-X（n-1）are not independent and different distribution.

The generalized exponential distribution；Order statistic；Mathematical expectation；Variance

O212.7

A

1008-9659（2016）03-0037-04

2016-04-20

李娟（1991-），女，新疆烏魯木齊人，碩士研究生，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的研究。

周菊玲（1968-），女，新疆哈密人，副教授，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的研究。