劉成，王勇勇，朱淑珍，余金培，梁廣

（1.中國科學院上海微系統(tǒng)與信息技術研究所，上海200120；2.上海微小衛(wèi)星工程中心上海200120）

衛(wèi)星軌道外推算法實現(xiàn)

劉成1，2，王勇勇1，2，朱淑珍1，2，余金培2，梁廣2

（1.中國科學院上海微系統(tǒng)與信息技術研究所，上海200120；2.上海微小衛(wèi)星工程中心上海200120）

基于作用于衛(wèi)星的攝動力，建立動力學模型來確定和預測人造衛(wèi)星的軌道位置和速度。在J2000.0坐標系下，軌道外推采用龍格庫塔（Runge-Kutta）數值積分器聯(lián)合MATLAB和STK軟件進行模擬仿真。根據數據分析，得出若干關于衛(wèi)星定軌結論。

STK；簡化動力學；數值積分器；軌道外推

全球定位系統(tǒng)（GPS）在低軌衛(wèi)星的軌道計算上得到廣泛應用。由于低軌衛(wèi)星上的GPS接收機接收的時鐘信號受電離層和大氣影響小，信號準確度高，因此通過GPS獲取的衛(wèi)星軌道參數精度較高。通過GPS定位計算獲取的衛(wèi)星星歷是一組離散的點，獲取連續(xù)軌道需要進一步處理。常用的方法分為幾何法和動力學法。兩種方法在實際應用時都有各自的優(yōu)缺點。幾何法利用卡爾曼濾波、拉格朗日插值法、切比雪夫多項式等方法擬合軌道，常用多組星歷參數擬合出衛(wèi)星的軌道函數表達式再計算出衛(wèi)星坐標［1-7］。動力學法通過考慮衛(wèi)星的各種攝動模型，建立相應的軌道方程，定軌精度很高，但它計算的復雜度較大。

在對GPS衛(wèi)星進行軌道改進需要外推軌道，軌道外推的精度越高，定軌的精度越高［8-9］。

1　簡化動力學模型

人造衛(wèi)星在圍繞地球的運動過程中受到多種作用力的影響?？偟膩碚f，這些作用力可以分為兩大類：一類為保守力，另一類是非保守力，也稱發(fā)散力。保守力包括地球引力、日、月、行星對衛(wèi)星的引力以及地球的潮汐現(xiàn)象導致的引力場變化等。對于保守力系統(tǒng)可以使用“位函數”來描述這些作用力。發(fā)散力包括大氣阻力、地球紅外輻射以及衛(wèi)星姿態(tài)控制的動力等。對于發(fā)散力則不存在“位函數”，只能直接使用這些力的表達式。在動力學定軌中，大部分保守力能夠用比較精確的數學模型表示，而發(fā)散力具有較強的隨機型，很難用數學模型來描述。為了補償無法模型化或錯誤模型的微小攝動力的影響，常引入經驗力模型。

除了主要的地球中心引力以外，其余的作用力都相對較小，可以把實際的衛(wèi)星運動處理成受攝二體問題，即一個簡單可積的二體問題加上攝動改正兩個部分。因此在利用動力學模型進行衛(wèi)星定軌時，衛(wèi)星的受力分析模型主要考慮地球中心引力和其他攝動力這兩部分。衛(wèi)星受攝二體問題所涉及的數學模型是一個相當復雜的非線性動力系統(tǒng)，在所選取的地心直角坐標系中，相應的運動微分方程可寫為下列形式

