趙前進(jìn), 張瀾

(安徽理工大學(xué)理學(xué)院,安徽 淮南 232001)

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應(yīng)變能最小的保正有理三次樣條插值曲線(xiàn)

趙前進(jìn), 張瀾

(安徽理工大學(xué)理學(xué)院,安徽 淮南 232001)

構(gòu)造了一種有理三次樣條插值函數(shù)，該插值函數(shù)含有參數(shù)，具有較好的可約束性，并簡(jiǎn)述了插值曲線(xiàn)保正的充要條件和插值曲線(xiàn)的應(yīng)變能。為構(gòu)造應(yīng)變能最小的保正有理三次樣條插值曲線(xiàn)，以形狀參數(shù)和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為決策變量，以插值曲線(xiàn)應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù)，以形狀參數(shù)大于零以及插值函數(shù)保正為約束條件，建立了一個(gè)優(yōu)化模型，求解獲得應(yīng)變能最小的保正有理三次樣條插值曲線(xiàn)。數(shù)值例子驗(yàn)證了該方法的可行性。

有理三次樣條插值；保正；應(yīng)變能；最優(yōu)化

利用有理樣條進(jìn)行保正插值是幾何造型領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)之一 。文獻(xiàn)[5]介紹的保正有理樣條插值函數(shù)中的形狀參數(shù)和節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的選取過(guò)程主要根據(jù)插值函數(shù)保正的約束條件不斷地嘗試選取適當(dāng)?shù)男螤顓?shù)，計(jì)算量過(guò)大。在此基礎(chǔ)上為了構(gòu)造應(yīng)變能最小的保正有理三次樣條插值曲線(xiàn)，筆者給出插值算法是以形狀參數(shù)和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為決策變量，以插值曲線(xiàn)應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù)，以形狀參數(shù)大于零以及插值函數(shù)保正作為約束條件，建立優(yōu)化模型，求解獲得應(yīng)變能最小的保正有理三次樣條插值曲線(xiàn)。

1　插值函數(shù)的構(gòu)造

給定的一組數(shù)據(jù){(ti,fi),i=0,1,…,n}，對(duì)區(qū)間[a,b]進(jìn)行劃分：a=t0

(1)

pi(t)=αifi(1-θ)3+ui(1-θ)2θ+vi(1-θ)θ2+βifi+1θ3qi(t)=αi(1-θ)+βiθ

(2)

ui=(2αi+βi)fi+αihidivi=(αi+2βi)fi+1-βihidi+1

(3)

式中， αi和βi被稱(chēng)為形狀參數(shù)，αi>0,βi>0；di是插值函數(shù)P(t)在節(jié)點(diǎn)ti處的導(dǎo)數(shù)值。

由式(2)和式(3)易知，有理樣條插值P(t)滿(mǎn)足下列插值性質(zhì)：

P(ti)=fii=0,1,…,n

(4)

2　保正分析

取一組正數(shù)據(jù){(ti,fi),i=0,1,…,n}，其中：

t00,f1>0,…,fn>0

(5)

由于已經(jīng)假設(shè)形狀控制參數(shù)αi>0,βi>0，故分母qi(t)在t∈[ti,ti+1]上恒大于零，再分析分子pi(t)，由于pi(t)>0的充要條件為αi>0,βi>0,ui>0,vi>0，從而得出P(t)在區(qū)間[ti,ti+1]上的保正充要條件為：

(6)

定理1給出一組滿(mǎn)足式(4)的正數(shù)據(jù)，有理三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式(1)中的參數(shù)αi、βi和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)di滿(mǎn)足條件(6)，即可得到保正的插值曲線(xiàn)。

3　優(yōu)化模型的建立

插值曲線(xiàn)P(t)在區(qū)間[t0,tn]上C2—連續(xù)曲線(xiàn)的應(yīng)變能[8～10]定義如下：

(7)

積分化簡(jiǎn)得：

(8)

其中：

為構(gòu)造應(yīng)變能最小的保正有理三次樣條插值曲線(xiàn)，以形狀控制參數(shù)αi、 βi和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值di為決策變量，以插值曲線(xiàn)應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù)，以形狀參數(shù)大于零以及插值函數(shù)保正為約束條件，建立優(yōu)化模型：

(9)

求解此優(yōu)化模型得最優(yōu)參數(shù)αi、 βi和di，從而得到應(yīng)變能最小的保正有理三次樣條插值線(xiàn)。

由文獻(xiàn)[11]可知，保正有理三次樣條插值函數(shù)的誤差有以下結(jié)論。

定理2設(shè)f(t)∈C1[a,b]，P(t)是f(t)如式(1)所定義的分母為線(xiàn)性的有理樣條插值，對(duì)給定的αi、βi，當(dāng)t∈[ti,ti+1],i=0,1,…,n-1時(shí)有：

|R[f]|=‖f′(t)-P(t)‖≤‖f′(t)‖hicii=0,1,…,n

其中：

定理3對(duì)任意αi>0，βi>0，定理2中的誤差參數(shù)ci是有界的，且：

4　數(shù)值分析

給出一組單調(diào)遞增的數(shù)據(jù)：t0=0,t1=2,t2=4,t3=10,t4=28,t5=30,t6=32,f(t0)=20.8,f(t1)=8.8,f(t2)=4.2,f(t3)=0.5,f(t4)=3.9,f(t5)=6.2，f(t6)=9.6。由上述方法建立模型求解得表1所示結(jié)果。

圖1　數(shù)值例子的插值曲線(xiàn)

保正有理三次樣條插值曲線(xiàn)圖形如圖1所示。

表1　參數(shù)αi,βi和di 的值

5　結(jié)語(yǔ)

筆者構(gòu)造的分母為線(xiàn)性的有理三次樣條插值函數(shù)，因表達(dá)式中具有參數(shù)，給控制插值曲線(xiàn)的形狀帶來(lái)了方便。為確定參數(shù)的值，筆者給出的求解形狀控制參數(shù)和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值的方法比以往的算法改進(jìn)很多。計(jì)算速度有所提高，計(jì)算過(guò)程精簡(jiǎn)很多，通過(guò)建立優(yōu)化模型求解應(yīng)變能最小時(shí)保正的有理三次樣條插值曲線(xiàn)。但也存在一些不足，該方法具有局限性，只能用于分母為線(xiàn)性的有理三次樣條插值函數(shù)，其分母為二次或三次函數(shù)的有理三次插值樣條插值函數(shù)以及有理四次樣條插值函數(shù)還有待下一步研究。

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[編輯]洪云飛

2016-04-19

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60973050 )；安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2009A50)。

趙前進(jìn)(1967-)，男，博士，教授，現(xiàn)主要從事有理插值與逼近、數(shù)字圖像處理方面的教學(xué)與研究工作；通信作者:張瀾，15137696003@163.com。

O241.3

A

1673-1409(2016)22-0001-03

[引著格式]趙前進(jìn), 張瀾.應(yīng)變能最小的保正有理三次樣條插值曲線(xiàn)[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(22)：1～3.