趙迎春，長(zhǎng)龍，布仁滿(mǎn)都拉

（1．內(nèi)蒙古赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，赤峰　024000；2．內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特　010070）

關(guān)于偏微分方程相似解求法的探討

趙迎春1，長(zhǎng)龍2，布仁滿(mǎn)都拉1

（1．內(nèi)蒙古赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，赤峰024000；2．內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特010070）

相似解是偏微分方程用適當(dāng)?shù)淖兞拷M合表示的解。通過(guò)實(shí)例介紹伸縮變換、量綱分析法和特征線方法等求相似解的方法。

相似解；伸縮變換；量綱分析；特征線

0　引言

相似解是指偏微分方程解對(duì)自變量的依賴(lài)通過(guò)自變量的某個(gè)特定組合來(lái)體現(xiàn)。首先，通過(guò)引入適當(dāng)?shù)淖兞拷M合（稱(chēng)為相似變換），使偏微分方程簡(jiǎn)化為常微分方程。其次，通過(guò)求常微分方程的解，給出偏微分方程用自變量組合表示的精確解，稱(chēng)此解為偏微分方程的相似解.本文通過(guò)實(shí)例介紹伸縮變換、特征線和量綱分析法等求相似解的方法。

1　伸縮變換

考慮變系數(shù)偏微分方程：

作伸縮變換［1-2］：

它描述各變量的縮小或伸長(zhǎng)；參數(shù)ε（＞0）對(duì)（2）的所有關(guān)系式是相同的，其中β，γ，δ可任取。將變換（1）代入方程（2），且當(dāng)：

時(shí)可得如下等式：

其中δ為任意的。

注如果伸縮變換（2）滿(mǎn)足條件（3），則對(duì)方程（1）作伸縮變換后，偏微分方程（1）的形式就不變。

選取如下滿(mǎn)足（3）的一組數(shù)

對(duì)應(yīng)的變換為：

由：

知：

是不變量?？梢约僭O(shè)這兩個(gè)變量之間是有關(guān)系的，即：

對(duì)偏微分方程（1）作相似變換，即將（8）代入（1），可得常微分方程：

在δ=-3的特殊情形，（9）存在一個(gè)如下特解：

將（10）代入（8），可得偏微分方程（1）的一個(gè)相似解：

2　量綱分析法

定理（π定理）［3-4］如果某一現(xiàn)象中出現(xiàn)的（n+1）個(gè)物理量a，a1，…，an由關(guān)系式a=f（a1，…，an），聯(lián)系起來(lái)；又若a1，…，ar是物理量a，a1，…，an中r個(gè)最大的量綱無(wú)關(guān)物理量，則a及其余的ar+1，…，an等n-r+1個(gè)物理量的關(guān)系式可化成下列只聯(lián)系n-r+1個(gè)無(wú)量綱量π，π1，…，πn-r的無(wú)量綱形式。

下面的例子利用上述π定理給出具體問(wèn)題的相似解。

例假設(shè)有一個(gè)無(wú)窮長(zhǎng)平板，平板上面的整個(gè)空間充滿(mǎn)了粘性不可壓縮流體。假設(shè)平板從某一時(shí)刻起以常速u(mài)0運(yùn)動(dòng)。建立y軸垂直于平板，x軸平行于平板，坐標(biāo)原點(diǎn)在平板上的直角坐標(biāo)系Oxy。以u(píng)（y，t）表示t時(shí)y處流體的速度，ν表示運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)，則u（y，t）滿(mǎn)足：

令：

則（12）變?yōu)椋?/p>

主定物理量：t*，y*，u0；被定物理量：u*；主定物理量中最大量綱無(wú)關(guān)組：t*，u0。根據(jù)π定理，有：

由變換（13）和（16）可得：

將（17）代入問(wèn)題（12），得：

解常微分方程（18）-（19），得：

將（20）代入（17），得：

3　特征線法

下面我們通過(guò)實(shí)例介紹用特征線方法［5］求相似解的方法。

設(shè)x=x（t）是平面（x，t）上的曲線C，則u（x，t）沿曲線C的全導(dǎo)數(shù)等于：

由（22）知，當(dāng)t=0時(shí)，x=ξ，u=f（ξ）；因此，g（ξ）=f（ξ）。所以：

其中xe-t是相似變量。

［1］王昌逸，洪柳.Navier-Stokes方程的相似解［J］.力學(xué)進(jìn)展，2006，36（1）：31-35.

［2］豆福全，孫建安，呂克璞，等.Gardner方程的自相似解［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，40（1）：35-37.

［3］張璐，晏驥，楊家敏，丁永坤.量綱分析法求解輻射熱傳導(dǎo)自相似解［J］.強(qiáng)激光與粒子束，2012，24（6）：1424-1428.

［4］董曾南，章梓雄.非粘性流體力學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

［5］魏雪蕊.一階偏微分方程的特征線法［J］.紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，30（7）：95-97

Discussion on the Method of Finding a Similar Solution for Partial Differential Equations

ZHAO Ying-chun1，CHAG Long2，Burenmandula1

（1．School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng 024000；2．School of Mathematics and Statistics，Inner Mongolia University of Finance and Economics，Hohhot 010071）

The similar solution of partial differential equation is expressed by combinations of variables.Introduces the methods of stretching transform，dimensional analysis and characteristic curve for finding similar solution.

Similar Solution；Stretching Transform；Dimensional Analysis；Characteristic Curve

1007-1423（2016）26-0026-03DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2016.26.006

趙迎春（1983-），女，內(nèi)蒙古赤峰人，研究生理學(xué)學(xué)位，研究方向?yàn)槲⒎炙阕幼V理論

2016-05-20

2016-08-25