其中，β是力模型涉及的物理參數和衛(wèi)星本體的星體參數（如有效面質比），F(xiàn)0是地球作為質點的引力加速度，F(xiàn)ε為各種攝動加速度。

衛(wèi)星在運動過程中，地球中心引力（即地球相當于一個密度分布均勻的球形天體，等效于質量集中在之心的質點引力）的作用是主要的，其余的作用力都相對較小。圖1中給出了不同軌道上不同攝動力的量級，當衛(wèi)星軌道高度低于780 km時，主要受地球中心引力、J2攝動和大氣阻力影響；當衛(wèi)星軌道高度高于780 km時，大氣阻力可不考慮。實際計算中，將重力勢的高階項和其他的攝動力加入動力學模型，可能會大量增加不必要的計算，現(xiàn)而對實際精度卻沒有相應的提高，也不利于工程化的實現(xiàn)。因此，在建立衛(wèi)星動力學模型時采用簡單的攝動力模型：JGM-03重力場模型、大氣阻力。這種簡化的動力學模型稱為簡化動力學模型，或約化動力學模型［10-12］。

圖1　衛(wèi)星軌道不同攝動的量級

2　數值積分器

動力學模型建立常用于確定和預報人造衛(wèi)星的軌道位置和速度［13-15］。這個模型根據作用于衛(wèi)星的攝動力建立，描述了衛(wèi)星的位置和速度隨時間變化的關系。衛(wèi)星的速度和位置可以根據開始歷元衛(wèi)星的速度和位置，對得到的衛(wèi)星加速度分別進行一次和二次積分得到。

求解該運動方程的方法有數值法和解析法。由于數值方法計算簡單、精度比較高，適合計算高精度軌道。在多種數值積分其中，采用應用最廣泛的龍格庫塔（Runge-Kutta）法進行計算。Runge-Kutta方法的基本思想是，函數在一點的導數值可以用改點附近若干點的函數值近似表示。N級Runge-Kutta方法的一般公式為

式中ci，ai，dij是待定常數。將Ki在（tm，rm）處作Taylor展開，并使局部階段誤差的階盡量高，從而就確定出這些待定常數的方程。

實際仿真中采用的是四階Runge-Kutta方法：

對四級Runge-Kutta方法，每計算一步，函數f需要計算四次。在新的觀測數據到來之前，可根據當前時刻衛(wèi)星的軌道位置、速度，進行數值積分預報下一時刻衛(wèi)星的軌道位置和速度。

3　軌道外推仿真

衛(wèi)星軌道外推基于J2000坐標系進行仿真。由于動力學模型本身具有誤差，隨著外推時間的增加，這些誤差將在軌道外推的結果中累加擴大。因此，從外推起始點開始，外推時間越長，簡化動力學模型外推誤差也就越大。同時，數值積分器步長的選擇對簡化動力學模型的外推誤差也有影響。外推時間長度一定時，步長越小外推誤差越?。ㄈ鐖D2、圖3所示）；反之，步長越大外推誤差越大。此外，由于地球非球形攝動力和大氣阻力對低軌衛(wèi)星作用力顯著，衛(wèi)星軌道越低，動力學模型越不精確（如圖4、圖5所示）。模型精度越低，動力學外推精度越低。因此，簡化動力學模型外推精度與衛(wèi)星軌道高度也有密切的關系。

圖2　動力學外推位置誤差

為觀察外推時長、積分器步長和衛(wèi)星軌道高度對本文建立的簡化動力學模型外推誤差的影響，下面基于MATLAB和STK（Satellite Tool Kit）軟件進行仿真。在STK中建立不同軌道高度的低軌衛(wèi)星，導出它在J2000.0坐標系下的軌道和速度，作為分析簡化動力學模型外推誤差時的參照值。在MATLAB中實現(xiàn)簡化動力學外推模型，從STK中導出J2000.0坐標系下該衛(wèi)星的軌道初值，以此作為外推的起始點，將外推結果與對應時刻STK中該衛(wèi)星的精確軌道值進行對比分析。

圖3　動力學外推速度誤差

圖4　外推位置誤差與軌道高度關系

圖5　外推速度誤差與軌道高度

STK中仿真步長設置為30s，共仿真30天，衛(wèi)星的軌道參數為：近地點高度470 km，離心率0，軌道傾角83，近地點角距、升交點赤經和真近點角都為0。在MATLAB中外推步長設置為30s，計算30天內簡化動力學外推位置和速度，比較與STK中精確軌道值，推出3維RMS（平方根）誤差。根據衛(wèi)星位置（圖2）、速度（圖3）的外推誤差可知，隨外推時間越長，簡化動力學外推的位置速度誤差越大。

4　結論

當外推時間長度越長時，簡化動力學模型的位置、速度外推誤差越大。短時外推精度高。在低軌道時，外推精度受軌道高度影響大且軌道越低精度越差；在高軌道時，軌道高度對外推精度影響不大，且外推精度都很高。因此高軌衛(wèi)星更適合用軌道外推。當外推時間很短時，和接收機輸出定位結果的時間間隔相當時，可以獲得誤差很小的衛(wèi)星位置速度預報值，可用于星載GPS定軌。

［1］謝鋼.GPS原理與接收機設計［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2009.

［2］張舒陽.衛(wèi)星軌道方程的數值積分方法［D］.長沙：國防科學技術大學研究生院，2009.

［3］常志巧，郝金明，張成軍.GPS精密星歷的外推精度分析［J］.測繪工程，2006，15（2）：27-39.

［4］秦顯平.星載GPS低軌衛(wèi)星定軌理論及方法研究［D］.鄭州：解放軍信息工程大學，2009.

［5］賈沛璋，熊永清.星載GPS卡爾曼濾波定軌算法［J］.天文學報，2005，46（4）:441-451.

［6］袁建平，方群，鄭愕.GPS在飛行器定位導航中的應用［M］.西安:西北工業(yè)大學出版社，2000.

［7］Rankin D，Kekez D D，Zee R E，et al.The Canx-2 nanosatellite:expanding the science abilities of nanosatellites［J］.acta astronautica，2005，57（2-8）:167-174.

［8］高鵬.星載GPS低軌衛(wèi)星非差簡化動力法精密定軌［D］.武漢：中國地震局地震研究所，2013.

［9］吳顯兵.星載GPS低軌衛(wèi)星幾何法定軌及動力學平滑方法研究［D］.鄭州：解放軍信息工程大學，2004.

［10］吳江飛.星載GPS衛(wèi)星定軌中若干問題的研究［D］.上海：中國科學院上海天文臺，2006.

［11］Rodolpho Vilhena de Moraes，Aurea Aparecida da Silva，Koiti Kuga.Simple Orbit Determination using GPS based on aleast-squaresalgorithmemployingsequentialgivens rotations［J］.Mathematical Problems in Engineering，2006.

［12］王甫紅.星載GPS自主定軌理論及其軟件實現(xiàn)［D］.武漢：武漢大學，2006.

［13］李鑫.提高GPS定位精度的改進卡爾曼濾波算法研究［D］.南京：南京理工大學，2004.

［14］Amandeep Mander·Sunil Bisnath.GPS-based precise orbit determination of low earth orbiters with limited resources［J］.GPS Solutions，2012，17:587-594.

［15］Ana Paula Marins Chiaradia，Hélio Koiti Kuga.Onboard and real-time artificial satellite orbit determination using GPS［J］.MathematicalProblemsinEngineering，2013，2:55-61.

Achieve satellite orbit extrapolation

LIU Cheng1，2，WANG Yong-yong1，2，ZHU Shu-zhen1，2，YU Jin-pei2，LIANG Guang2
（1.Shanghai Institute of Micro-system and Information Technology，Chinese Academy of Science，Shanghai 200120，China；2.Shanghai Engineering Center for Micro-satellite，Shanghai 200120，China）

Based on the disturbing force acting on the satellite，dynamic model to determine the position and velocity and the predicted orbit of satellites.In coordinates of J2000，Track extrapolated using Runge-Kutta Numerical Integrator，Joint MATLAB and STK software simulation.According to data analysis，draw some conclusions on Satellite Orbit.

STK；simplified dynamics；numerical integrator；extrapolation track

TN915

A

1674－6236（2016）17-0132-03

2016-02-22稿件編號：201602101

國家自然科學基金（61401278）

劉成（1989—），男，四川瀘州人，碩士研究生。研究方向：星載GPS接收機設計及定軌技術研究。